判定平行四边形地五种方法

1、判别平行四边形的基本方法如何判别一个四边形是平行四边形呢？下面举例予以说明一、运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形” 判别例1如图1,在平行四边形 ABC中,E、F在对角线AC上， 且AE=CF试说明四边形 DEBf是平行四边形.分析：由于已知条件与对角线有关，故考虑运用“两条对角 线互相平分的四边形是平行四边形”进行判别为此，需连接BD解：连接BD交AC于点0因为四边形ABCD1平行四边形，所以 AO0BO=DO 又 AE=CF所以 AOAE=COCF 即 EO=FO所以四边形DEBF是平行四边形.二、运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”判 别例2如图2,是由九根完全一样的小

2、木棒搭成的图形，请你指出图中所有的平行四边形，并说明理由分析:设每根木棒的长为1个单位长度，则图中各四边形的 边长便可求得，故应考虑运用“两组对边分别相等的四边形是 平行四边形”进行判别解：设每根木棒的长为1个单位长度，则AF=BC=1, AB=FC=1, 所以四边形ABCF是平行四边形同样可知四边形 FCDE四边形ACDF都是平行四四边形 因为AE=DB=2, AB=DE=1,所以四边形 ABDEL是平行四边形三、运用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形” 判别例3如图3, E、F是四边形ABCD勺对角线AC上的两点， AE=CF DF=BE DF/ BE试说明四边形 ABCD1平行四边

3、形分析：题目给出的条件都不能直接判别四边形ABCD是平行四边形，但仔细观察可知，由已知条件可得ADFA CBE由此就可得到判别平行四边形所需的“一组对边平行且相等” 的条件解：因为 DF/ BE 所以/ AF=Z CEB因为 AE=CF 所以 A曰EF=CF+EF,即 AF=CE 又 DF=BE 所以 ADFA CBE 所以 AD=BC / DAf=Z BCE所以AD/ BC所以四边形ABCD!平行四边形四、运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判图4例4 如图4,在平行四边形 ABCDK/ DAB / BCD勺平 分线分别交BC AD边于点E、F,则四边形 AECF是平行四边形 吗？为

4、什么？分析：由平行四边形的性质易得 AF/ EC又题目中给出的 是有关角的条件，借助角的条件可得到平行线，故本题应考虑 运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”进行判别解：四边形AECF是平行四边形.理由：因为四边形 ABCD是平行四边形，所以 AD/ BC / DAB / BCD11所以 AF/ EC 又因为/ 1 = - / DAB / 2=丄 / BCD22所以/仁/ 2.因为AD/ BC所以/ 2= / 3 , 所以/仁/ 3,所以AE/ CF 所以四边形AECF是平行四边形判定平行四边形的五种方法平行四边形的判定方法有：（1）证两组对边分别平行；（2） 证两组对边分别相等；（3）

5、证一组对边平行且相等；（4）证对角线互相平分；（5）证两组对角分别相等。下面以近几年的中 考题为例说明如何证明四边形是平行四边形。AD CF图1一、两组对边分别平行如图1,已知 ABC是等边三角形， D E分别在边BCAC上 ,且CD=CE连结DE并延长至点 F,使EF=AE连 结AF BE和CF(1)请在图中找出一对全等三角形，并加以证明；判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由。解：(1)选证 BDEA FEC证明： ABC是等边三角形， BCAC / ACD60 CD=CE - BDAE EDC是等边三角形DE=EC / CDEZ DEC60。/ BDEZ FEC=120又 EF=A

6、E - BD=FE,BDEA FEC(2)四边形ABDFi平行四边形理由：由(1)知， ABC EDCA AEF都是等边 三角形Z CDEZ ABCZ EFA=60 AB/ DF, BD/ AF四边形ABDF是平行四边形。点评：当四边形两组对边分别被第三边所截,易证 截得的同位角相等，内错角相等或同旁内角相等时， 可证四边形的两组对边分别平行，从而四边形是平 行四边形。二、一组对边平行且相等例2 已知：如图2,在正方形 ABCD中 , G是CD上一点，延长BC到E,使CE=CG连结BG并延长交DE于F(1)求证： BCQA DCE(2)将厶DCE绕点D顺时针旋转90。得到 DAE ,判 断四边

