含时的三体散射系统的波恩近似计

1、* *含时三体散射系统的波恩近似计算摘要：在当今社会，三体散射系统对研究气象观察和预测有重大意义。 文章首先罗列了散射的基本理论知识， 包含了散射现象和散射截面， 接着讨论计算方法， 通过建立光学势模型，对三体散射进行波恩近似计算， 最后讨论含时三体散射系统分别在长程和短程的波恩近似计算， 结果发现，用于短程的含时波恩近似计算收敛更快， 而于长程的含时波恩近似计算不收敛。关键词 : 含时三体散射，波恩近似计算，非弹性碰撞0 引言散射是近代物理实验中揭示物质现象的主要手段之一，它对原子物理、原子核物理、高能物理以及等离子物理和天体物理的研究与发展起到了至关重大的作用。人们主要通过各种类型的实验，

2、来研究各种散射过程，而且三体散射的研究对气象观察和预测有重大意义。散射系统基于一个由 Temkin和 Poet 建立的横波模型，这个模型模拟电子原子散射中的非弹性过程。对于所有的散射系统，波恩级数计算相对于含时薛定谔方程的直接解来说更能获得精确的横截面。本次课题就选择了长程和短程三体散射系统的波恩近似计算。1 基本理论知识1.1 散射方向准直的均匀单能粒子由远处沿着z 轴方向射向靶粒子，由于受到靶粒子的作用，朝各方向散射开去，此过程成为散射过程。在量子力学的散射理论中，散射现象的广义定义可以认为是两粒子之间发生碰撞的现象，它可以可分为弹性碰撞、非弹性碰撞和反应这三种不同情况1 。若在散射过程中

3、，入射粒子和靶粒子的内部状态都不发生变化，则成为弹性散射，否则成为非弹性散射。一般在处理散射问题的时候，我们取在较重粒子置于一个静止的相对坐标系内，而将碰撞看成是一个入射粒子和靶粒子发生碰撞作用后使两者的动量产生变化的过程。在这个过程中，我* *们看重的是散射粒子的角分布（或者称散射截面、微分截面），角关联、极化等，而角分布等的观测依赖于出射粒子的波函数在r的渐近行为， 主要受入射粒子能量、碰撞过程中的相互作用等的影响 2 。如上所述，在散射的过程中，我们取在较重粒子静止的相对坐标系中，用折合质量的方法来讨论，是以散射题目能够看作是，在靶粒子的作用下入射粒子产生转变的题目。1.2 散射截面为简

4、单起见，我们讨论在弹性散射过程中，入射粒子与靶粒子的相互作用为定域势V( r ),在出射方向 (, ) 上散射截面（即微分截面，角分布）为d( , )。当势场 V( r )不随时间产生转d变，而入射电子的动量为pi 时，入射粒子的波函数为：1 E tte h1(1.2.1)上式中的满足定态薛定谔方程的要求：HEt(1.2.2)12V r(1.2.3)H2m pi12(1.2.4)Et2m pi在散射之后，在宏观上观测，出射粒子与碰撞点的距离并不远，然而在微观上看它们之间的距离是非常大的，足以对粒子之间的相互作用产生影响，因此波函数满足的边界处对于碰撞点可以看作是是无穷远的，此时在边界外部势场V

5、( r)对粒子运动已经没有什么影响。在r时薛定谔方程（ 1.2.2 ）式的渐近方程为：2h20 (1.2.5)(r )2m即22(r ) + k (r ) 0(1.2.6)其中，* *kp(1.2.7)经由过程求得上述薛定谔方程的渐进方程式的一般形式解：ikrikre(r ) =Aef ( , )r(1.2.8)其中， A 是常数。f ( , ) 为散射振幅，代表球面波的波幅会随着方向( , ) 的改变而改变。ikre 为向外传播的散射波。在边界以内的区域里，由于势场V( r )0 ，所以粒子波函数(r ) 的情况非常繁杂。然而因为实验上的计量也是在微观上的无穷远处进行的，因此我们只需要关注怎

