专题一运动学讲解

1、其大小为 r 方位是 cosx2y2z2x/rcos y /r4、位移 由初位置指向末位置的矢量称为位移，cos z/r它等于质点在rxiyjzk其中 x x2 x1yy2 y1z z2 z1时间内位置矢量的增量，即r r2 r1r2x22y2 z2位移的方位是xyzcoscoscosrrr位移的大小为、直线运动的速度和加速度竞赛专题一 运动学基本知识】、 质点的位置、位置矢量和位移1、质点 如果物体的大小和形状可以忽略不计，就可以把物体当做一个有质量的点。称该点 为质点。2、参考系 物理学中把选作为标准的参考物体系统为参考系。z3、位置矢量 由参考点指向质点所在位置的有向线段称为位置矢 量，

2、简称位矢或矢径。 r xi yj zk平均速度 质点在 t tt 内产生的位移r 与 t 之比，称为此时间间隔内的平均速度，表1、速度时刻的瞬时速度，简称速度，表达式为rdrlimt 0 t dt达式是为 v rt瞬时速度 当 t 0 时，平均速度的极限值，即位移矢量对时间的一阶导数，称为质点在 t2、 加速度平均加速度 在t t t内质点速度的增量与时间之比，称为时间间隔内的平均加速度，表 达式为 a vt瞬时加速度 平均加速度的极限值，即速度对时间的一阶导数，或位置矢量对时间的二阶导2 数，称为质点在 t 时刻的瞬时加速度，简称加速度，表达式为 a lim v dv d rlitm0 t

3、dt dt1)加速度具有瞬时性，即 a a(t) 。只有质点做匀变速直线运动时， a 恒矢量，这时有如下运动公式v v0 atx0v0t 1at202v2v02对于不同的参考系来说， 质点的加速度一般不同。 在两个相对做匀 速直线运动的参考系中（两个惯性系） ，质点具有相同的加速度。（3）加速度与速度本身无关，只与速度的变化（包括方向或大小的变化）有关。某时刻速度为零而加速度不为零的是可能的。例如，竖直上抛运动到顶点时， v 0 ，但 a g 02）加速度具有相对性，2a(x x0)三、运动学的基本问题微分问题 已知运动方程，求速度、加速度。因求解方法用微分方法，故称此类问题为微分 问题。积分

4、问题 已知加速度和初始条件，求速度、问题为积分问题。运动方程。因求解方法用积分方法，故称此类1)当 a a(t) 时， dva(t)dtv00t a(t)dt 。同理由vdrdt ， 可 得r r00t vy(t)dt 。当 a a(v) 时，由 a(v)dvdtdtdva(v)，可得 0t dtv dv 。 v0 a(v)3）当aa(x)时， a(x)dvdvdxdtdx dtvdv a(x)dx dxvdv四、曲线运动的速度和加速度1、曲线运动的速度和加速度 物体（质点）运动轨迹是曲线的的运动称为曲线运动。参照直线运动中瞬时速度的概念描写 质点在某一时刻运动的快慢情况。平均速度 质点在 t

5、和t t时刻位矢分别为 r（t）和 r（t t），则在 t 时间内的平均速度为 r 与 t 之比，表达式是为 v r tt 0 时，平均速度的极限值为质点在 t 时刻的瞬时速 r drv lim t dt t 0 t dt瞬时速度 度，表达式为瞬时加速度在 t 时刻质点位于 A 点，速度为 vA,经过点位于 B 点速度为 vB ，瞬时加速度为 a limvB vA lim t 0 t t 02、圆周运动 圆周运动是曲线运动的特例，设质点作半径为v2 n att ， 其 中 切 向 加 速 度 Rt速度为 v，则圆周运动的加速度为 a an atatlim vt ，反映的是速度大小的变化；法向加

