小学奥数专题—抽屉原理(一)

1、小学奥数专题抽屉原理 （ 一） 专题介绍 把 4 只苹果放到 3 个抽屉里去，共有 4 种放法（请小朋友们自己列 举），不论如何放，必有一个抽屉里至少放进两个苹果。 同样，把 5 只苹果放到 4 个抽屉里去，必有一个抽屉里至少放进两个苹果。 更进一步，我们能够得出这样的结论：把 n1 只苹果放到 n 个抽屉里去， 那么必定有一个抽屉里至少放进两个苹果。这个结论，通常被称为抽屉原理。 利用抽屉原理，可以说明（证明）许多有趣的现象或结论。不过，抽屉原理 不是拿来就能用的， 关键是要应用所学的数学知识去寻找 “抽屉”，制造“抽屉”， 弄清应当把什么看作“抽屉” ，把什么看作“苹果” 。 经典例题 【

2、例 1】一个小组共有 13 名同学，其中至少有 2 名同学同一个月过生日。为什 么？ 【分析与解答】每年里共有 12 个月，任何一个人的生日，一定在其中的某一个 月。如果把这 12 个月看成 12 个“抽屉”，把13 名同学的生日看成 13只“苹果”， 把 13 只苹果放进 12 个抽屉里，一定有一个抽屉里至少放 2 个苹果，也就是说， 至少有 2 名同学在同一个月过生日。 【例 2】任意 4 个自然数，其中至少有两个数的差是 3的倍数。这是为什么？ 【分析与解答】 首先我们要弄清这样一条规律： 如果两个自然数除以 3的余数相 同，那么这两个自然数的差是 3的倍数。而任何一个自然数被 3 除的

3、余数，或者 是 0 ，或者是 1 ，或者是 2，根据这三种情况，可以把自然数分成 3 类，这 3 种 类型就是我们要制造的 3 个“抽屉”。我们把 4 个数看作“苹果”，根据抽屉原理， 必定有一个抽屉里至少有 2 个数。换句话说， 4 个自然数分成 3 类，至少有两个 是同一类。既然是同一类，那么这两个数被 3 除的余数就一定相同。所以，任意 4 个自然数，至少有 2 个自然数的差是 3 的倍数。 想一想，例 2 中 4 改为 7，3 改为 6，结论成立吗？ 【例 3】有规格尺寸相同的 5 种颜色的袜子各 15 只混装在箱内，试问不论如何 取，从箱中至少取出多少只就能保证有 3 双袜子（袜子无

4、左、右之分）？ 【分析与解答】试想一下，从箱中取出 6只、9只袜子，能配成 3 双袜子吗？回 答是否定的。 按 5 种颜色制作 5 个抽屉，根据抽屉原理 1，只要取出 6 只袜子就总有一只 抽屉里装 2 只，这 2 只就可配成一双。拿走这一双，尚剩 4 只，如果再补进 2 只又成 6 只，再根据抽屉原理 1，又可配成一双拿走。如果再补进 2 只，又可取 得第 3 双。所以，至少要取 622=10只袜子，就一定会配成 3 双。 思考： 1. 能用抽屉原理 2，直接得到结果吗？ 2. 把题中的要求改为 3 双不同色袜子，至少应取出多少只？ 3.把题中的要求改为 3 双同色袜子，又如何？ 【例 4】

5、一个布袋中有 35 个同样大小的木球，其中白、黄、红三种颜色球各有 10个，另外还有 3个蓝色球、 2 个绿色球，试问一次至少取出多少个球，才能保 证取出的球中至少有 4 个是同一颜色的球？ 【分析与解答】从最“不利”的取出情况入手。 最不利的情况是首先取出的 5个球中，有 3个是蓝色球、 2个绿色球。 接下来，把白、黄、红三色看作三个抽屉，由于这三种颜色球相等均超过 4 个，所以，根据抽屉原理2,只要取出的球数多于（4-1 ）X 3=9个，即至少应取 出 10个球，就可以保证取出的球至少有 4个是同一抽屉（同一颜色）里的球。 故总共至少应取出 105=15 个球，才能符合要求。 思考：把题中

6、要求改为 4 个不同色，或者是两两同色，情形又如何？ 当我们遇到“判别具有某种事物的性质有没有， 至少有几个”这样的问题时， 想到它抽屉原理，这是你的一条“决胜”之路。 提示 抽屉原理还可以反过来理解：假如把 n1 个苹果放到 n 个抽屉里，放 2个 或2个以上苹果的抽屉一个也没有 （与“必有一个抽屉放 2个或 2个以上的苹果” 相反），那么，每个抽屉最多只放1个苹果，n个抽屉最多有n个苹果，与“ n+1 个苹果”的条件矛盾。 运用抽屉原理的关键是“制造抽屉” 。通常，可采用把 n 个“苹果”进行合 理分类的方法来制造抽屉。比如，若干个同学可按出生的月份不同分为 12类， 自然数可按被 3 除

