放缩法典型例题

1、放缩法典型例题数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点， 这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力.本文介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法， 而求解途径一般有两条： 一是先求和再放缩， 二是先放缩再求和.一.先求和后放缩例1正数数列的前7项的和【，满足5 V J，试求：(1) 数列的通项公式；占二 込 U 1(2) 设，数列；的前巧项的和为-，求证：二解：(1 )由已知得：，杠工：时，作差得:4% 二诃 +2外，所以(叭 +%】畑-口417 =列，所以_：,即、-是公差为2的等差数列，由2 /i =如 +1，得口1 =

2、 1，所11112-11_ 1 12 + 122(2 沖+1)(2)151 二 1 二1 1)%注一1畑+ 口勺加-1劄+1所以注：一般先分析数列的通项公式.如果此数列的前咛项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式.求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列(这里所谓的差比数列，即指数列-满足条件-：/，;)求和或者利用分组、裂项、 倒序相加等方法来求和.二.先放缩再求和 1.放缩后成等差数列，再求和例2 .已知各项均为正数的数列的前项和为:,且比；宀 J 求证:2解：(1 )在条件中，令二，得 I _ , 一 _ o .- an+1 + Ja 0丹 口+1) 所以

3、，I_ 一 h / _科3+1)1沪+ (卑十1广所以7-所以屈+屈十愿二1x22x3?S(K +22十十八*十272 V2 J2疋_+到_霭_1氏丄氏-丄 矿*1丄?丄亠总总3+ D _厲2 放缩后成等比数列，再求和例3 (1)设 a , n N*,a逖证明：少_ 一八：(2)等比数列an中，I丄HII，前n项的和为An,且A7, A9, A8成等差数列.设-：,数列bn前n项的和为Bn ,证明：Bn解：(1 )当n为奇数时，an%,于曰屮_(一仃尸 3 +1)2 0+1) 屮疋，当n为偶数时，a 1昌，且ana2,于-(-凸y =aK( -1)2(屮 一1)卅=仗4 1)3-1)./ 二3

4、+1)七4H(2) .毎舛二片+务，人凡二%, %十务=_气，.公比-兔-亍 3 碎+1=+ -云-+_ + +2，2 2,严】沪?所以2”】?所以2-14.放缩后为裂项相消，再求和例5.在m （ m2）个不同数的排列 PiP2Pn中，若1譚vj呦 时R P （即前面某数大于后面 某数）,则称P与Pj构成一个逆序一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数记排列 八1：-：-八的逆序数为an,如排列21的逆序数】，排列321的逆序数I .(1)求a4、a5,并写出an的表达式;(2)比比订务，证明加丈a + E +C划十二,n=1,2,.(2)8因为亠 +- =+ 2= 2用=12川班1祥+ 2

5、山+ 2 n所以-b厂旦+叽 2 + -丄归2又因为： I -，所以2n-h3综上 2崔弋热 +妇 +八u 2总+ 3/二1 1 1 1 v w 注：常用放缩的结论：（1）： I】 匚：；|1*(2 )1=2 _L v 2J七+1 長+J七+1 長 呢 + fy-1Ja；二在解题时朝着什么方向进行放缩，是解题的关键，一般要看证明的结果是什么形式.如K2 +引2 呎 K + 1）2忑为等差数列求和结果的类型，则把通项放缩为等差数列，再求和即可；如例3要证明的结论1：_11为等比数列求和结果的类型，则把通例2要证明的结论 -:二片+10 y项放缩为等比数列，再求和即可；如例4要证明的结论丁 为差比数列求和结果的类