6、速度t 0 t变化 。n 和t 分别为法线方向单位矢量和切向方向单位矢量。anv2n ，反映的是速度方向的0，即质点的运动加速度若质点做匀速圆周运动，其速率不随时间变化，即 atanv2n 就是法向加速度，其大小保持不变，方向始终指向圆心。3、抛体运动 物体以一定的速度 vo 抛出后，若忽略空气阻力，且物体的运动地球表面附近，它的运动高度远小于地球半径，则在运动过程中，其加速度恒为竖直向下的重力加速度g。抛体运动是一种加速度恒定的曲线运动。0o时为平抛运动，90o 时为上抛运动）取抛体轨迹所在平面抛体运动的规律为：Oxy 平面，抛出点为坐标原点，水平方向为 x 轴，竖直方向为 y 轴，则ax0

7、,ayg ；vocos ,vyvosingt；v0 cos t, yvo sin t12 gt2其轨迹方程为 y xtan 2g 2 x2，飞行时间2vo2cos2g射高 H = V02sin2g抛体运动具有对称性，上升时间和下降时间相等；上升和下降时经过同一高度时速度大小相 等，速度方向与水平方向的夹角大小相等。五、运动的合成1、运动的合成与分解：包括位移、 速度、 加速度的合成与分解， 合运动与分运动具有独立性、等时性、等效性。2、 相对运动： 物体相对静止参考系的速度等于物体相对运动参考系的速度和运动参考系相对于静止参考系两者的矢量和。 v绝对v相对 v牵连六、刚体的平动和定轴转动1、刚

8、体 在无论多大的外力作用下，总保持形状和大小不变的物体叫刚体。刚体是一种理想化模型， 实际物体在外力作用下发生的形变效应不显著可被忽略时，即可看做刚体。刚体运动时，其上各点的运动状态总是相同，这种运动叫平动。如果刚体的各个质点在运动 中都绕同一直线做圆周运动，这种运动叫转动。刚体的任何一个复杂运动总可视作平动与转动的 叠加，刚体的运动同样遵从运动独立性原理。刚体绕轴转动时，其上的任一质点都绕轴做圆周运动，既可以用线量来描述，又可以用角量 来描述，角量与线量的关系为vraranQP0x2、角位置与角位移角位置 刚体上任一点在 t 时刻到达 P 点，刚体的方位可由 OP r 与 Ox 之夹角 来确

9、定， 称为 t 时刻的角位置，亦称角坐标。如图所示。角位移 若 t 时刻刚体的角位置为 ，t t 时刻角位置为 ，则 称为刚体在 t 时间内的角位移 。3、角速度与角加速度平均角速度 刚体在 t t t 内产生的角位移 与 t 之比，称为 t 时间内的平均角速度。 表达式为t瞬时角速度 t 0 平均角速度的极限值。表达式为lim dltim 0 t dt平均角加速度 在t t t内刚体角速度的增量与时间之比， 称为时间间隔内的平均角加速 度。表达式为t瞬时角加速度 t 0 时平均角速度的极限值。表达式为lim d d2t 0 t dt dt2七、刚体定轴转动的基本问题微分问题 已知角运动方程，

10、求角速度、角加速度。因求解方法用到微分方法用到积分方法， 故此类问题称为微分问题。描述刚体定轴转动时，如下对应关系：dddt dt当(t)时，可利用定义ddt(t)dt ，求得t oo(t)dt，ot (t)dt( ) 时，据定义对变量进行调整ddtdtd，然后取积分并()积分问题 已知叫加速度和初始条件，求角速度、角运动方程。因求解方法用到积分方法， 故此类问题称为积分问题。代人初始条件就可以求出角速度方程，进一步可以求出角运动方程当 ( ) 时，需作如下变换d d d dt d dt，然后分离变量取积分，求出角速度方程和角运动方程考虑如下两种特殊情况：当刚体做匀变速转动时（c） ，如下公式

