两角差的余弦公式教学设计及点评.doc

1、两角差的余弦公式教学设计课题两角差的余弦公式项目内容两角差的余弦公式是普通高中课程标准实验教科书人教 A 版数学 4（必修）中教的第三章的，教学课时为 1 课时。前两章学材生已经学习了任意角的三角函数和平面向地量等知识，对三角函数有了一定的认识， 有教位利于学生接受两角差的余弦公式 .及两角差的余弦公式 是三角恒等变换这作一章中的一个重要内容， 只有对两角差的余用弦公式有了认识，才能够以此为基础推导其他三角恒等变换公式。 这是一个逻辑推理过材程也是一个认识三角函数式的特征， 体会三角恒等变换特点的过程 .1知识与技能（1）通过对两角差的余弦公式的推导，教使学生体会应用向量解决数学问题的技能 .

2、分（2）通过公式的灵活应用， 使学生掌握学两角差的余弦公式的作用 .2过程与方法目（1）利用两角差的余弦公式推导过程，使学生体会向量在代数几何方面运用的方析式方法 .标（2）在公式的灵活运用过程中进一步培养学生分类讨论思想、 转化和化归思想、 数形结合思想 .3情感态度与价值观通过引导学生主动参与、 大胆猜想独立探索、激发学生学习兴趣， 形成探究、证明、应用的获取知识的方式。 从应用中去体会数学的严谨，形成理性思维， 体会向量及两角差的余弦公式的运用价值。理论依据或设计意图课程标准根据新课程标准的要求，从提高学生的数学素质和能力出发，结合学生心理发展的需求，以及人格、情感、价值观的具体要求制订

3、.1重重点：两角差的余弦公式的运用.难 难点：用两角差余弦公式进行简化、 计算及点 逆用公式等技能 .我们已经知道 cos4523,cos 302一2由此我们能否得到 cos15的值呢？以境教激对于 cos() coscos情你们同意这个观点吗？说说理由？学活动 1：（教师活动）提出问题：究竟该如何计算设cos() ？对于求角的余弦值这种问题，数学教学不仅使学生理解知识的发生过程，更重要是培养学生对知识的应用能力 .通过学生熟知的特殊角余弦值引入问题，引发认知冲突， 引出本节课题 .使学生明确数学是一门严谨的科学，激励学生探索新知 .通过设问，激发学生自觉回顾三角函数和计我们有哪些方法？（学生

4、活动 ）回忆三角函数定义、 三角函数线以及平面向量数量积运算等相关知识 .活动 2:向量的相关知识，为公式的探索提供思路 .二（教师活动）引导学生尝试用向量的方法来探究如何计算 cos() .研 先复习两个向量数量积的定义与坐标运探 算公式；论定义式： a babcos；证坐标式： a bx1 x2y1 y2 （学生活动） 在平面直角坐标系中作单位圆，以 x 轴非负半轴为始边作角，它们的终边与单位圆O 的交点分别为 A 、 B ，通过带有指向性的问题，使学生意识到， 向量方法可能是解决问题的工具，引导学生建立向量使用的数学环境，培养学生自主探索和数形结合的能力 .则 A cos ,sin， B

5、 cos ,sin；试用 A 、 B 两点的坐标表示AOB 的余弦值。2（教师活动）引导学生经历用向量方法探索求 cos() ，结合图形，明确应选择哪几个向量，它们怎么用坐标表示？怎样利用数量积计算公式得到推导结果？（学生活动）计算OAOB，得到在教师的引导下，通过求两个已知向量的夹角问题以及三角函数定义的应用得出新的结论，使学生体会和认识严格的推导过程是获取数学结论的方法。由学生得到结论，让学生在数学课上体会成功.OA OBcoscossin sin；另一方面，从定义式计算OA OBOAOB cos；二cos由于向量工具已被引得出结论入，因此将问题归结为研coscos cossinsin角度

6、问题，选用向量方教探活动 3：法推导公式，使得公式论的得出成为一个纯粹证（教师活动） 引导学生思考,的的代数运算过程，大大学范围，完善公式的推导 .降低了思考难度. 另外，在公式的完善过程（学生活动 ）提出的任意性，而向量中，学生用对比、联系、设化归的观点去分析问夹角为 0, ，学生产生疑惑：与向题、处理问题，使他们量之间的夹角有什么关系呢？在建立公式的过程中发展逻辑推理能力和计教师活动：几何画板动态展示， 引导学生结对知识的迁移应用 .合计算机图形语言和三角函数诱导公式对公式的严密性进行论证 .(1)0,2k;根据终边相(2)(,22k同的角的性质，cos()cos活动 4：（教师活动）引导

