《正态分布一》 (2)ppt课件

1、2.4 正态分布正态分布高二数学高二数学 选修选修2-3引入引入 正态分布在统计学中是很重要的分布。我们知正态分布在统计学中是很重要的分布。我们知道，离散型随机变量最多取可列个不同值，它等于道，离散型随机变量最多取可列个不同值，它等于某一特定实数的概率能够大于某一特定实数的概率能够大于0，人们感兴趣的是，人们感兴趣的是它取某些特定值的概率，即感兴趣的是其分布列；它取某些特定值的概率，即感兴趣的是其分布列；延续型随机变量能够取某个区间上的任何值，它等延续型随机变量能够取某个区间上的任何值，它等于任何一个实数的概率都为于任何一个实数的概率都为0，所以通常感兴趣的，所以通常感兴趣的是它落在某个区间的

2、概率。离散型随机变量的概率是它落在某个区间的概率。离散型随机变量的概率分布规律用分布列描画，而延续型随机变量的概率分布规律用分布列描画，而延续型随机变量的概率分布规律用密度函数曲线描画。分布规律用密度函数曲线描画。复习100个产品尺寸的频率分布直方图个产品尺寸的频率分布直方图25.23525.29525.35525.41525.47525.535 产品 尺寸mm)频率组距复习200个产品尺寸的频率分布直方图25.23525.29525.35525.41525.47525.535 产品 尺寸mm)频率组距复习样本容量增大时频率分布直方图频率组距产品 尺寸(mm)总体密度曲线复习产品 尺寸(mm)

3、总体密度曲线高尔顿板高尔顿板11总体密度曲线0YX导入导入产品尺寸的总体密度曲线产品尺寸的总体密度曲线就是或近似地是以下函数的图象：就是或近似地是以下函数的图象：22()21( )2xf xe),(x1 、正态曲线的定义：、正态曲线的定义：函数函数式中的实数式中的实数、(0)是参数，分别表示是参数，分别表示总体的平均数与规范差，称总体的平均数与规范差，称f( x)的图象称为正态曲线的图象称为正态曲线cdab平均数XY 假设用X表示落下的小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标,那么X是一个随机变量.X落在区间(a,b的概率为:badxxbXaP)()(,2.正态分布的定义正态分布的定义:假设对于任

4、何实数假设对于任何实数 ab,随机变量随机变量X满足满足:badxxbXaP)()(, 那么称为那么称为X 的正态分布的正态分布. 正态分布由参数正态分布由参数、独一确定独一确定.正态分布记作正态分布记作N ，2.其图象称为其图象称为正态曲线正态曲线.假设随机变量假设随机变量X服从正态分布，服从正态分布，那么记作那么记作 X N ，2 在实践遇到的许多随机景象都服从或在实践遇到的许多随机景象都服从或近似服从正态分布：近似服从正态分布：在消费中，在正常消费条件下各种产品在消费中，在正常消费条件下各种产品的质量目的；的质量目的； 在丈量中，丈量结果；在丈量中，丈量结果； 在生物学中，同一群体的某一

5、特在生物学中，同一群体的某一特征；征； 在气候中，某地每年七月份的平均气在气候中，某地每年七月份的平均气温、平均湿度温、平均湿度 以及降雨量等，水以及降雨量等，水文中的水位；文中的水位； 总之，正态分布广泛存在于自然界、消总之，正态分布广泛存在于自然界、消费及科学技术的许多领域中。费及科学技术的许多领域中。正态分布在概率和统计中占有重要位置。正态分布在概率和统计中占有重要位置。 m 的意义产品 尺寸(mm)x1x2总体平均数反映总体随机变量的总体平均数反映总体随机变量的 平均程度平均程度x3x4平均数x x 产品 尺寸(mm)总体平均数反映总体随机变量的总体平均数反映总体随机变量的 平均程度平

6、均程度总体规范差反映总体随机变量的总体规范差反映总体随机变量的 集中与分散的程度集中与分散的程度平均数平均数 的意义1 2 正态总体的函数表示式正态总体的函数表示式当= 0，=1时222)(21)(xexf),(x2221)(xexf规范正态总体的函数表示式规范正态总体的函数表示式),(x012-1-2xy-33=0=1规范正态曲线21, 0(，+1当 = 时,函数值为最大.(3) 的图象关于 对称.2 的值域为 4当 时 为增函数.当 时 为减函数.)(xf)(xfxxx)(xf)(xf012-1-2xy-33=0=1规范正态曲线规范正态曲线正态总体的函数表示式正态总体的函数表示式222)(

7、21)(xexf),(x =x1、以下函数是正态密度函数的是、以下函数是正态密度函数的是 A. B. C. D.22()21( ), ,(0)2xf xe 都是实数222( )2xf xe2(1)41( )2 2xf xe221( )2xf xeB2、规范正态总体的函数为、规范正态总体的函数为1证明证明f(x)是偶函数；是偶函数；2求求f(x)的最大值；的最大值；3利用指数函数的性质阐明利用指数函数的性质阐明f(x)的增减性。的增减性。221( ),(,).2xf xex 练习：练习：1、假设一个正态分布的概率函数是一个偶函数且该函、假设一个正态分布的概率函数是一个偶函数且该函数的最大值等于数