7、形E BGD是什么特殊四边形？并说明理由。分析：(2)由于ABCD是正方形，所以有 AB/ DC又 通过旋转 CE=AE已知CE=CG所以E A=CG这样 就有BE =GD可证E BGD是平行四边形。解：(1)t ABCD!正方形， Z BCDZ DCE90 又 CGCE DCE(2 ) DCE绕D顺时针旋转90得到 DAE , CE=AE , / CE=CG - CGAE,四边形ABC毘正方形 BE / DG AB=CD ABAE =CDCG 即 BE =DG四边形DE BG是平行四边形点评：当四边形一组对边平行时，再证这组对边相等，即可得这个四边形是平行四边形三、两组对边分别相等例3 如图

8、3所示，在 ABC中，分别以 AB AC BC为 边在BC的同侧作等边 ABD等边 ACE等边 BCF求证：四边形 DAEF是平行四边形；分析：利用证三角形全等可得四边形DAEF勺两组对边分别相等，从而四边形 DAEF是平行四边形。解： ABDD FBC都是等边三角形/ DBF+ / FBA=Z AB(+ / FBA=60/ DBF=Z ABC又 BD=BA BF=BCABC DBF AC=DF=AE 同理 ABCA EFC AB=EF=AD四边形ADFE是平行四边形点评：题设中存在较多线段相等关系时，可证四边 形的两组对边分别相等，从而可证四边形是平行四 边形。四、对角线互相平分例4已知：如

9、图4，平行四边形 ABCD勺对角线 AC和 BD 相交于 O AEL BD于 E, BF丄 AC于 F, CGL BD于 G DH 丄AC于 H,求证：四边形 EFGH是平行四边形。分析：因为题设条件是从四个顶点向对角线引垂线，这 些条件与四边形 EFGH的对角线有关，若能证出 OE=OG OF=OH则问题可获得解决。证明： AEL BD CGL BD:丄 AEO/ CGQ/ AQE/ CQG QAQC CQG同理 BQFA DQH Qf=QH四边形EFGH!平行四边形点评：当已知条件与四边形两对角线有关时，可证两对 角线互相平分，从而证四边形是平行四边形。五、两组对角相等例5将两块全等的含

10、30 角的三角尺如图1摆放在一 起四边形ABCD是平行四边形吗？理由 。(1)如图2，将Rt BCD沿射线 BD方向平移到 Rt BiCD的位置，四边形 ABCD是平行四边形吗？说出 你的结论和理由： 。分析：因为题设与四边形内角有关，故考虑四边形 的两组内角相等解决问题。解：(1)四边形ABCD是平行四边形，理由如下：/ ABC/ ABD/DBC30 +90 =120,/ ADC/ ADB/CDB90 +30 =120又/ A=60 ，/ C=60, / ABC/ADC / A=/C(2)四边形ABCD是平行四边形，理由如下：将RtA BCD沿射线方向平移到 Rt BCD的位置时，有 RtA

11、 CBBB Rt ADD / CBB=/ ADD, / BCB=/ DAD有/ GBA=/ ABD/CBB=/CDB+/ ADB=/ADG, / BCD =/ BCB+/ BQD=/ DAD+/ DAB=/ DAB所以四边形 ABCD是平行四边形点评：（2）也可这样证明：由（1）知ABCD是平行四边形， AB/ CD将Rt BC沿射线BD方向平移到 RtA BGD的位置时， 始终有AB/ GD,故ABGD是平行四边形。判断平行四边形的策略在学习了“平行四边形”这部分内容后，对于平行四边形 的判定问题，可从以下几个方面去考虑：一、考虑“对边”关系思路1:证明两组对边分别相等例1 如图1所示，在

12、ABC中，/ ACB= 90 , BC的垂直 平分线DE交BC于 D,交AB于E, F在DE上,并且AF= CE求证：四边形ACEF是平行四边形 证明： DE是 BC的垂直平分线，DFL BC DB= DC（图1）/ FDB= / ACB= 90 .1DF/ AC. CE= AE= AB2/ 1 = / 2 .又 EF/ AC AF= CE= AE ,/ 2 = / 1 = / 3 = / F. ACEA EFA AC= EF.四边形ACEF是平行四边形. 思路2：证明两组对边分别平行例2 已知：如图2，在 ABC中, AB= AC E是AB的中点，D在BC上，延长 ED到F,使ED= DF=