7、学生说出两角差的余弦公式的结构特点 .（学生活动） 发现公式左边是差角的余弦，右边是单角同名三角函数值乘积之和 .培养学生用自己的语言描述公式特征的表达能力。加深对公式的印象，掌握公式特点，为下一步公式的应用做好铺垫 .3活动 5：例题分析（教师活动）讲评例 1. 利用两角差的余弦公式求 cos15 的值这是通过应用理解公式最基础的练习，在讲评过程中引导学生注意以下几个要点：（1）三角变换关注角的拆分，易于理解.（2）由于是具体角，拆分过程容易进行.（3）拆分的多样性，决定变换的多样性.学生到此刻，能够利用本课新发现的两角差的余弦公式解决这个问题，呼应前面，同时让学生获得了成果的数学体验 .二

8、研（学生活动） 求出 sin 75的值 .探（1）通过诱导公式转化为 cos15 ；论（2）转化为先利用 cos(12045 ) 求 cos 75 ，证再用同角关系求 sin 75（教师活动）讲评例题 2：教4 ,5 , 是已知 sin(,), cos5213学第三象限角，求 cos()的值.引导学生分析问题， 形成如下思路： 结合余设弦 公式 , 欲求 cos()的值, 必先知道sin,cos,sin,cos的值, 然后利用公式计C() 即可求解 ., 注意角 ,所在的象限 ,准确判断它们的三角函数值的符号 .活动 6：课堂练习（学生活动）通过正、余弦之间的转化；非特殊角与特殊角之间的转化，

9、进一步巩固公式的应用，渗透化归的数学思想 .对题目进行解析，使学生形成解决这类问题的基本思路 .在讲评例题的过程中注重在表述规范性上作出点评和要求，提高学生的数学表达能力.使学生独立完成证明，培养学生独立思考的1、证明 cos()sin.2（教师活动） 对学生的证明过程进行点评，使学生认识到该诱导公式是两角差余弦公式的特殊情形 .数学思维品质和对数学知识前后联系，建立数学知识网络的能力 .三4反（学生活动）馈学生上台演板，运用公式解决以下问题：练2、已知 cos3(,),习52求 cos()的值 .4（教师活动）对学生的计算过程的每一步进行点评，是学生认识到两角差余弦公式使用时注意利用特殊角的

10、正弦值余弦值 .教（学生活动） 先请一位同学在黑板上演示，然后再向全体同学讲解：3、已知 sin15学, 是第二象限角 ,17求 cos()的值 .3设（教师活动） 找几份具有代表性的解答投影，让同学们点评 .计（学生活动） 学生认真审题，求解问题、已知sin2334,( , ),cos,3324,2 ),求cos(的值().2（教师活动）对学生表述的步骤是否规范作出必要的点评和要求。 引导学生一定要弄清角的范围 , 准确判断三角函数值的符号 .活动 7：变式训练（学生活动）应用本课所学的公式进行以下计算：1、cos60 cos15sin 60 sin15?四变2、cos() cossin()

11、 sin?33式（教师活动）点评，不仅要会公式的正用而训且要注意公式的逆用和变形应用.练学生上台演板，是本节课教学的重要一环，能充分调动学生学习数学的实践活动能力，使教师了解学生学习情况，是激发学生学习兴趣的有效途径 .通过问题的设计，注重培养学生分类讨论的数学思想 , 在解题的过程中培养学生思维的严密性和逻辑的条理性，同时注重对学生的表述规范性的指导 .引导学生认识到要使用两角差余弦公式，应该运用同角三角函数关系对四个数据作出准备，培养学生“举一反三”的解决数学问题的能力 .在练习中加深对公式结构和功能的认识，使学生熟练、灵活运用公式；掌握三角式变换的特点，培养学生公式的逆用能力 .5（学生

