三点共线与三线共点的证明方法.doc

1、三点共线与三线共点的证明方法公理 1.若一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。公理 2.过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。推论 1.经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面；推论 2.经过两条相交直线有且只有一个平面；推论 3.经过两条平行直线有且只有一个平面。公理 3.若两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。例 1.如图，在四面体 ABCD 中作截图 PQR ， PQ 、 CB 的延长线交于 M ， RQ 、 DB 的延长线交于 N ， RP 、 DC 的延长线交于 K 求证 M 、 N 、 K 三点共线由题意可知，M 、 N 、 K

2、分别在直线PQ 、 RQ、 RP上，根据公理1可知 M 、 N 、K在平面 PQR上，同理，M 、N 、K 分别在直线 CB、DB、DC 上，可知 M 、N 、K 在平面 BCD 上，根据公理3 可知 M 、 N 、 K 在平面 PQR 与平面 BCD 的公共直线上，所以M 、N、K三点共线例 2.已知长方体ABCDA BC D 中，M 、N 分别为 AA 与 AB 的中点，求证：D M 、111111DA 、 CN 三线共点由M、N分别为 AA与 AB的中点知 MN /AB且MN1 A1B ，又AB与 DC 平11211行且相等， 所以 MN / / D1C 且 MN1 D1C ，根据推论3

3、可知 M 、N 、C、D1四点共面，2且 D1M 与 CN 相交，若 D1M 与 CN 的交点为 K ，则点 K 既在平面 ADD1 A1 上又在平面ABCD 上，所以点 K 在平面 ADD1 A1 与平面 ABCD 的交线 DA 上，故 D1 M 、 DA 、CN 三线交于点 K ，即三线共点从上面例子可以看出，证明三线共点的步骤就是，先说明两线交于一点，再证明此交点在另一线上， 把三线共点的证明转化为三点共线的证明，而证明三点共线只需要证明三点均在两个相交的平面上，也就是在两个平面的交线上。仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。For personal use only in stud

4、y and research; not for commercial use.Nur f r den pers?nlichen f r Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l tude et la recherche uniquement des fins personnelles; pas des fins commerciales. , .以下无正文仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f r den pers?nlichen f r Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l tude et la recherche