8、的最大值等于 ，求该正态分布的概率密度函数，求该正态分布的概率密度函数的解析式。的解析式。14 220 25 301510 xy535122、如图，是一个正态曲线，、如图，是一个正态曲线，试根据图象写出其正态分布试根据图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和求出总体随机变量的期望和方差。方差。3、正态曲线的性质、正态曲线的性质012-1-2xy-3= -1=0.5012-1-2xy-33=0=1012-1-2xy-334=1=2具有两头低、中间高、左右对称的根本特征具有两头低、中间高、左右对称的根本特征22()21( ),(,)2xxex 01

9、2-1-2xy-3= -1=0.5012-1-2xy-33=0=1012-1-2xy-334=1=21 1曲线在曲线在x x轴的上方，与轴的上方，与x x轴不相交轴不相交. .2曲线是单峰的曲线是单峰的,它关于直线它关于直线x=对称对称. 3 3、正态曲线的性质、正态曲线的性质4曲线与曲线与x轴之间的面积为轴之间的面积为13曲线在曲线在x=处到达峰值处到达峰值(最高点最高点)1 1 2222()21( ),(,)2xxex 方差相等、均数不等的正态分布图示方差相等、均数不等的正态分布图示312=0.5=-1=0=1假设假设 固固定定, 随随 值的变化值的变化而沿而沿x轴轴平移平移, 故故 称为

10、位置称为位置参数；参数；均数相等、方差不等的正态分布图示均数相等、方差不等的正态分布图示=0.5=1=2=0假设假设 固定固定, 大时大时, 曲线矮而曲线矮而胖；胖； 小时小时, 曲线瘦曲线瘦而高而高, 故称故称 为外形参数。为外形参数。=0.5012-1-2xy-33X=1=2(6)当当一定时，曲线的外形由一定时，曲线的外形由确定确定 .越大，曲线越越大，曲线越“矮胖，表示总体的分布越分散；矮胖，表示总体的分布越分散；越小，曲线越越小，曲线越“瘦高，表示总体的分布越集中瘦高，表示总体的分布越集中.5当当 x时时,曲线下降曲线下降.并且当曲线并且当曲线向左、右两边无限延伸时向左、右两边无限延伸

11、时,以以x轴为渐近线轴为渐近线,向它无限接近向它无限接近. 3 3、正态曲线的性质、正态曲线的性质22()21( )2xxe 动画动画3、把一个正态曲线、把一个正态曲线a沿着横轴方向向右挪动沿着横轴方向向右挪动2个单位，个单位，得到新的一条曲线得到新的一条曲线b。以下说法中不正确的选项是。以下说法中不正确的选项是 A.曲线曲线b依然是正态曲线；依然是正态曲线；B.曲线曲线a和曲线和曲线b的最高点的纵坐标相等的最高点的纵坐标相等;C.以曲线以曲线b为概率密度曲线的总体的期望比以曲线为概率密度曲线的总体的期望比以曲线a为为概率密度曲线的总体的期望大概率密度曲线的总体的期望大2;D.以曲线以曲线b为

12、概率密度曲线的总体的方差比以曲线为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a为为概率密度曲线的总体的方差大概率密度曲线的总体的方差大2。C正态曲线下的面积规律正态曲线下的面积规律X轴与正态曲线所夹面积恒等于轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。对称区域面积相等。对称区域面积相等。S(-,-X)S(X,)S(-,-X)正态曲线下的面积规律正态曲线下的面积规律 对称区域面积相等。对称区域面积相等。S(-x1, -x2)-x1 -x2 x2 x1S(x1,x2)=S(-x2,-x1)4、特殊区间的概率、特殊区间的概率:a aaax=假设假设XN ,那么对于任何实数那么对于任何实数a0,概率概率 为如图中的阴影部分

13、的面积，对于固定的为如图中的阴影部分的面积，对于固定的 和和 而言，该面而言，该面积随着积随着 的减少而变大。这阐明的减少而变大。这阐明 越小越小, 落在区间落在区间 的概率越大，即的概率越大，即X集中在集中在 周围概率越大。周围概率越大。2( ,) ,()( )aaPaax dx x x (,aa()0.6826,(22 )0.9544,(33 )0.9974.PXPXPX特别地有特别地有 我们从上图看到，正态总体在我们从上图看到，正态总体在 以外取值的概率只需以外取值的概率只需4.6，在，在 以外取值的概率只需以外取值的概率只需0.3 。2,23,3 由于这些概率值很小普通不超越由于这些概

14、率值很小普通不超越5 ，通常称这些情况发生为小概率事件。，通常称这些情况发生为小概率事件。()0.6826,(22 )0.9544,(33 )0.9974.PXPXPX 4、在某次数学考试中，考生的成果、在某次数学考试中，考生的成果 服从一个服从一个正态分布，即正态分布，即 N(90,100).1试求考试成果试求考试成果 位于区间位于区间(70,110)上的概率是上的概率是多少？多少？2假设这次考试共有假设这次考试共有2000名考生，试估计考试成名考生，试估计考试成果在果在(80,100)间的考生大约有多少人？间的考生大约有多少人？xxx练习：练习：1、知一次考试共有、知一次考试共有60名同窗参与，考生的成名同窗参与，考生的成果果X ，据此估计，大约应有，据此估计，大约应有57人的分数人的分数在以下哪个区间内？在以下哪个区间内？