12、活动 ）应用公式计算：引导学生独立思考，得3、已知 sin(30)3,60150 ,出(30)30，从而具备使用两角差5求 cos 的值 .余弦公式的条件，培养（教师活动）引导学生比较已知的角学生解决数学问题的化归思想 .30 与所求的角 之间的关系，注意构造角以及研究角的范围 .课堂小结：让学生在课堂小五通过本节课的学习你有哪些收获？结中进行自我评价，回1、探索并证明了两角差的余弦公 , 经历了，顾当堂所学，交流学习应猜想 探究证明 ,利用向量法得出了：体会 .用cos() cos cossin sin评在证明公式的过程中，我们利用了向量注意公式特征， 正价这一简洁有效的工具， 在后面的学习

13、中我们用，逆用和角的拼凑！会继续感受它的便利 .在探究问题时，结合所2、所涉及的数学思想与方法 : 猜想、化学知识，要大胆猜想，归与转化、数形结合、分类讨论 .细心证明！布置作业：1. 必做： P137，2,3,42、选做：sinsin3 , coscos4 ,55求 cos()通过例题、练习、课堂小结、作业等对学生在三维目标方面进一步评价，反思教学，改进方法 .3. 课下 思考 ：你能用 cos() , 推导出cos() 吗？板书设计：两角差的余弦公式cos() cos cos sinsin投影屏幕板演区域(C() )6教学设计说明一、教材地位及其作用恒等变换在数学中扮演着重要的角色，它的主

14、要作用是化简 . 在数学中通过恒等变换， 可以把复杂的关系用简单的形式表示出来. 三角恒等变换在后续学习中具有重要的作用.而以本节课为起始课的第三章内容需要学习三角函数运算中蕴涵的恒等关系. 由于和、差、倍之间存在的联系，和角、差角、倍角的三角函数之间必然存在紧密的内在联系，因而需要推出一个公式作为基础。由于三角恒等变换的内容与三角函数没有直接的关系，因此现行的课改教材（人教 A 版）安排学生学完三角函数后，先学习了平面向量，因此选择了运用向量方法推导公式cos()coscossinsin作为建立其它公式的基础，使得公式的得出成为一个纯粹的代数运算过程，降低了思考难度。本节课的作用承前启后,

15、非常重要。二、学情分析与教学目标学生在前两章已经学习了同角三角函数的基本关系、 诱导公式及平面向量， 为探究两角差的余弦公式建立了良好的基础。 但学生的逻辑推理能力有限， 要发现并证明公式 C( - ) 有一定的难度，教师可引导学生通过合作交流，体会向量法的作用，探索两角差的余弦公式。由于学生初次使用恒等变换去推理解答问题，分析问题的能力和逻辑推理的能力都有所欠缺，并且面对新问题如何运用已学知识和方法去解决存有困惑 .但同时学生在学习新的一章知识时又都会充满好奇心，这对教学是非常有利的。根据学生的认知结构和心理特点，我制定了本课的学习目标如下：1知识与技能（1）通过对两角差的余弦公式的推导，使

16、学生体会应用向量解决数学问题的技能。（2）通过公式的灵活应用，使学生掌握两角差的余弦公式的作用。2过程与方法（1）利用两角差的余弦公式推导过程，使学生体会向量在代数几何方面运用的方式方法。（2）在公式的灵活运用过程中进一步培养学生分类讨论思想、转化和化归思想、数形结合思想。3情感态度与价值观通过引导学生主动参与、大胆猜想独立探索、激发学生学习兴趣，形成探究、证明、应用的获取知识的方式。从应用中去体会数学的严谨，形成理性思维，体会向量及两角差的余弦公式的运用价值。7三、教学重点及难点重点： 两角差的余弦公式的运用.难点： 用两角差余弦公式进行简化、计算及逆用公式等技能.四、教法选择和学法指导基于

17、对教材和学生的分析，本节课我采用“引导发现”和“主动参与、独立探索”等方法组织课堂教学 .为了抓住重点，我从学生已有的认知水平出发，设计具有梯度的问题导入，激发学生的求知欲，引导和组织学生参与探索公式的建立和推导过程，鼓励学生独立思考，让学生在参与推理的过程中感受成功的快乐和提高逻辑推理能力；在突破难点上，主要通过以下四个方面的师生活动：引导学生积极思考，大胆探索，学会对目标进行对比分析，把握思维方向；组织学生共同钻研，学会合作，开展讨论交流；对学生的探究活动适当指导，适时地给与帮助；完善推理过程对0,的情况引导学生完善 .通过实际生活问题引入课题，为公式学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激

