导数知识点总结

1、导数知识要点1. 导数（导函数的简称）的定义：设是函数定义域的一点，如果自变量在处有 增量，贝U函数值也引起相应的增量；比值称为函数在点到之间的平均变化率； 如 果极限存在，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处的导数，记作或，即注：是增量，我们也称为“改变量”，因为可正，可负，但不为零已知函数定义域为，的定义域为，则与关系为2. 函数在点处连续与点处可导的关系：函数在点处连续是在点处可导的必要不充分条件 .可以证明，如果在点处可导，那么点处连续.事实上，令，则相当于.于是如果点处连续，那么在点处可导，是不成立的.例：在点处连续，但在点处不可导，因为，当0时，；当v0时，故不存在.注：可导的

2、奇函数函数其导函数为偶函数.可导的偶函数函数其导函数为奇函数.3. 导数的几何意义：函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率，也就是说，曲线在点P处的切线的斜率是，切线方程为4. 几种常见的函数导数：（为常数）（）5. 求导数的四则运算法则：为常数) 注：必须是可导函数.若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它 们的和、差、积、商不一定不可导 .例如：设，则在处均不可导，但它们和在处均可导 .6. 复合函数的求导法则：或 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形 .7. 函数单调性：函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果0,则为增函数；如

3、果v 0,则为减函数.常数的判定方法； 如果函数在区间内恒有 =0，则为常数. 注：是f (x)递增的充分条件，但不是必要条件，如在上并不是都有，有一 个点例外即x=0时f (x) = 0，同样是f (x)递减的充分非必要条件.一般地，如果f (x)在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正(或负)， 那么f (x)在该区间上仍旧是单调增加(或单调减少)的.8. 极值的判别方法：(极值是在附近所有的点，都有V,贝U是函数的极大值， 极小值同理)当函数在点处连续时， 如果在附近的左侧0，右侧v 0，那么是极大值； 如果在附近的左侧v 0，右侧 0，那么是极小值.也就是说是极值点的充分条件是点两侧

4、导数异号，而不是=0.此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点 . 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小 关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小(函数在某一点附近的点不同) . 注： 若点是可导函数的极值点， 则=0. 但反过来不一定成立 . 对于可导函数， 其一点是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零 . 例如：函数，使 =0，但不是极值点 .例如：函数，在点处不可导，但点是函数的极小值点 .9. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上 对函数值进行比较 .注：函数的极值点一定有意义 .导数练习一、选择题1.设函数f(x)在R上可导,其导函数f (

5、x),且函数f(x)在x2处取得极小值,则函数y xf (x)的图象可能是2设aO,bO,e是自然对数的底数A. 若 ea+2a=eb+3b,则 abB. 若 ea+2a=eb+3b,则 abD. 若 ea-2a=eb-3b,则 a0, b0.A.若 2a 2a 2b 3b ,则 abC.若 2a 2a 2b 3b ,则 ab( )B .若 2a 2a 2b 3b,则 abD.若 2a 2a 2b 3b ,则 ab9.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x),且函数y(1 x)f (x)的图像如题(8)图所示,则下列结论中一定成立的是A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数

6、f(x)有极大值f( 2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f( 2)D.函数f(x)有极大值f( 2)和极小值f(2)函数)10 .设函数f (x) xex,则(A.x1为f (x)的极大值点B.x1为f (x)的极小值点C.x1为f (x)的极大值点D.x 1为f (x)的极小值点11 .设a 0且a 1 ,则“函数f(x) ax在R上是减函数”,是g(x) (2 a)x1a * 2 求函数f (x)的单调区间；(II) 若函数f(x)在区间(2,0)内恰有两个零点,求a的取值范围;在R上是增函数”的(A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也

7、不必要条件12 .已知函数y x3 3x c的图像与x轴恰有两个公共点,则c(A.2 或 2B.9或 3C.1 或 1D.3或 1二、填空题13 .曲线y x(3ln x 1)在点(1,1)处的切线方程为 14 .曲线y x3 x 3在点1,3处的切线方程为 .三、解答题15 .已知函数f (x) ax3 bx c在x 2处取得极值为c 16(1) 求a、b的值;(2)若f(x)有极大值28,求f(x)在3,3上的最大值.16 .已知 a R,函数 f (x) 4x3 2ax a(1) 求f(x)的单调区间(2) 证明：当 0W x0.(Ill)当a 1时,设函数f(x)在区间t,t 3上的最大值为 M(t),最小值为m(t),记g(t) M (t) m(t),求函数g(t)在区间3, 1上的最小值.