全等三角形的相关模型总结概要

1、全等的相关模型总结一、角平分线模型应用1角平分性质模型：i例题应用:辅助线：过点G作GE 射线AC如图1,在ABC中距离是90, AD平分CABBC 6cm,BD 4cm,那么点d到直线ab的cm.如图2，12，34.求证：AP平分BACA图1图22 提示：作DE AB交AB于点E12， PM PN34 PN PQ PM PQ, PA 平分 BAC2.模型稳固:练习一：如图3,在四边形ABCD中，BCAB，AD=CD，BD平分 BAC.求证：A C 180练习二：如图4,四边形ABCD中，B D 1800,BC CD求证：AC平分 BAD.练习三：如图5 Rt ABC中， ACB 90 , C

2、D AB,垂足为D , AF平分 CAB,交cd于点e 交CB于点F.(1)求证：CE=CF.(2)将图5中的 ADE沿AB向右平移到 ADE的位置，使点E落在BC边上，其他条件不变，如图6所示，是猜测：BE于CF又怎样的数量关系？请证明你的结论图5图6练习四：如图 7，/ A 90，AD / BC，P是AB的中点，PD平分/ ADC求证：CP平分/ DCBC图7练习五：如图 8, AB AC / A的平分线与 BC的垂直平分线相交于 D,自D作DEL AB, DF丄AC,垂足 分别为E, F.求证：BE=CF练习六：如图9所示，在 ABC中，BC边的垂直平分线 DF交厶BAC的外角平分线 A

3、D于点D, F 为垂足，DE丄AB于E,并且 ABAC。求证：BE AC=AE。练习七： 如图10, D、E、F分别是 ABC的三边上的点， CE=BF，且 DCE的面积与厶 DBF的面积相等，求证：AD平分/ BAC 。2角平分线+垂线，等腰三角形比呈现辅助线：延长 ED交射线OB于F辅助线：过点E作EF /射线0B(1) 例题应用：.如图1所示，在 ABC中，/ ABC=3 / C, AD是/ BAC的平分线，BE丄AD于F。求证：BE -(AC AB)2证明：延长BE交AC于点F。.：如图2，在ABC中,BAC的角平分线 AD交BC于D,且AB AD,作CM1AD交AD的延长线于 M.求

4、证：AM (AB AC) 2例题变形：如图,B为AC的中点 CM FB于M,AN FB于N.求证：EF 2 BM ；FB1(FM FN).2ffl 2分析：此题很多同学可能想到延长线段CM，但很快发现与要证明的结论毫无关系。而此题突破口就在于AB=AD，由此我们可以猜测过 C点作平行线来构造等腰三角形.的延长线于点E.证明：过点C作CE / AB交AM.模型稳固:练习一、 如图3,A ABC是等腰直角三角形，/ BAC=90 , BD平分/ ABC交AC于点D, CE垂直于BD交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE练习一变形：如图 4,在厶ODC中,AD 900 ,EC是 DCO的角平分线，

5、且 OE CE过点E作EF OC交OC于点F猜测：线段EF与OD之间的关系，并证明图4练习二、如图 5， ABC中，CE平分/ ACB，且 AE丄CE ,Z AED +Z CAE = 180度，求证:DE / BCC练习三、如图 E是DC中点。6，AD丄DC，BC丄DC，E是DC上一点，AE平分/ DAB，BE平分/ ABC，求证：点练习四、如图7(a), BD、CE分别是 ABC的外角平分线，过点 A作AD BD、1 DE (AB BC AC)AE CE,垂足分另I是 D、E,连接DE求证:DE / BC,2.图 7 (a)、如图7 (b), BD、CE分别是ABC的内角平分线，其他条件不变

6、;、如图7 (c), BD为ABC的内角平分线，CE为ABC的外角平分线，其他条件不变.那么在图7 (b)、图6 (c)两种情况下，DE与BC还平行吗？它与 ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你 的猜测，并证明你的结论.(提示：利用三角形中位线的知识证明线平行)练习五、如图8，在直角三角形 ABC中， C 90 , A的平分线交BC于D .自C作CG AB交AD 于E，交AB于G .自D作DF AB于F，求证：CF DE .练习六、如图9所示，在 ABC中，AC AB , M为BC的中点，AD是 BAC的平分线，假设CF AD 且交AD的延长线于F，求证MF 1 AC AB .2C图9练习六