11、成立：0tt2当刚体做匀速转动（2200)0） ）时，公式成0 t 成立【例题解析】例 1 质量为 M 、均匀分布的圆环，其半径为 力为 T ，求此圆环可以绕几何轴旋转的最大角速度 解析 ：因为向心力 F=mr 2，当一定时， 应的角速度，r，几何轴与水平面垂直，若它能经受的最大张r 越大，向心力越大，所以要想求最大张力T 所对r 应取最大值 .如图 1-1 所示，在圆环上取一小段 L ，对应的圆心角为，其质量可表示为 m M ，受圆环对它的张2力为 T ，则同上例分析可得 2Tsin22mr因为很小，所以sin ，即222T 2 2 Mr22 解得最大角速度2TMr图 1-1元过程” ，而且

12、每个“元过程”所遵循的规律是相，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想注释 微元法 是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。在使用 微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的 同的，这样，我们只需分析这些“元过程” 处理，进而使问题求解。老鼠洞中心 s2=2m 的 B 点时，其速度大小已知爬出速度 v 的大小与距老鼠洞中心的距离 s 成反 s1 = 1m 的 A 点时，速度大小为 v1 = 20cm/s ，问当老鼠到达距 v2 = ？老鼠从 A 点到达 B 点所用的时间 t = ？PF 成反比，即 v = P ，由此可F例 2 一 只老鼠从老鼠洞沿直线爬出， 比，当

13、老鼠到达距老鼠洞中心距离解析：我们知道当汽车以恒定功率行驶时，其速度v 与牵引力 把老鼠的运动等效为在外力以恒定的功率牵引下的弹簧的运动。由此分析，可写出： v = P= PF kx当 x = s1时，v = v1将其代入上式求解，得： k = P = Pv1s1 v2 s2所以老鼠到达 B 点时的速度 v2 =ss21 v1 = 1220 = 10cm/s再根据外力做的功等于此等效弹簧弹性势能的增加，Pt = 21 k s22 12 ks12代入有关量可得： Pt = 1 P (s22 s12 )2 v1s1 2 12 2 2 2由此可解得： t =s2 s1 = 2 1 = 7.5s2s1

14、 v1 2 1 0.2注释 等效法是 用较简单的因素代替较复杂的因素，以使问题得到简化而便于求解。在效果 相同的情况下，将较为复杂的实际问题变换为简单的熟悉问题，以便突出主要因素，抓住它的本 质，找出其中规律。例 3 如图 1-2 所示，一水枪需将水射到离喷口的水平距离为 3.0m 的墙外， 从喷口算起， 墙 高为 4.0m。 若不计空气阻力，取 g 10m/s2 ，求所需的最小初速及对应的发射仰角。解析 水流做斜上抛运动，以喷口 O 为原点建立如图所示的直角坐标，本题的任务就是水流 能通过点 A (d、h)的最小初速度和发射仰角。x v0 cos t根据平抛运动的规律，水流的运动方程为 1

15、2 y v0 sin tgt 2把 A 点坐标( d、h)代入以上两式，消去 gd2 / 2cos2 (h dtan gd2 /d sin 2h(cos2gd 2 / d2 h2 2d2v02t，得： ) 1)图 1-2h/dtan ,则d/ d 2h22v0gd2/ d2 h2 sin(2亦即发射角 45 245h2cossin2hd2cos2 h2,h/ d 2 h2sin , 上式可变为h,显然 ,当sin( 21harctan 452d) 1, 即2904 arctan371.6 时, v0最小,图 1-3且最小初速 v0= g( d2 h2 h) 3 10m/ s 9.5m / s.

