(完整版)循环群讲义.doc

1、7 循环群本节将讨论一类结构简单又富有代表性的特殊群 循环群 .(它是一类基本而又重要的群,数学的一些分支（数论、有限域论等）和它有密切的联系.)通过对循环群的学习,可初步了解抽象代数研究问题的基本方法和格式以及论文的写作方法.本节主要内容是循环群的三大问题:存在问题 / 数量问题 / 构造问题 .先看一个简单的例子： G,10 3 ,10 2 ,10 1 ,1,10,10 2 ,103 ,对数的乘法作成群 .特点是每个元都是固定元10 的方幂 .一、循环群的概念1. 定义G称为循环群群G的每个元都是Ga 的方幂乘方针对乘法.中某个固定元倍数针对加法记为 G(a) ， a 称为 G 的生成元

2、.即G (a)G是群，且x G, k Z , st.x ak (乘法 )（注意: k与 x 有关！）x ka (加法 ).】【一般情况下，如果没有特别声明运算是乘法或是加法，就默认是乘法形式2. 注意 :(一般情况下 )生成元不唯一 . a 是生成元a 1 是生成元 .【理由： a k(a1 ) k 】3. 范例【解决了循环群的存在问题(.同时，将得到结论：循环群在同构意义下只有这两种！】整数加群 (Z, ) ， Z(1)1) 【1是阶.n (1)0n0】.问题 :还有其他生成元 ?(无 )【设 Z( k )1(k )1nk (n, kZ )k1】*实际上可进一步证明：o(a)G(a)只有两个

3、生成元a, a1.【课外思考题】a s , abta sto(a )s,tZ【设 G(b) ，则有 bast1s1or1】模 n 剩余类加群 (Z n ,) ， Z n(1) .问题 :还有其他生成元 ?(有 )【 Z n(1)( n1) 】* 实际上可进一步证明：o(a)nG( a) 的生成元为r当且仅当【习题】a(r , n) 1.【若 (r , n)1，则 ur vn 1aaur vn(a r )u (a n ) v(a r ) u ev(a r ) u(a) (ar ) .反之， ar( a r )(a r)kark1o ( a)n是生成元， G ( a)aen | rk1(r , n

4、)1 .】设 p 为素数，则p 阶循环群 G( a) 有 p1 个生成元： a,a 2 , a p 1.设 p 为素数，则模p 剩余类加群 Z p 的所有非零元都是生成元 .二、循环群的种类1. 结构定理设循环群 G (a) 同构于(Z , ), if o(a).(Zn ,),ifo( a)n证明 注意体会生成元a 的阶在证明过程中的用处!(1) 设 o(a)【作用： a kek0】此时，令: GZ , akk ，可证是同构映射 .(证略 )是映射：若 a kah ，则 akho( a)kh0kh ，说明对应元唯一【e. 易证是满射 /单射.再证的同态性 :x, y Gx a k , ya h

5、( xy)(2) 设 o(a)n【作用： a ken | k 】此时，令是映射：若 akah ，则 a k ho( a) nen | kh是单射：若 kh ,则 n | khkhmn是满射： k Z n , a kG, st.(a k ) kk h( a) kakhk h ( ak ) (a h ) ( x) ( y) .】 Z n , a k k h ，说明对应元唯一.o ( a ) n(an ) meme .再证的同态性 :x, y Gx a k , y a h( xy)(a k h ) k h(a k )(ah )(x)( y) .1例 1:循环群 G(a) 的阶为 n生成元 a 的阶为

6、 n .【常用结论】证法 同构必同阶 .若 o(a)n，则 (a)ZnGZ nn .反之，设 Gn ，若 o(a)n ，则 o(a),则 ( a)ZGZ矛盾； o(a)kn ,则 (a) ZkGZ kkn 也矛盾 .循环群的结构定理说明了什么？【凡是无限循环群都彼此同构；有限循环群中，同阶则同构、不同阶则不同构.】例 2: n 次单位根群 U nxC | x n1 与 Zn 同构 .利用结构定理 . x n2ki2ki sin 2k证法 11xke ncos(k 0,1, , n1)nn2ki2i2i2i2ie n(e n) kU n(e n) 是循环群 ,且生成元 e n的阶为 n ,所以

7、U n(e n)Zn .2 ki证法 2直接建立同构映射. 令e nk可证是同构映射:. ,2. 意义：从同构观点看，循环群只有两类 整数加群与模 n 剩余类加群 .【解决了循环群的数量问题】最后，讨论循环群的构造问题.这个问题从结构定理的证明过程就可得到.三、循环群的构造 构造定理 设循环群 G(a) ，则有o(a)G(a)a k| kZ ； o(a)nG(a)a k | k0,1,2, n1 .证明 由结构定理的证明过程即得 .另证：直接证明两个集合互相包含.【由运算封闭性，右集左集；反之，xG (a)xam .若 o( a)a k (kZ ) 彼此互异，此时 x a m右集 1 ；若 o

8、(a)n，设 m kn r (0r n) ，则 ama kn ara r右集 2】至此，循环群所要研究的三大问题:存在问题 / 数量问题 / 构造问题圆满得到解决 .好比线性方程组解的讨论包括判定、数量、结构三大问题.当然，还可进一步把循环群和其他概念相结合，研究新的性质.比如在今后学习中可以得到：循环群是交换群；循环群的子群还是循环群；循环群的同态像还是循环群等等.四、课后思考题o(a)or n 时，循环群G(a) 的生成元有哪几个？在结构定理证明中a 的阶用途是什么？S3 是不是循环群？(Q , ) 不是循环群 .【设 Q (a) ,则 aaQaa 01Qna (n Z ) (2n 1)a0 n】222循环群是交换群 ( 习题 )；但交换群未必是循环群 .比如 : Anx C | xn1 是循环群， UAn 是交换群但不是循环群 .n1循环群是少数研究清楚的群 .此外 ,有限单群也是 .【单群】 没有非平凡不变子群的群 .有限单群的完全分