不等式选讲习题含答案

1、不等式选讲习题1 1 1. （2014全国新课标I卷）若a 0,b0,且ab.a b（丨）求a3 b3的最小值；（II）是否存在a,b,使得2a 36?并说明理由.12.（ 2014 全国新课标 II 卷）设函数 f（X）= x+ Xa （a 0）. a（I）证明：f（x）_2;（II）若f （3） : 5,求a的取值范围.3.(2013全国新课标 I 卷)已知函数 f(x) =|2x1 + 2x+a ,g(x) = x + 3.(I)当a - -2时，求不等式f (x) : g(x)的解集;(II )设a . 1,且当x三-,-时，f (x)乞g(x)，求a的取值范围1 2 2丿4. (20

2、13全国新课标II卷)设a,b,c均为正数，且 abc=1,证明:(I) ab bc ac 乞-;3(II)a2 b2 c2一 + +_1.5.( 2012全国新课标卷)已知函数 f (x) =|x+a|+|x2.(I)当a - -3时，求不等式f(x) _3的解集;(II )若f (x)兰x 4的解集包含1,2 ,求a的取值范围6. (2011全国新课标卷)设函数 f(x) = x a +3x，其中a aO.(I) 当a =1时，求不等式f (x) _3x 2的解集；(II) 若不等式f (x)乞0的解集为x | x乞-1,，求a的值.7.(2015第一次省统测)已知a是常数，对任意实数x，

3、不等式|x 1| - |2 - xF a引x T| |2-X|都成立(I)求a的值;(II )设 m . n .0,求证:2m1m -2mn n_ 2n a.8.设函数 f(x) = 2x4 +1.(I)画出函数y = f(x)的图象；(Il )若不等式f(x)乞ax的解集非空，求a的取值范围y1. （2014全国新课标I卷）不等式选讲习题参考答案 11 2解：（I）由,ab得ab_2，当且仅当时等号成立a b Vab所以a3 b3 _ 2、ab3 = 2 8 = 4 .2,当且仅当a = b = ：；:2时等号成立所以a3 b3的最小值为4 2. 5分(II )由(I )知 2a 3b _

4、2、2a 3b = 2、. 6 , ab _4._3由于4-、36，从而不存在a,b,使得2a，3b =6. 10分2. （2014全国新课标II卷）解:1(I)由 anO，有 f(x) = x + + xa a1 a二 2.所以，f（x）_2.4分(II)c 13十一a十3-af(3)二当0 ：a _3时,f(3) =6_a 1，由 f(3) 5,得 6a 1 5，解得aa:a3.当a 3时,f(3)=a 丄由 f （3） ：5,得 a 1 5，解得 3 ： a :aa5212c 1-5x,x 兰一，2f(x) =?1x 2, ex c1,23x 6,x 31.其图象如图所示，由图象可知，当

5、且仅当 X. (0,2)时，f(x) 0.所以，不等式f(x) ： g(x)的解集为(0, 2)5分(II)当 x 三 a,1 时，f (x) =1 a.不等式 f (x)乞 g(x)可化为 1 x 3. IL 2 2所以，x_a-2对x-a,丄 都成立.故-a_a-2,即am4.IL 2 2234所以，a的取值范围是(_1工 10分34. (2013全国新课标II卷).证明：(I) ；a2 b2 _2ab ,b2 c2 _2bc,a2 c2 _2ac2 2 2 2 2 2 2 2 2.a b b c a c - 2ab 2bc 2ac，即 a b c - ab bc ac 又 7 (a b

6、c) =1，即 a2b2c2 2 a b 2 b c2 a c11 -2ab - 2bc - 2ac _ ab be ac,即 3(ab be ac) _ 11ab bc ac 5 分32 2 2(II) b _ 2a, 2b, a _ 2cbca2 2 2 2 2 2一 (a b c2(a b c)，即一 ：_ a b c=1.bcab c aa b c八bca5. (2012全国新课标卷)解：(I)不等式f(x)_3的解集为(-：,1U【4,：)(II) ；f(x)兰|x4，即x + a乞2二 x +a + x 一2 勻x _4，即 x-4 一 x 一2 斗 x + a当11,2 时，由

7、x4 x2 启 x+a，得 4 x+x 2 斗x +解得 _2 a 乞 x 乞 2 a又因为f (x)兰卜一4的解集包含1,2 所以，2a乞1且2a_2，即一3乞a乞0.所以，a的取值范围是-3,0.6. ( 2011全国新课标卷)解：(I)当a=1时，f(x)H3x+2可化为x1X2，由此可得故不等式f(x) _3x 2的解集为x|x乞-1或x_3.x a或.ax三一I. 4(n)由f(x)兰0得xa +3x0此不等式化为不等式组x _ alx a(或 即a-x3x_0 x-a3x_0rai又因为a=0，所以不等式xa +3x0的解集为fx|x兰I2Ja由题意知1，解得a = 2.27. (

8、2015第一次省统测)(I)解：1 x 1| - |2 - xx 1 2 - x| = 3对任意实数x，不等式| x 1| - | 2 - x |乞a都成立. a 3. |x 1| 2 -x|_|x 12 _x| = 3对任意实数x，不等式a_|x，1|2-x|都成立.a乞3.a = 3.(II)证明：由(I)知a =3.2m 2m12-2m n n- 2n = (m - n) (m - n)1(m -n)21.(m- n) (m- n)2(m - n)一33 (畑一怙：厂32m1m22mn n2亠 2n a.8.设函数 f(x)=2x4+1.(I)画出函数y = f (x)的图象；(Il )若不等式f (x)乞ax的解集非空，求a的取值范围_2x +5 x 2(i)由于f (x)贝V函数y = f (x)的图像如图所示1a 孑或a ： -2时，函数y = f (x)与函数2x_3,x 启 28L/4/J3/、/1-o1 2(n)由函数y = f(x)与函数y =ax的图像可知，当且仅当y =ax的图像有交点，故不等式f (x)込ax的解集非空时,a的取值范围为1TUI?,1 十 J55 +综上所述，a的