7、变形一：如图10所示，AD是 ABC中 BAC的外角平分线， CD AD于D , E是BC的中1点，求证 DE II AB 且 DE (AB AC). 2图10练习六变形二：如图11所示，在AB AC 2AM .ABC 中，AD 平分 BAC , AD AB , CMAD于M，求证C图11练习七、如图12,在ABC中, 么如图13,在 ABC中，B 2 C , BAC的平分线 AD交BC与D .那么有AB BD AC .那 ABC 3 C ,12 , BE AE .求证：AC AB 2BE .图12图13练习八、在 ABC中，AB 3AC , BAC的平分线交 BC于D，过B作BE AD ,

8、E为垂足，求证: AD DE .C练习九、 AD是 ABC的角平分线， BE AD交AD的延长线于 E , EF / AC交AB于F . 求证：AF FB .C3角分线，分两边，对称全等要记全两个图形的辅助线都是在射线 OA上取点B,使OB=OA，从而使 OAC OBC.(1).例题应用： 、在 ABC中，/ BAC=60，/ C=40 , AP平分/ BAC交 BC于 P, BQ平分/ ABC交 AC 于 Q 求证：AB+BP=BQ+AQ思路分析：1) 题意分析：此题考查全等三角形常见辅助线的知识：作平行线。2) 解题思路：此题要证明的是AB+BP=BQ+A势较为复杂，我们可以通过转化的思想

9、把左式和右式分别转化为几条相等线段的和即可得证。可过0作BC的平行线。得AQO得至U OD=OQAD=AQ只要再证出BD=O就可以了。解答过程：图证明：如图1,过O作OD/ BC交AB于D,/ ADON ABC=180 60 40 =80,又/ AQON C+Z QBC=80 ,/ ADOZ AQO又 vZ DAOZ QAO OA=AO ADOA AQO-OD=OQ AD=AQ又 v OD/ BP,Z PBOZ DOB又 vZ PBOZ DBO Z DBOZ DOBBD=OD又vZ BPAZ C+Z PAC=70 ,Z BOPZ OBAZ BAO=70 , Z BOPZ BPO BP=OBAB

10、+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ解题后的思考：(1) 此题也可以在AB上截取AD=AQ连OD构造全等三角形,即“截长法(2) 此题利用“平行法的解法也较多，举例如下： 如图(2),过O作OD/ BC交AC于D,那么厶ADOA ABO从而得以解决。一 B 如图过。作交Ab于D.交AC于E, KUAADOAAQO, AEO空 AEO从而得以解决-图(3) 如图(4),过P作PD/7BQ交AB的延长续于D,那么AAPDAAPCA而 得以解决.Dr 如图(5),过P作PD/ BQ交AC于。，那么厶ABPA ADP从而得以解决图小结：通过一题的多种辅助线添加方法，体会添加辅助线的目

11、的在于构造全等三角形 而不同的添加方法实际是从不同途径来实现线段的转移的，体会构造的全等三角形在转 移线段中的作用。从变换的观点可以看到，不管是作平行线还是倍长中线，实质都是对 三角形作了一个以中点为旋转中心的旋转变换构造了全等三角形。、如下图，在 ABC中，AD是 BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比拟 PB PC与AB AC的大小，并说明理由.E【解析】PB PC AB AC，理由如下.如下图，在 AB的延长线上截取 AE AC，连接PE 因为AD是BAC的外角平分线，故 CAP EAP 在 ACP 和 AEP 中，AC AE , CAP EAP , AP 公用, 因此

12、ACP也 AEP ,从而PC PE .在 BPE 中,PBPEBE,而 BE BAAEABAC ,故 PB PCABAC .变形：在 ABC中，AB AC , AD是 BAC的平分线.P是AD上任意一点. 求证：AB AC PB PC .【解析】 在AB上截取AE AC，连结EP，根据SAS证得 AEP也ACP ,.PE PC , AE AC 又 BEP 中，BE PB PE , BE AB AC ,二 AB AC PB PC(2)、模型稳固：练习一、如图，在 ABC中，AD丄BC于D , CD = AB + BD，/ B的平分线交 AC于点E,求证：点 E恰好在BC的垂直平分线上。A练习二、

13、如图， ABC中，AB = AC,/ A = 100。，/ B的平分线交 AC于D,求证：AD + BD = BC练习三、如图， ABC中，BC = AC , / C = 90,/ 求证：AC + CD = AB/ A的平分线交BC于D,练习四、：在 ABC中，B的平分线和外角ACM的平分线相交于 D,DF PBC,交AC于E,交AB于F,求证：EF BF CE练习五、在 ABC中，AB2AC, AD平分 BAC，E是AD中点，连结 CE，求证：BD 2CE变式：在厶ABC中,B 2 C, BD 平分 ABC，AD BQ于D,1求证：BD -AC2BC练习七、如图，在四边形ABCD中, AB+