13、 EB 连结FCC求证：四边形AEFC是平行四边形 证明： AB= AC / B = / ACB/ ED= EB / B = / EDB/ ACB= / EDB EF/ AC/ E是AB的中点， BD= CD / EDB= / FDC ED= DF EDB2A FDC / DEB= / F. AB/ CF四边形AEFC是平行四边形 思路3:证明一组对边平行且相等例3 如图3,已知平行四边形 ABCD, E、F分别是AB CD上的点，AE= CF, M N分别是DE BF的中点.求证：四边形ENFMI平行四边形. 证明：四边形 ABCD1平行四边形, AD= BC / A = / C .又 AE

14、= CF,ADE CBF/ 1 = / 2, DE= BF. M N分别是DE BF的中点， EM= FN./ DC/ AB3 = / 2./ 1 = / 3. EM / FN.四边形ENFM!平行四边形.1 E二、考虑“对角”关系思路：证明两组对角分别相等例4 如图4,在正方形 ABCC中，点E、F分别是AD BC的中点.求证：(1 ) ABEA CDF(2)四边形BFDE是平行四边形证明：(1 )在正方形 ABCD中, AB= CD AD= BC / A = / C=1 190,t AE= AD CF= BC2 2 AE=CFABEA CDF(2)由(1 ) ABEA CDF知，/ 1 =

15、 / 2，/ 3 = / 4./ BED= / DFB在正方形 ABCD中，/ ABC= / ADC四边形BFDE是平行四边形三、考虑“对角线”的关系思路：证明两条对角线相互平分例5 如图5,在平行四边形 ABCDK Pi、F2是对角线BD 的三等分点求证：四边形AFCF是平行四边形证明：连结AC交BD于 Q（图5）D四边形ABCD1平行四边形， OA= OC OB= OD:BF = DP , OF = OF.四边形ARCP是平行四边形.平行四边形的识别浅析平行四边形是初中数学中的基本图形，正确识别平行四边 形，是进一步学习矩形、菱形和正方形的基础。识别平行四边 形是利用边、角和对角线的特点，

16、而且只需要两个条件，为了 更加清楚哪些条件能或不能识别平行四边形，我们把这些条件 总结如下。1利用定义或定理直接识别平行四边形1.1两组对边分别平行，如图 1,AB/ CD AD/ BC1.2两组对边分别相等，如图 1,AB=CDAC=BC1.3两组对角分别相等，如图 1, / AB(=Z ADC / BAD/ BCD1.4 一组对边平行且相等，如图1, AB/ CDAB=CD1.5两条对角线互相平分，如图1,OAOCOB=OD2利用定义和定理间接识别平行四边形2.1 一组对边平行且一组对角相等，如图1,AB/ CD / AB(=/ ADC证明： AB/ CD /AB(+Z BCD180 又A

17、BC/ADC /ADO/ BCD= 180 AD/ BC 四边形 ABCD是平行四 边形(两组对边分别平行)2.2 一组对边平行且两条对角线交点平分一条对角线，如图 1, AB/ CD OafOC证明： AB/ CD / BAC/DCA 在AOB和 COD中,/ BA（=/ DCAOAOC / AOB/ CODAO/ CODASAAB=CD 四边形ABC是平行四边形(一组对边平行且相等)2.3两组邻角互补，而且两组邻角要有一个公共角，如图 1, / DABY AB(=180 , / AB(+Z BCD180。证明：/ DAB/ AB(=180 AD/ BC 又 AB(+ /BCD180 AB/

18、CD 四边形ABCDi平行四边形(两组对边平行)3不能识别为平行四边形3.1两组不同的邻角互补，如图 2, / A+/ B=180 , / C+/ D=180 ,可以画出梯形。3.2识别平行四边形的条件涉及的边、角相等关系都是对 边对角，涉及邻边邻角相等的都不能做为平行四边形识别的条 件。两组邻边相等，如图3, ABAD C酔CD不一定是平行四边形。两对邻角相等，如图4, / A=/ D, / B=/C可以画出等腰梯形。3.3 一组对边平行且另一组对边相等，如图4,AD/ BCAB=CD也可以画出等腰梯形。3.4 一组对边相等，一组对角相等，不一定是平行四边形。反例作图方法，如图5:作/ AB