16、注释 极限法 是把某个物理量推向极端，即极大和极小或极左和极右，并依此做出科学的推 理分析，从而给出判断或导出一般结论。极限法在进行某些物理过程的分析时，具有独特作用， 恰当应用极限法能提高解题效率，使问题化难为易。例 4 有一个很大的湖，岸边(可视湖岸为直线)停放着一艘小船，缆绳突然断开，小船被 风刮跑，其方向与湖岸成 15角，速度为 2.5km/h 。 同时岸上一人从停放点起追赶小船，已知 他在岸上跑的速度为 4.0km/h ，在水中游的速度为 2.0km/h ，问此人能否追及小船？解析 ：费马原理指出：光总是沿着光程为极小值的路径传播。据此可以证明，光在平面分界 面上的折射是以时间为极小

17、值的路程传播。本题求最短时间问题，可类比类在平面分界面上的折 射情况，这样就把一个运动问题通过类比可转化为光的折射问题求解。如图 1-3所示，船沿 OP方向被刮跑，设人从 O点出发先沿湖岸跑，在 A 点入水游到 OP的B 点，如果符合光的折射定律，则所用时间最短。根据折射定律： sin90o = 4.0 ，解得： = 30sin 2.0 = 180 15 (90+) = 45在这最短时间内，若船还未到达 B 点，则人能追上小船，若船已经通过了 B 点，则人不能追 上小船，所以船刚好能到达 B 点所对应的船速就是小船能被追及的最大船速vm 。根据正弦定理：vm t = v1t1 = v2t2si

18、n120o = sin 45o = sin15o又：t = t1 + t2 由以上两式可解得： vm = v1v2osin120 o = 2 2km/h v1 sin15o v2 sin45o 此即小船能被人追上的最大速度，而小船实际速度只有 2.5km/h ，小于 2 2km/h ，所以人 能追上小船。注释 类比法 是在于发现和探索发现某些不同问题在一定范围内具有形式上的相似性，其中 包括数学表达式上的相似性和物理图像上的相似性，利用已知系统的物理规律去寻找未知系统的 物理规律。例 5 一火车沿直线轨道从静止发出由 A 地驶向 B 地，并停止在 B 地。 A 、 B 两地相距 s ， 火车做

19、加速运动时，其加速度最大为a1 ，做减速运动时，其加速度的绝对值最大为a2 ，由此可可以判断出该火车由 A 到 B 所需的最短时间为。解析 ：整个过程中火车先做匀加速运动，后做匀减速运动，加速度最大时，所用时间最短， 分段运动可用图象法来解。根据题意作vt 图，如图( 4)所示。由图可得：a1 =v t1va2 =t211s = v (t1 +t2)vt22由、解得： t = 2s(a1 a2) a1a2注释 图象法 是把抽象复杂的物理过程有针对性地表示成物理图象，将物理量间的代数关系转变为几何关系，运用图象直观、形象、简明的特点，来分析解决物理问题。例 6 A 、B 、C 三只猎犬站立的位置

20、构成一个边长为a的正三角形，每只猎犬追捕猎物的图 1-5-1速度均为 v ，A犬想追捕 B犬，B犬想追捕 C犬，C犬想追捕 A 犬，为追捕到 猎物，猎犬不断调整方向，速度方向始终“盯”住对方，它们同时起动，经多长 时间可捕捉到猎物？解析 ：以地面为参考系， 三只猎犬运动轨迹都是一条复杂的曲线， 但根据对 称性， 三只猎犬最后相交于三角形的中心点， 在追捕过程中， 三只猎犬的位置构 成三角形的形状不变， 以绕点旋转的参考系来描述， 可认为三角形不转动， 而是 三个顶点向中心靠近，所以只要求出顶点到中心运动的时间即可。由题意作图1-5-1 ，设顶点到中心的距离为 s ，则由已知条件得： s = 3