14、BC=CD+DA/ABC的外角平分线与/ CDA的外角平分线交于点 P求证：/ APB= / CPD练习八、如图，在平行四边形的点，且BE、DF交于G点,练习九、如图，在 ABC中,过 D 作 DE/ AB交 BC于 E,ABCD 两组对边分别平行的四边形中,BE=DF，求证:/ ACB为直角,求证：CT=BE.GC是/ BGD的平分线。E, F分别是AD , AB边上CM 丄 AB 于 Ml, AT平分/ BAC 交 CM于 D,交 BC于 T,练习十、如下图， ABC中，AD平分 BAC , E、F分别在BD、AD上. DE CD , EF AC .求 证：EF / ABB4.1 .如 全

15、等三角形12,、如图【补充】如图，在 ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EF II AD交CA的延长线于点 F , 交AB于点G，假设BG CF，求证：AD为 BAC的角平分线.GED0-A,OP是/ AOB的平2图3在厶ABC中，/ ACB是直角，/ B=600, AD CE是/ BAC / BCA的角平分线,线，请你利用图形画一对以这个全等三角形的方法，解答以下问题2为对称轴的相交于点F,请你判断并写出EF与DF之间的数量的关系。 、如图3,在厶ABC中，/ ACB不是直角，而1中的其他条件不变，请问，1中的 结论是否任然成立？假设成立，请证明；假设不成立，请说明理由。(2) 如

16、图，在平面直角坐标系中,A为B (-1, 0), C第二象限内一动点，且/ BAC=2 / BDO，过点D作DM丄AC于M , 、求证：/ ABD= / ACD ; 、假设点E在BA的延长线上，求证：AD平分/ CAE ; 、当点A运动时，(AC-AB ) /AM的值是否发生变化？假设不变，求其值；假设变化，请 说明理由。二、等腰直角三角形模型1. 在斜边上任取一点的旋转全等:操作过程:(1) .将厶ABD逆时针旋转900，使 ACMABD，从而推出 ADM为等腰直角三角形.(但是写辅助线时不能这样写)(2) .过点C作MC BC，连AM导出上述结论.2. 定点是斜边中点，动点在两直角边上滚动

17、的旋转全等：操作过程：连AD.(1) .使 BF=AE (AF=CE ),导出 BDF ADE.(2) .使/ EDF+ / BAC= 1800，导出 BDF ADE.(1)、例题应用：在等腰直角如址中，4C=90,点M A在斜边BC上滑动，且4MAN少 是辣究及仏ex之间的数量关系.过点用作NEBCf使X蚩二空连空方法二：yrcrsc解析：方法一：过点c作使WOEV；连2. 两个全等的含30?60的三角板三角扳且SU如團所示放賈,E. A. CE点在一条直线上.连接ED.取泾沿的中点胚 连接ME. MU是判斷AElE)形状.并证明你的结陆AM，证明 MDE MAC.特别注意证明 / MDE=

18、 Z MAC.证明：方法连接fl方法二：过点M作MN丄EC交EC于点N，得出MN为直角梯形的中位线，从而导 出厶MEC为等腰直角三角形.(2)、练习稳固： ：如下图，Rt ABC中，AB=AC BAC 90，o为BC中点，假设M、N分别在线段AC、AB上移动，且在移动中保持 AN=CM. 、是判断 OMN的形状，并证明你的结论 . 、当M、N分别在线段 AC、AB上移动时，四边形 AMON的面积如何变化？思路：两种方法:BArA在正方形ABCD中,BE=3 , EF=5 , DF=4，求 / BAE二 / DCF 为多少度.提示如右图:BC3构造等腰直角三角形1、利用以上的1和2都可以构造等腰

19、直角三角略；2 、利用平移、对称和弦图也可以构造等腰直角三角. 如以下图：图3-1图3-2操作过程：在图3-2中，先将 ABD以BD所在的直线为对称轴作对称三角形，再将此三角形沿 水平方向向右平移一个正方形边长的长度单位，使A与M , D与E重合.例题应用：平面直角坐标系中的三个点，A1, B 2, 1 , C 0,3 ,求/OCA+ / OCB的度数.4.将等腰直角三角形补全为正方形，如以下图:图4-1J图4-2例题应用：如图，在等腰直角佃G AC=BCr N4C5FP.磅ZVLBCrt部一点，满足 fB=PCt 4J=4C亲证：BC又根据K4.ll603思路：构造正方形ACBM，可以构造出