6、样求渐近解，而边界以内区域里的具体解就不需要去求了，因为它没有了计算的价值。因此我们只要计算出渐近解里f (,) 的具体形式，即可获取散射题目所需要的跃迁概率和散射截面了。d, ) 。与散射振幅 f ( , ) 的关系为：(dd2f ,(1.2.9),d2 计算方法2.1 光学势模型这里我们以建立电子被原子散射的光学势模型为例子讨论。光学势方法的首要主题是，将电子被原子散射的多体作用的过程看成是入射电子在靶原子的等效势场中运动，这样就把繁琐又庞大的多体题目直接过渡成为单体题目，大大地缩减了题目的计算过程。这种方法的关键是要用适合的势模型模拟电子与原子间各种复杂的相互作用。我们所采用的光学势模型

7、中全面考虑了库伦势错误 ! 未找到引用源。 V c 、极化势 错误 ! 未找到引用源。 V p 和交换势 V e 以及体现非弹性散射项的吸收势。过程中，电子被原子散射取得的等效势可以写作：V opt rV R r iV a r(2.1.1)* *上式中，实部主要反映弹性散射，它也可以表示为：V R rV s rV p rV e r(2.1.2)其中， V sr 表示静电势， V pr 表示极化势， Ver 表示交换势。虚部Va r 表示吸收势，是一个用来反映非弹性散射的物理量，电子在势场中运动时的薛定谔方程为：22+ k2V r(2.1.3)在实际计算过程中我们运用对角度求平均值的办法来确保电

8、子所在的势场是一个中心势场，入射电子在受中心势场的影响下,所得的波函数可以作如下分波展开：Fr(2.1.5)rr Y10i 0式中221r r2L(2.1.6)=r22rrY10为球谐函数 ,满足：2l l1 Y10L Y10=(2.1.7)代入 (2.1.5) 的式子可得：Y10d2l (l21)2Vrr0(2.1.8)2k2F 1i 0rdrr即径向分波方程为 :21)dl (l2Vrk2F 1r0(2.1.9)22drr当 r 足够大时，上式的渐近解为：F121h 1S1H 1F 12121h 1S1H 1h 1S1 h 1kr , 错误 ! 未找到引用源。 是第一类Hankel 函数，

9、代表散射波，2上式中h 1是第二* *类 Hankel函数，代表入射波。S1 代表复散射矩阵元，它与分波相移1 的联系如下式：S1exp 2i1对于弹性散射 ,1 为实数， S1 1；对于非弹性散射，1 为复数， S11；对径向分波方程求解：2l (l 1)drk2Fr0（ 2.1.10 ）2221drrV opt可得 V optr0 时的任一点mk r m 处的径向波函数F 1r 的对数导数：f 1F1F1m（ 2.1.11 ）mF1mF1m然后由波函数的连续性及边界条件：F 1kr krj1kri n1 krS1 kr j1kri n1 kr（ 2.1.12 ）在上式中j1代表球 Bess

10、el 函数，n1 代表 Neumann函数，然后我们就可以通过上式算出S1和 112m h2S1m f1 h1mm（ 2.1.131m f1 h111mm hm利用有效势的作用范围方程:tan1k 2（ 2.1.14 ）2l12l2l1可以确定最大分波数Lm ax 。然后由以下公式求各种截面。分波弹性散射截面定义为：qe,l2 (2l 1)1 S12k（ 2.1.15 ）分波非弹性散射截面定义为：qa, lk2 2l 1 1 S12（ 2.1.16 ）微分散射截面定义为：* *d122l1 S11 P1 cos（ 2.1.17 ）d2ikl 0式中 P1 cos 为勒让德函数。2.2 波恩近似

11、计算若是粒子散射与散射中心相互作用的势能比入射粒子的动能小得多，此时势能U r 可以被当做是微扰时，可用波恩近似来计算散射截面1。体系的哈密顿量写为：HH 0 H上述式子中H0p2, 自 由 粒 子 的 哈 密 顿 量 为 H U r 。2m2我们把箱归一化的动量本征函数 L 3 eikr作为 H 0 的本征函数， 这类归一化描述在体积L3 内有一个粒子，微扰使粒子从动量为hk 的初态跃迁到动量为hk 的末态 1 。根据能量守恒有：222k kk入射离子流强度为 vL3 ， vhkm在单位时间内散射到立体角d内的粒子数表示为:dn vL 3 q , d（ 2.2.1 ）与此同时，方向在立体角d