7、所得余数分为 3 类等等。 例5 有 5个小朋友， 每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋子. 请你证明，这 5 个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。 【分析与解答】首先要确定 3 枚棋子的颜色可以有多少种不同的情况，可以有： 3黑， 2黑1 白， 1 黑 2白， 3白共 4种配组情况，看作 4个抽屉.把每人的 3枚 棋作为一组当作一个苹果，因此共有 5个苹果.把每人所拿 3枚棋子按其颜色配 组情况放入相应的抽屉 . 由于有 5 个苹果，比抽屉个数多，所以根据抽屉原理， 至少有两个苹果在同一个抽屉里，也就是他们所拿棋子的颜色配组是一样的。 例6 一副扑克牌（去掉两张

8、王牌），每人随意摸两张牌，至少有多少人才能保 证他们当中一定有两人所摸两张牌的花色情况是相同的？ 【分析与解答】扑克牌中有方块、梅花、黑桃、红桃 4种花色， 2张牌的花色可 以有： 2张方块， 2张梅花， 2张红桃， 2张黑桃， 1 张方块 1 张梅花， 1 张方块 1 张黑桃， 1 张方块 1 张红桃， 1 张梅花 1 张黑桃， 1 张梅花 1 张红桃， 1 张黑桃 1 张红桃共计 10 种情况 . 把这 10 种花色配组看作 10个抽屉， 只要苹果的个数比 抽屉的个数多 1 个就可以有题目所要的结果 . 所以至少有 11 个人。 例 7 证明：任取 8 个自然数，必有两个数的差是 7 的倍

9、数 【分析与解答】 在与整除有关的问题中有这样的性质，如果两个整数 a b,它 们除以自然数m的余数相同，那么它们的差a-b是m的倍数.根据这个性质，本 题只需证明这 8个自然数中有 2个自然数，它们除以 7的余数相同 . 我们可以把 所有自然数按被 7除所得的 7种不同的余数 0、 1、 2、 3、 4、 5、 6分成七类.也 就是 7个抽屉. 任取 8个自然数，根据抽屉原理，必有两个数在同一个抽屉中， 也就是它们除以 7 的余数相同，因此这两个数的差一定是 7 的倍数。 把所有整数按照除以某个自然数 m的余数分为m类，叫做m的剩余类或同余 类，用0，1，2，m-1表示.每一个类含有无穷多个

10、数，例如1中含 有1，m+1 2m 1，3m+ 1，.在研究与整除有关的问题时，常用剩余类作为抽 屉. 根据抽屉原理，可以证明：任意 n+1 个自然数中，总有两个自然数的差是 n 的倍数。 在有些问题中，“抽屉”和“苹果”不是很明显的，需要精心制造“抽屉” 和“苹果” . 如何制造“抽屉”和“苹果”可能是很困难的，一方面需要认真地 分析题目中的条件和问题，另一方面需要多做一些题积累经验。 例8从2、4、6、30这15个偶数中，任取9个数，证明其中一定有两个数 之和是 34。 【分析与解答】我们用题目中的 15个偶数制造 8 个抽屉： 凡是抽屉中有两个数的，都具有一个共同的特点：这两个数的和是3

11、4。 现从题目中的 15个偶数中任取 9个数，由抽屉原理（因为抽屉只有 8 个）， 必有两个数在同一个抽屉中 . 由制造的抽屉的特点，这两个数的和是 34。 例9从1、2、3、4、19、20这20个自然数中，至少任选几个数，就可以 保证其中一定包括两个数，它们的差是 12。 【分析与解答】在这 20个自然数中，差是 12 的有以下 8 对： 20, 8， 19, 7， 18, 6， 17, 5， 16, 4， 15, 3， 14, 2, 13, 1。 另外还有 4 个不能配对的数 9， 10， 11， 12，共制成 12 个抽屉（每个括号看成一个抽屉） . 只要有两个数取自同一个抽屉，那么它们

12、的 差就等于12,根据抽屉原理至少任选13个数，即可办到（取12个数：从12个 抽屉中各取一个数（例如取1, 2, 3,，那么这12个数中任意两个数 的差必不等于12）。 例10从1到20这20个数中，任取11个数，必有两个数，其中一个数是另一 个数的倍数。 【分析与解答】根据题目所要求证的问题，应考虑按照同一抽屉中，任意两数都 具有倍数关系的原则制造抽屉把这20个数按奇数及其倍数分成以下十组，看成 10个抽屉（显然，它们具有上述性质）： 1, 2, 4, 8, 16, 3, 6, 12, 5, 10, 20, 7, 14, 9, 18, 11, 13, 15, 17, 19。 从这10个数组

13、的20个数中任取11个数，根据抽屉原理，至少有两个数取 自同一个抽屉.由于凡在同一抽屉中的两个数都具有倍数关系， 所以这两个数中, 其中一个数一定是另一个数的倍数。 例11某校校庆，来了 n位校友，彼此认识的握手问候.请你证明无论什么情况， 在这n个校友中至少有两人握手的次数一样多。 【分析与解答】共有n位校友，每个人握手的次数最少是0次，即这个人与其他 校友都没有握过手；最多有n-1次，即这个人与每位到会校友都握了手.校友人 数与握手次数的不同情况（0, 1, 2,，n-1）数都是n,还无法用抽屉原理。 然而，如果有一个校友握手的次数是 0次，那么握手次数最多的不能多于 n-2次；如果有一个