21、 a3由运动合成与分解的知识可知，在旋转的参考系中顶点向中心运动的速度为：v = vcos30=v由此可知三角形收缩到中心的时间为： t = s =2av 3v注释 对称法 由于物质世界存在某些对称性，使得物理学理论也具有相应的对称性，从而使对称现象普遍存在于各种物理现象和物理规律中。利用对称法分析解决物理问题，可以避免复杂的数学演算和推导，直接抓住问题的实质，出奇制胜，快速简便地求解问题。解法（ 2） 三只猎犬都做等速率曲线运动，而且任一时刻三只猎犬的位置都分别在一个正三 角形的三个顶点上，但这正三角形的边长不断减小，如图 1-5-2 要想求出捕捉的时间，则需用微 元法将等速率曲线运动变成等

22、速率直线运动，再用递推法求解 .a1aAA1BB1 cos60a332v t,3ta23t,a2a1vv22相遇 .a3a23vta33vt,22视为直线运动，每隔 t，正三角形的边长分别为a1、 a2、 a3、 an，显然当 an 0 时三只猎犬设经时间 t 可捕捉猎物， 再把 t 分为 n个微小时间间隔 t，在每一个 t 内每只猎犬的运动可3an a n v t232a因为 a n 3v t 0, 即 n t t所以 t 2a23v注释 递推法 是解决物体与物体发生多次作用后的情况 . 即当问题中涉及相互联系的物体较 多并且有规律时，应根据题目特点应用数学思想将所研究的问题归类，然后求出通

23、式。具体方法 是先分析某一次作用的情况， 得出结论 . 再根据多次作用的重复性和它们的共同点， 把结论推广， 然后结合数学知识求解。用递推法解题的关键是导出联系相邻两次作用的递推关系式 .例 7 已知地球半径约为 6.4 106m，又知月球绕地球的运动可近似看做匀速圆周运动，则可 估算出月球到地心的距离约为m.（结果只何留一位有效数字）解析 因为月球绕地球的运动可近似看做匀速圆周运动，所以可根据月球所受的万有引力提 供月球做匀速圆周运动所需要的向心力及月球公转周期求解此问题，也可根据地球上的光经月球 反射 2 秒后返回地球的知识估算 .根据运动定律及万有引力定律得：GMm 2 2 2 m（ ）

24、2 r rTGMmR2 m g 两式代入数据可得 r =4.1 108m（其中 T 是月球绕地球旋转周期， T=30 天）注释 估算法 是在我们解决问时题缺乏必要的已知条件，无法用常规的方法来求出物理问题 的准确答案，采用“估算”的方法就能忽略次要因素，抓住问题的主要本质，充分应用物理知识 进行快速数量。例 8 如图 1-6-1 所示， 质点自倾角为 的斜面上方定点 O 沿光滑的斜槽从静止开始下滑， 为 使质点在最短时间内从 O 点到达斜面，斜槽与竖直方向的夹角 应等于多少？图 1-6-1图 1-6-2解析 ：如图 1-6-2 所示，以经过 O 点的竖直线上的一点 O为圆心， OO为半径作圆，

25、并使该 圆与斜面恰好相切于 A 点，与 OO延长线交于 B 点。 已知从 O 点由静止出发沿倾角不同的光滑 斜面下滑的质点，到达圆周上不同点所需时间相等，显然，质点沿 OA 方向从静止开始滑到斜面 上所需时间比沿其他方向滑到斜面上所需时间短。连接 OA ，由几何关系得： AOB = 所以所用时间最短时，斜槽与竖直方向的夹角： =2注释 作图法 是根据题意把抽象复杂的物理过程有针对性的表示成物理图像，将物理问题转 化成一个几何问题，通过几何知识求解，作图法的优点是直观形象，便于定性分析，也可定性计 算，灵活应用作图法会给解题带来很大方便例 9（第 21 届预赛题） 如图 1-7所示， B是质量为