12、内的末态的态密度表示为:* *2LP mmhkd2 h同时，在单位时间内散射到立体角d内的粒子数表示为:2L3U r ei k k r2L3mkddndr83h2h= vL 3mkU r ei k k r dr2d（2.2.2. ）42 h3v比较两式，注意到 vhk，可得 :mm2i k k r2q4 2 h4U r edr（ 2.2.3 ）上述式子中在绝对值号里面保留负号的原因是，用其他方法得到的散射振幅引入矢量 :f 有一个负号。K k k（2.2.4 ）它的数值是： K 2k sin。其中是散射角，hK 是动量的变化量，此变化由散射引发。于2是（ 2.2.3 ）式的积分可以简化为:a2

13、UrdrU r r 2dre iKr cos sin d d0004rU rsin Krdr（ 2.2.4 ）=k 0因而4m22rU r sin Krdr（ 2.2.5 ）q2 h4K0如果势能已经得知，那么通过前面的式子能够获得微分散射截面，若是将势能近似地写作球对称的垒或势阱，结果如下:U 0 , raU r0, r a那么波恩近似成立的前提就能轻易得出。要是在势场中散射波的相移很小，尤其是s 分波的* *相移非常小，那么就表示势场对于散射波并没有起太大作用，这样看来把势场看做微扰是可以成立的，因而只要分析s 分波相移就能够获得波恩近似成立的前提。由 kk 1 U 0 得：Ek 1U 0

14、 cot ka 1U 0k cot ka 0（2.2.6 ）EE当粒子能量很高时， EU0, 1U 01U 0。上式左边余切的宗量可以写成：E2Eka 1U 0kaka U 02E2E当这个宗量与ka 差一小角时，相移也很小。因而波恩近似的有效前提是：kaU 0aU 012Ehvv 是入射粒子的经典速度。因此得出，波恩计算方法普遍被用在粒子的高能散射计算中。而在势阱的情况下，波恩计算对低能散射也可能是有用的。由（ 6 ）式可知，当 ka1, EU 0 时，有：tanU 0a2mU00Etan(2.2.8)h因此只要 a2mU 0 不是很接近于,那么0 很小，波恩近似则可以使用。h23 讨论远程

15、和近程三体散射的含时波恩近似计算各种短程和远程三体散射系统都进行了含时波恩近似计算。远程系统是一个标准的电子原子散射的 s 波模型，这个模型由Temkin(phy,Rev.126,130(1962)和 Poet(phy B 3081(1978)提出。含时薛定谔方程的一个直接解可以算出确切的激发和电离截面的全散射系统。用于短程的含时波恩近似计算收敛更快，因为有弱结合电位和高入射电子能量。用于远程含时波恩近似计算不收敛,* *尽管一阶激发和电离截面非常合理。我们开展了各种短程和远程三体散射系统的含时波恩级数计算。散射系统基于一个由Temkin和 Poet 建立的横波模型，这个模型模拟电子原子散射中

16、的非弹性过程。一个 截断参数用来调整带电粒子的相互作用的范围。对于所有的散射系统，波恩级数计算相对于含时薛定谔方程的直接解来说更能获得精确的横截面。改进的Temkin-Poet模型的含时薛定谔方程是（原子单位）：r1, r2, t, r2V r1 , r2r1, r2 , t(3.1)iH r1t其中非微扰哈密顿为：1212earearH r1, r2122r22r2r1r2(3.2)12微扰 由下式给出：V r1 , r2e ar(3.3)r是一个可 调截断 参数。一阶含时波恩级数方程可以很容易导出：i0r 1, r 2 ,tH 0 r1 , r20r1 ,r2 , t(3.4)ti1r 1