18、发学生的求知欲。采用多媒体等现代教学手段，增强教学简易性和直观性。通过有梯度的练习、变式训练、分层作业，让学生对知识掌握逐步提高。学法分析 . 教师在课前让学生简单复习一下本课要用到的一些知识点，如三角函数的定义，向量的数量积等。. 在学生自主探究过程中，教师要从某些角度引导学生去发现公式，给出一些证明方法的提示性问题，引导学生去推导公式。五、教学基本流程设计教学活动活动 1：提出问题：究竟该如何计算cos() ？对于求角的余弦值这种问题， 我们有哪些方法？活动 2:尝试用向量的方法来探究如何计算cos() .设计意图通过设问，激发学生自觉回顾三角函数和向量的相关知识，为公式的探索提供思路.通

19、过带有指向性的问题， 使学生意识到， 向量方法可能是解决问题的工具， 引导学生建立向量使用的数学环境， 培养学生自主探索和数形结合的能力 .8活动 3：引导学生思考,的范围，完善公式的推导 .活动 4：引导学生说出两角差的余弦公式的结构特点 .在公式的完善过程中，学生用对比、联系、化归的观点去分析问题、 处理问题，使他们在建立公式的过程中发展逻辑推理能力和对知识的迁移应用 .培养学生用自己的语言描述公式特征的表达能力。加深对公式的印象，掌握公式特点，为下一步公式的应用做好铺垫 .活动 5：例题分析例1、 利用两角差的余弦公式求 cos15 的值 例2、 已知对题目进行解析，使学生形成解决这类问

20、sin4 ,( , ), cos5 , 是题的基本思路 . 在讲评例题的过程中注重在表5213述规范性上作出点评和要求， 提高学生的数学第三象限角，求 cos()的值.表达能力 .活动 6：课堂练习1、证明 cos()sin .学生上台演板，是本节课教学的重要一环，2能充分调动学生学习数学的实践活动能力， 使2、已知cos3 ,(, ),教师了解学生学习情况， 是激发学生学习兴趣的有效途径 .52求 cos()的值 .通过问题的设计，注重培养学生分类讨论4的数学思想 , 在解题的过程中培养学生思维的3、已知 sin15 ,是第二象限角 ,严密性和逻辑的条理性， 同时注重对学生的表述规范性的指导

21、 .17求 cos()的值 .引导学生认识到要使用两角差余弦公式，3应该运用同角三角函数关系对四个数据作出233准备，培养学生 “举一反三”的解决数学问、已知sin(,题的能力 .4,),cos3324,2 ),求cos(的值().2活动 7：变式训练1、cos 60 cos15sin 60 sin 15?2、cos() cossin() sin?333、已知 sin(30)3 ,60150 ,5求 cos的值 .在练习中加深对公式结构和功能的认识，使学生熟练、灵活运用公式； 掌握三角式变换的特点，培养学生公式的逆用能力 .9六、教学评价分析1. 本节课采用 “创设情境 - 提出问题 - 探索

22、尝试 - 启发引导 - 解决问题” 的过程来实现教学目标。有利于知识产生、发展、解决这一认知过程的完整体现。2. 在得到两角差的余弦公式后，使学生进一步体会代数思想的深刻性。通过对公式的认识，例题的讲解，变式的强化训练，可以加深学生对公式特征的印象，及灵活应用公式解题的能力。3. 在教学手段上使用多媒体技术，使重点得到突出，抽象变得直观，有效增加课堂容量，激发学生的学习兴趣，提高教学效率。4. 面对不同程度的教学对象， 在教学时间上和作业的布置中， 突出了学生学习的个体差异现实，但也要视教学对象的接受程度进行灵活的删减。10两角差的余弦公式教学设计点评省级骨干教师周净两角差的余弦公式 是普通高中课程标准实验教科书人教A 版数学 4（必修）第三章的，教学课时为1 课时。本节课教师采用了活动教学法，将获取知识的猜想、论证和应用过程分解成为7 个教学活动，在活动中通过教师的问来启发引导学生，通过学生的练来巩固知识，是高效课堂的典型模式之一。本节课有以下 4 个特点：1 体现了教师在教学中的主导地位。教师在本节课的教学活动中主要是通过问题创设情境，激发学生的求知欲，在学生探究新知时对学生的方向和方法加以指导，在例题分析时注重启发学生的思路和规范学生的表达，在反馈练习和变式训练环节组织和激励学生独立思考，观察和点评学生的知识