19、C在边BA上确定点A,在边BC上确定点C过点A B、C作O 01,以点C为圆 心，以线段 AB长为半径作O C,以AC为弦作O 01的等圆 O C2,交O C于D E两点，则四边形 ABCD为平行四边形，而四边形 ABCEP为符合条件的非平行四边形，即AB=CE /ABC/ AEC3.5 一组对边相等，对角线交点平分一条对角 线，不一定是平行四边形。 反例作图方法，如图6: 作线段AB过线段AB的中点0作直线CD 过点B作BEL CD垂足为E以点E为圆心，小 于线段0E的长为半径作O E交CD于 F、G两点， 以点A为圆心，BF长为半径作O A交直线CD于 H I两点，则四边形 AGB兩四边形

20、 AFBI为平行E/GO102四边形，而四边形 AGBI和四边形AHBF即为符合条件的非平行四边形，如在四边形 AGBI中，AI=BG0/=0B说明一个四边形是平行四边形的思路山东 于秀坤平行四边形是最基本、最重要的一类特殊四边形如何 说明一个四边形是平行四边形呢？要说明一个四边形是平行四 边形，一般可以根据题目中所给的条件，分别通过下列的思路 进行说明.一、当已知条件出现在四边形的一组对边上时，考虑采用“两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形”或“一组 对边平行且相等的四边形是平行四边形”例1如图1,在厶ABC中，AD是角的平分线，DE/ AC交AB 于点E, EF/ BC交AC于点F,

21、试说明AE=CF.图1分析：由AD是角的平分线，可知/ 仁/2,由DE/ AC,可 知/ 2=7 3，所以/仁/ 3,即可得AE=ED要说明AE=CF,可转 化为说明EOEC因此，只需说明四边形 EDCF1平行四边形就 可以了.解：因为/ 1 = 7 2,7 2=7 3，所以7 1 = 7 3,所以 AE=ED 又因为DE/ AC EF/ BC所以四边形 EDCF1平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）所以ED=CF所以AE=CF.二、当已知条件出现在四边形是对角上时，考虑“采用两 组对角分别相等的四边形是平行四边形”例2如图2, AE CF分别是 皿BCD的内角/ DAB / B

22、CD的平分线，试说明四边形 AECF1平行四边形.21/ DAB / 2= / BCD2所以，/仁/ 2,因为 AB/ CD 所以/ 3=7 1,7 4= / 2,所以/ 3=7 4，所以7 5=7 6, 所以四边形 AECF是平行四边形.三、当已知条件出现在四边形的对角线上时，考虑采用“两 条对角线互相平分的四边形是平行四边形”例3如图3，在口ABCDK AC BD相交于0, EF过0分别 交AD BC于 E、F, GH过0分别AB CD交于G H.试说明四 边形EGFH1平行四边形.图3 解：在 口ABCD，因为 AB/ CD 所以7 1=7 2, 因为 0/=0C 7 3=7 4,所以

23、A0A COH 所以 0G0H 同理0匡0F所以四边形EGFH1平行四边形.构造平行四边形解题山东 邹殿敏平行四边形是一种特殊的四边形，它的对边平行且相等， 对角相等，对角线互相平分.许多几何问题可以通过添加辅助 线，构造平行四边形加以解决.一、求线段的长例1如图 1在正 ABC中, P为边AB上一点，Q为边AC 上一点，且AF=CQ今量得A点与线段PQ的中点M之间的距离 是19cm,则P点到C点的距离等于 cm_ .CADE BC图2分析：作 QE/ AB交BC于点 D连接 PD MD由厶ABC 为正三角形，易知 BPBD A忙DQ所以四边形APDC为平行四 边形所以 AMD是平行四边形 APDQ勺对角线所以 A=2AM=2 X 19=38 (cm).由厶 ABDA CBF可得 PC=AD 所以 PC=38cm.、证明线段相等问题D例2如图2，在梯形 ABCD图 D/ BC AB=CD延长 CB 到E,使EB=AD连接 AE求证：AE=AC分析：连接BD由AD与 BE平行且相等，易知四边形 AEBD 是平行四边形，所以 BD=AE因为AC=BD所以AE=AC三、证明线段和差问题例3如图3, ABC中，D, F是AB边上两点，且 At=BF, 作D