17、, r 2 ,tH 0r1, r21r1 , r2 , tV r1 , r20r1, r2 , t(3.5)tinr 1 , r 2 , tH 0r1 , r2nr1, r2 ,tVr1, r2n1 r1 , r2 , t(3.6)t含时薛定谔方程或者含时波恩级数方程可以通过所有径向波的离散和二维晶格的运算符解决。 S 散射的初始条件是r1 , r2 , t0 即是单粒子的薛定谔方程的基态解的对称乘积：12ear2r 2rP rP r(3.7)表 11短程三体散射系统无弹性的横截面* *波恩阶数30eV50eV100eV1 k 秒标准1 k 秒标准1 k 秒标准12.0121.160.8171

18、.100.2241.0622.3151.020.9381.010.2551.0131.4800.980.6480.990.1921.0041.5261.000.6581.000.1931.0051.5911.000.6761.000.1961.001.5731.000.6721.000.1951.00表1是 一 个1 短 程 三 体 散 射 系 统 无 弹 性 的 横 截 面 。 横 截 面 以Mb给 出(1.0Mb1.010 18 cm2) 。表 21的短程三体散射系统无弹性的横截面430eV50eV100eV1 21 k标准1 21 k标准121 k标准秒秒秒秒秒秒10.4914.614.

19、480.1752.403.430.0450.782.4421.99920.705.600.5479.053.320.0992.271.8431.77019.282.830.3897.151.490.0601.511.0240.4254.670.780.1101.850.780.0310.590.9250.1611.480.830.1021.380.960.0340.631.0060.3703.691.090.1422.111.040.0370.731.0170.3933.931.050.1412.121.010.0370.721.0080.3583.560.990.1362.030.980.0

20、360.711.00* *0.3563.551.000.1362.031.000.0360.711.001表2是 一 个短 程 三 体 散 射 系 统 无 弹 性 的 横 截 面 。 横 截 面 以Mb给 出4(1.0Mb 1.010 18 cm2 ) 。一个传入的径向波束，波恩级数方程的初始条件为0r1 , r2 , t 0 等于同一对称化乘积.按照波束传播，在n 0 时，0 r1 ,r2 , t0 激发，电离概率和横截面由通过预测精确波函数nr1, r2 , t T或者 nt h 阶近似波函数j r1 ,r2, tT提出一套完整的单粒子薛定谔方程的j 0束缚和连续解，详细的计算过程在以前的

21、工作中已经得出。首先 ,我们考虑1这种截止参数 的选择，单粒子薛定谔方程只的短程三体散射系统，对于有一个束缚态解，在0.242束缚能下。因此，唯一无弹性过程是基态的直接电离。在几个不同的入射能量下的电离截面的结果列于表1。r1r20.2 网状间隔的200200 点径向晶格足够用来计算时间聚合碰撞概率。我们也跟踪波函数,1.0 始终是确切的结果,而且函数的波恩级数应该收敛于 1.0 。波恩级数的计算可以用来收敛所有的入射能量，更高的能量甚至收敛更快。30eV的最低入射能量还是比较高的，因为它的电离势几乎124 倍。我们注意到， 所有的第一阶波恩具体的计算结果优于二阶波恩的结果。接下来我们考虑短程

22、三体散射系统，对于这个截止参数的选择，有两个束缚态的解，7.790 eV 的束缚能基态和0.088eV 的束缚能激发态。 因此，有 1 2 秒的时间来激发基态的直接电离。 在几个不同的入射能量下的非弹性截面的结果如表2 所示。带r1r20.2 的网眼间距的 400400 点径向晶格用来计算时间聚合碰撞概率。波恩级数计算的收敛再次适用于所有的入射能量，其中更高能量收敛更快。30eV 的最低入射能量现在仅是四倍电离势。我们注意到，30eV 一阶的入射能量波恩计算结果优于第五阶波恩计算结果。最后我们认为一个0 的远程三体散射系统，也就是标准的Temkin-Poet模型。用带有? r?= ? r ?=

