高中数学弦切角定理的证明方法-范例_第1页
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1、 高中数学弦切角定理的证明方法弦切角定理证明方法一1)连OC、OA，则有OC⊥CD于点C。得OCAD，知∠OCA=∠CAD。而∠OCA=∠OAC，得∠CAD=∠OAC。进而有∠OAC=∠BAC。由此可知，0A与AB重合，即AB为O的直径。(2)连接BC，且作CE⊥AB于点E。立即可得ABC为Rt，且∠ACB=Rt∠。由射影定理有AC²=AE*AB。又∠CAD=∠CAE，AC公用，∠CDA=∠CEA，得CEACDA，有AD=AE，所以，AC²=A

2、B*AD。第一题重新证明如下：首先证明弦切角定理，即有∠ACD=∠CBA 。连接OA、OC、BC，则有∠ACD+∠ACO=90=(1/2)(∠ACO+∠CAO+∠AOC)=(1/2)(2∠ACO+∠AOC)=∠ACO+(1/2)∠AOC,所以∠ACD=(1/2)∠AOC，而∠CBA=(1/2)∠AOC(同弧上的圆周角等于圆心角的一半)，得∠ACD=∠CBA 。另外，∠ACD+∠CAD=90，∠CAD=∠CAB，所以有∠C

3、AB+∠CBA=90，得∠BCA=90，进而AB为O的直径。弦切角定理证明方法二证明一：设圆心为O，连接OC，OB,。∠TCB=90-∠OCB∠BOC=180-2∠OCB,∠BOC=2∠TCB(定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半)∠BOC=2∠CAB(圆心角等于圆周角的两倍)∠TCB=∠CAB(定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角)证明已知：AC是O的弦，AB是O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC所夹的弧.求证：(弦切角定理)证明：分三种情况：(1)圆心O在&an

4、g;BAC的一边AC上AC为直径，AB切O于A，弧CmA=弧CA为半圆,∠CAB=90=弦CA所对的圆周角 (2)圆心O在∠BAC的内部.过A作直径AD交O于D,若在优弧m所对的劣弧上有一点E那么，连接EC、ED、EA则有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB ∠CEA=∠CAB (弦切角定理) (3)圆心O在∠BAC的外部,过A作直径AD交O于D那么 ∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90∠CDA=∠CAB(弦切角定理)弦切角定理证明方法三若两弦切角所夹的弧相等，则

5、这两个弦切角也相等应用举例例1：如图，在RtABC中，∠C=90，以AB为弦的O与AC相切于点A，∠CBA=60 , AB=a 求BC长.解：连结OA，OB.在RtABC中, ∠C=90∠BAC=30BC=1/2a(RT中30角所对边等于斜边的一半)例2：如图，AD是ΔABC中∠BAC的平分线，经过点A的O与BC切于点D，与AB，AC分别相交于E，F.求证：EFBC.证明：连DF.AD是∠BAC的平分线∠BAD=∠DAC∠EFD=∠BAD∠EFD=∠DACO切BC于D ∠FDC=∠DAC∠EFD=∠FDCEFBC例3：如图，ΔABC内接于O，AB是O直径，CD⊥AB于D，MN切O于C，求证：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD.证明：AB是O直径∠ACB=90CD⊥AB

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