14、校友握手的次数是 n-1次，那么握手次数最少的不能少于 1 次.不管是前一种状态0、1、2、n-2 ,还是后一种状态1、2、3、n-1 , 握手次数都只有n-1种情况.把这n-1种情况看成n-1个抽屉，到会的n个校友 每人按照其握手的次数归入相应的“抽屉”，根据抽屉原理，至少有两个人属于 同一抽屉，则这两个人握手的次数一样多。 例12在长度是10厘米的线段上任意取11个点，是否至少有两个点，它们之间 的距离不大于1厘米？ 【分析与解答】把长度10厘米的线段10等分，那么每段线段的长度是1厘米 （见下图）。 将每段线段看成是一个“抽屉”，一共有10个抽屉。现在将这11个点放到 这10个抽屉中去。

15、根据抽屉原理，至少有一个抽屉里有两个或两个以上的点 （包 括这些线段的端点）。由于这两个点在同一个抽屉里，它们之间的距离当然不会 大于1厘米。 所以，在长度是10厘米的线段上任意取11个点，至少存在两个点，它们之 间的距离不大于1厘米。 例13有苹果和桔子若干个，任意分成5堆，能否找到这样两堆，使苹果的总数 与桔子的总数都是偶数？ 【分析与解答】 由于题目只要求判断两堆水果的个数关系，因此可以从水果个 数的奇、偶性上来考虑抽屉的设计。 对于每堆水果中的苹果、桔子的个数分别都有奇数与偶数两种可能， 所以每 堆水果中苹果、桔子个数的搭配就有 4种情形： （奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶

16、）， 其中括号中的第一个字表示苹果数的奇偶性，第二个字表示桔子数的奇偶 性。 将这4种情形看成4个抽屉，现有5堆水果，根据抽屉原理可知，这5堆水果里 至少有2堆属于上述4种情形的同一种情形。由于奇数加奇数为偶数，偶数加偶 数仍为偶数，所以在同一个抽屉中的两堆水果，其苹果的总数与桔子的总数都是 偶数。 一二三四五 列列列則列 例14用红、蓝两种颜色将一个2X 5方格图中的小方格随意涂色（见右图），每 个小方格涂一种颜色。是否存在两列，它们的小方格中涂的颜色完全相同？ 【分析与解答】 种情形： 用红、蓝两种颜色给每列中两个小方格随意涂色，只有下面四 第二行 将上面的四种情形看成四个 至少有一个抽屉

17、中有不少于两列, “抽屉”。根据抽屉原理，将五列放入四个抽屉, 这两列的小方格中涂的颜色完全相同。 习题 1. 某校的小学生年龄最小的 6 岁，最大的 13 岁，从这个学校中任选几位同学就 一定保证其中 有两位同学的年龄相同？ 2. 中午食堂有 5 种不同的菜和 4种不同的主食， 每人只能买一种菜和一种主食， 请你证明某班 在食堂买饭的 21 名学生中，一定至少有两名学生所买的菜和主食是一样的。 3. 证明：任取 6 个自然数，必有两个数的差是 5的倍数。 4. 为了欢迎外宾来校参观，学校准备了红色、黄色、绿色的小旗，每个同学都左 右两手各拿 一面彩旗列队迎接外宾 . 至少有多少位同学才能保证

18、其中至少有两个人不但所拿 小旗颜色一 样，而且（左、右）顺序也相同？ 5. 从10至20这11个自然数中，任取 7个数，证明其中一定有两个数之和是 29。 6. 从1、2、3、20这20个数中，任选12个数，证明其中一定包括两个数， 它们的差是 11。 7.20 名小围棋手进行单循环比赛（即每个人都要和其他任何人比赛一次） ，证 明：在比赛中 的任何时候统计每人已经赛过的场次都至少有两位小棋手比赛过相同的场次。 8.从整数1、2、3、199、200中任选101个数，求证在选出的这些自然数中 至少有两个数 ， 其中的一个是另一个的倍数 . 习题解答 1. 从6岁到 13岁共有 8种不同的年龄，根

19、据抽屉原理，任选 9名同学就一定保 证其中有两位同学的年龄相同。 2. 共有4X 5=20（种）不同的买饭菜的方式，看作 20个抽屉，21名同学按照买 饭菜的方式进入相应的抽屉， 根据抽屉原理， 至少有两人属于同一抽屉， 即 他们所买的菜和主食是一样的。 3. 把自然数按照除以 5的余数分成 5个剩余类，即 5个抽屉. 任取 6个自然数， 根据抽屉原理，至少有两个数属于同一剩余类，即这两个数除以 5的余数相同， 因此它们的差是 5的倍数。 4. 持两面彩旗的方式共有以下 9 种：红红、黄黄、绿绿、红黄、黄红、红绿、绿 红、黄绿、绿黄 . 把这 9 种持旗方式看作 9 个抽屉 ，根据抽屉原理可得出， 至 少要有 10个同学， 才能保证他们当中至少有两人不