23、0.2网格间距的400 400 的点径向晶格时有七个束缚态解，基态是13.47 的束缚能。* *当然在连续极限中，当网格间距变为零和框大小趋于无穷，我们得到一个束缚态的无穷值和13.61eV 束缚能的基态。在几个不同的入射能量的非弹性截面结果如表3 所示。表 30 的远程三体散射系统无弹性的横截面30eV50eV100eV1 21 k标准121 k标准121 k标准秒秒秒秒秒秒11.6822.650.6201.690.1600.621.3011.971.000.5091.501.000.1370.601.00表3是 一 个0 的 远 程 三 体 散 射 系 统 无 弹 性 的 横 截 面 。

24、横 截 面 以Mb给 出(1.0Mb1.010 18 cm2 ) 。时间融合碰撞概率只能提取用于一阶波恩和精确的计算。在一阶波恩计算中，波函数的归一化和在基态的剩余概率与方程时间传播持续增加。另一方面，我们获取时间融合非弹性碰撞的概率。在二阶波恩计算，所有的碰撞概率与方程时间传播持续增加。因此，波恩级数计算可用来发散所有入射能量。我们注意到，非弹性的一阶波恩结果与精确的计算一致，甚至更高的入射能量符合的更好。我们的一阶含时波恩级数计算与一阶非弹性截面不含时库仑波恩计算密切相关。不幸的是， 我们很难适应目前的含时波恩近似计算与非弹性的横截面不含时失真波计算问题在于两电子波函数的初始条件。如果我们

25、让r1 , r2r1 , r2U r2r1 , r2 V r1, r2 U r2 。随着H 0 H 0 ,一个基态解的对称化乘积和一个传入波束不是Eq 的解。因此我们不能确定目前一阶失真波理论的时间相关法是最好的。由 H. P.凯利在她的非弹性电子原子散射多体微扰理论计算中首次提出，长程库仑场发散出现在可见势高阶项库伦的任意选择或者失真波。，根据潘和凯利的建议，可能采取的行动过程，就是选择库仑的混合基础和扭曲的波连续状态，例如，对于光学势高阶不同方面之间会发生强烈的取消。然后此混合的基础来计算仅有限低阶光学势，以获得非弹* *性散射截面。 在另一方面， 我们含时三体散射波恩级数计算的研究出现了

26、另一种方法。聪明一点，一组短距离多体哈密顿的高阶光学势的计算渐近，（如0 ）是确切的多体哈密顿解。当然，完整多体哈密顿含时解可能证明更容易一点。4 结论用于短程的含时波恩近似计算收敛更快，用于长程的含时波恩近似计算不收敛。参考文献 :1 周世勋 .量子力学教程 M. 高等教育出版社 ,2011,5.2 章韦芳 . (e,2e) 反应中三重微分截面的理论计算分析J.池州学院学报，2010 ，24 （ 3 ）:40-54.3 赵鸿 ,马颖 .三体散射的动力学 J.大学物理 ,2014(08).4 邓小玖 . 玻恩近似的条件 J. 广西物理 ,1997(03) ： 10-16.5 张永德 .玻恩近似

27、适用条件的推导与讨论J. 大学物理 ,1988(06) ：11-13.6 张德明 .三体散射 J. 阜阳师范学院学报 (自然科学版 ) ,1984(01).7 曾耀荣 ,郑容森 .对量子散射中的几种方法的讨论J.玉林师专学报 ,1998(03):41-46.8 廖玉芳 ,俞小鼎 ,吴林林 ,何彩芬 ,尹忠海 . 强雹暴的雷达三体散射统计与个例分析J. 高原气象 ,2007(04):160-168.9 朱峰 . 基于群方法的多体散射结构解析波函数的构建J. 学术动态 ,2008(02):11-13.10 尤凤翔 ,龚善初 ,陈文涛 . 量子散射的近似计算 J. 丹东纺专学报 , 2003(04) ： 66-68.11 Duan, Bin,Bai, Zaiqiao,Gu, Yan.Chaotic scattering in collinear Ze-e-three-bodyCoulombsystems.PhysicalReviewA-Atomic,Molecular, and Optical Physics . 2000.12 S.Neil Rasband.Dynamics. 1983.13Lemon L R.The rada“ Three-body scatter spike”: An operational large-hail sign