26、 mB、半径为 R的光滑半球形碗，放在光滑的水 平桌面上。 A是质为 mA的细长直杆，被固定的光滑套管 C约束在竖直方向， A 可自由上下运动。碗 和杆的质量关系为： mB 2mA。初始时， A杆被握住，使其下端正好与碗的半球面的上边缘接触 （如图）。然后从静止开始释放 A，A、B便开始运动。设 A 杆的位置用 表示， 为碗面的球心O至A杆下端与球面接触点的连线方向和竖直方向之间的夹角。求A 与B速度的大小（表示成的 函数）。解析 由题设条件知，若从地面参考系观测，则任何时刻，A 沿竖直方向运动，设其速度为 vA，B沿水平方向运动，设其速度为 vB，若以 B 为参考系， 从B观测， 则A杆保持

27、在竖直方向， 它与碗的接触点在碗面内作半径为 R的圆周运动，速度的方向与圆周相切，设其速度为VA 。VA cosvB速度合成的矢量图如图中的平行四边形所示。由图1-7得： VA sin vA因而 vB vA cot ，由能量守恒 mA gRcos122mAvA212mBvB2且知 mB 2mA 得sin2gRcos1 cos2cos2 gRcos1 cos2杆相对地面的速度是杆相对碗的速度与碗相对地面的速度的合速度，例 10（第 24 届复赛题） 图中所示为用三角形刚性细杆 AB 、BC 、CD 连成的平面连杆结构图。 AB 和 CD 杆可分别绕过 A 、D 的垂直于纸面的固定轴转动， A、D

28、 两点位于同一水平线上。 BC 杆的两端分别与 AB 杆和 CD 杆相连， 可绕连接处转动 （类似铰链） 。当 AB 杆绕 A 轴以恒定的角 速度 转到图中所示的位置时， AB 杆处于竖直位置。 BC 杆与 CD 杆都与水平方向成 45角， 已知 AB 杆的长度为 l ，BC杆和 CD杆的长度由图给定。 求此时 C点加速度 ac的大小和方向 （用图 1-8-1图 1-8-2解法一 因为 B 点绕 A 轴作圆周运动，其速度的大小为 v B1）B 点的向心加速度的大小为 aB 2l 因为是匀角速转动， B 点的切向加速度为 为 C 点绕 D 轴作圆周运动，其速度的大小用 知，其方向沿杆 BC 方向

29、因 BC 是刚性杆，（2）0，故 aB 也是 B点的加速度，其方向沿 BA 方向因 vC 表示，方向垂直于杆 CD ，在考察的时刻，由图可 C 点沿 BC 方向的速度必相等，故有vC所以 B 点和2vB coslB 4 23）此时杆 CD 绕 D 轴按顺时针方向转动，C 点的法向加速度aCn2vCC（ 4）CD由图可知 CD 2 2l ，由（ 3）、（ 4）式得 aCnl ，方向沿 CD 方向8下面来分析 C 点沿垂直于杆 CD 方向的加速度，即切向加速度 以 C 点相对 B 点的运动只能是绕 B 的转动， C 点相对 示其速度的大小，根据速度合成公式有vvCB vvC vvB5）aCt 因为

30、 BC 是刚性杆，所 B 点的速度方向必垂直于杆 BC令 vCB 表由几何关系得 vCB2vC22 v 2vB2 B 26）由于 C 点绕 B 作圆周运动，相对B 的向心加速度2vCBCB7）因为 CB2l ，故有 aCB2l ，方向垂直杆CD8）由（ 2）式及图可知，B 点的加速度沿 BC 杆的分量为aB BCaB cos4 （9）所以 C点相对 A点（或 D 点）的加速度沿垂直于杆 CD 方向的分量3 2 2 aCt aCB aB BC l（ 10）4C 点的总加速度为 C 点绕 D 点作圆周运动的法向加速度 aCn 与切向加速度 aCt 的合加速度，即aC 的方向与杆 CD 间的夹角ar