20、等边厶APM，从而造出厶二，可得例题拓展：假设 ABC不是等腰直角三角形，即上却0，而是,AP=AC 丄中,46=75，中，再由于，故而得到从而得其他条件不变，求证：/2=2 / 1.练习稳固：在 平面直角坐标系中，A ( 0,3),点B的纵坐标为2，点C的纵坐标为0,当A、B、C三点围成等腰直角三角形时，求点(1 )、当点B为直角顶点：(2)、当点A为直角顶点:7丄O一X图3图4(3 )、当点C为直角顶点：三、三垂直模型(弦图模型).由厶ABEBCD导出ED=AE-CD1.例题应用：由厶ABE BCD导 出 EC=AB-CDBAC 90例1.：如下图，在 ABC中，AB=AC由厶ABE BC

21、D导出BC=BE+ED=AB+CDD为AC中点，AF丄BD于E,交BC于F，连接DF. 求证：Z ADB= Z CDF.B思路：方法一：过点C作MC丄AC交AF的延长线于点 M.先证 ABD CAM , 再证 CDF CMF即可.H、M.先证 ABHCAF,再证方法二：过点 A作AM丄BC分别交BD、BC于 CDF ADH 即可.方法三：过点 A作AM丄BC分别交BD、BC于H、M.先证Rt AMF 也Rt BMH，得出HF / AC.由M、D分别为线段AC、BC的中点，可得MD ABC的中位线从而推出MD / AB，又由于 BAC 90 ,故而MD丄AC, MD丄HF，所以MD为 线段HF的

22、中垂线.所以/仁/ 2.再由/ ADB+ /仁/CDF + Z 2，贝U/ ADB=Z CDF .HM F例1拓展1:：如下图，在 ABC中，AB=AC AM=CN AF丄BM于E,交 BC于F，连接NF.求证： / ADB = / CDF. BM=AF+FNc思路：同上题的方法一和方法二一样拓展2：其他条件不变，只是将 BM和FN分别延长交于点 P,求证：PM=PN , PB = PF+AF.思路：同上题的方法一和方法二一样例2如图2-1，AD / BC , ABE和厶CDF是等腰直角三角形，/ EAB=Z CDF=90 ,AD=2, BC=5,求四边形AEDF的面积.图2-1解析：如图2-

23、2,过点E、B分别作EN丄DA , BM丄DA交DA延长线于点N、M. 过点F、C分别作FP丄AD, CQ丄AD交AD及AD延长线于点 P、Q.1 1 1S四边形 EAFD S AED S aDF 2?ad?en 2?ad?fp 2?ad?en fp ABE 和厶 CDF 是等腰直角三角形，二 / EAB = Z CDF= 90 , AE=AB , DF=CD. EN 丄 DA, BM 丄 DA , FP 丄 AD , CQ 丄 AD , a Z NMB=Z ENA= / FPD= / DQC=90 / ENA= Z MBA , Z FDP= Z QCD.： ENA ABM , FPD DQC

24、.A NE=AM , PF=DQ .A NE+PF=DQ+AM=MQ-ADv AD / BC, CQ/ BM , Z BMN= 90 ,a四边形BMQC是矩形.a BC=MQv AD=2 , BC=5 a NE+PF=5-2=3S四边形EAFD1 2 3 3.图2-22.练习稳固：(1)、如图(1)-1,直角梯形 ABCD中，AD / BC, Z ADC= 90 , 1是AD的垂直平分线,交AD于点M ,以腰AB为边做正方形 ABFE , EP丄1于点P.求证：2EP+AD=2CD.(1) -1(1) -2(2)、如图，在直角梯形 ABCD中，/ ABC=90 , AD / BC, AB=AC E是AB的中点,CE 丄 BD. 求证：BE=AD ； 求证：AC是线段ED的垂直平分线； 厶BCD是等腰三角形吗？请说明理由四、手拉手模型ABE和厶ACF均为等边三角形BC结论：(1) . ABF AEC(2) .Z BOE=BAE= 60 (“八字模型证明)(3) .OA 平分 Z EOF拓展：条件： ABC和厶CDE均为等边三角形结论：(1)、AD=BE(2)、Z ACB= Z AOB (3)、 PCQ 为等边三角形(4) 、PQ/ AE (5)、AP=BQ ( 6)、CO 平分 Z AOE (7)、