31、ctan aCt arctan6 80.54 （ 12） aCndxCd dC l sin 2sin dtdtdt3）解法二 通过微商求 C 点加速度。以固定点 A 为原点作一直角坐标系 Axy， Ax 轴与 AD 重合， Ay 与 AD 垂直任意时刻t，连杆的位形如图所示，此时各杆的位置分别用，和 表示，d且已知 ， C 点坐标表示为xClcos2l cosdt（1）yClsin2l sin（2）将（ 1）、（ 2）式对时间 t 求一阶微商，得dyCdtl cosddt2 cosd dt把（ 3）、（4）式对时间t 求一阶微商，得d2xCdt2l cos2dsin dtd2 dt22 d2

32、cosdt2sind2dt2d2yCdt2l sin2dcos dtd2dt22 d 2sindt2 cosd2dt2根据几何关系，有CD sinABsinBCsinCD cos AB cosBC cos 3l即2 2 sinsin2sin2 2 cos 3 cos 2cos5）6）7）8）将（ 7）、（ 8）式平方后相加且化简，得2 sinsin2 coscos3cos3 2 cos0 （ 9）对（ 9）式对时间 t 求一阶微商，代入2，对（ 9）式对时间 t 求二阶微商，并代入上述数据，ddtd2dt2，得ddt10)11)将（ 10）、11）式以及d2 xCdt258ld 的数值代入 d

33、t d2 yC dt278l5）、6）式，得所以 aCd2xCdt2d2 yCdt274l812)由图知，aC与 x 轴的夹角为tand2 yCdt2d2xCdt2 1.413)所以求得arctan1.4 54.46o ，这个夹角在第三象限，为 234.46o ，故 aC 与 CD 的夹角 =80.54o例 11（第 25 届预赛题） 为训练宇航员能在失重状态下工作和生活，需要创造一种失重的环 境。在地球表面附近，当飞机模拟某些在重力作用下的运动时，就可以在飞机座舱内实现短时间 的完全失重状态。 现要求一架飞机在速率为 v1 =500m/s 时进入失重状态试验， 在速率为 v2=1000m/s

34、 时退出失重状态试验。重力加速度 g=10m/s 2。试问：（i ）在上述给定的速率要求下，该飞机需要模拟何种运动，方可在一定范围内任意选择失重时间 的长短？试定量讨论影响失重时间长短的因素。（ii ）飞机模拟这种运动时，可选择的失重状态的时间范围是多少？解析 当飞机作加速度的大小为重力加速度g，加速度的方向竖直向下的运动时，座舱内的试验者便处于完全失重状态。 这种运动可以是飞机模拟无阻力下的自由落体运动或竖直上抛运动，也可以是斜抛运动。当进入试验的速率和退出试验的速率确定后，飞机模拟前两种运动时，失重时间的长短都是一定的、不可选择的。当飞机模拟无阻力作用下的斜抛运动时，失重时间的长短 与抛射

35、角有关，可在一定范围内进行选择。考察飞机模拟无阻力作用下的斜抛运动。设开始试验时飞机的初速度的大小为v1，方向与水平方向成 角，起始位置为 A点，经做抛物线运动在 B点退出试验，如图所示。以 t 表示试验经 历的时间，在退出试验时的速率为 v2，则有 v2x=v 1cos(1)v2y=v 1sin -gt(2)2 2 2 而 v2 v2x v2 y(3)由(1)、(2)、(3)式得 g2t2 2v1gt sin v12 v22 0 (4) 解(4)式得t v1sin v12 sin2 (v22 v12)(5)g由(5)式可知，当进入试验时飞机的速度v1 和退出试验时飞机的速度 v2 确定以后，

36、失重时间的长短可通过角 来调节。(ii) 当 =90 时失重时间最长，由 (5) 式可求得最长失重时间 tmax=150s(6)当 =- 90时，失重时间最短，由 (5)式可求得最短失重时间 tmin=50s(7)失重时间的调节范围在 150s 到 50s 之间。训练题】练习 1 在进行“飞镖”训练时，打飞镖的靶上共有 10 环，且第 10 环的半径为 1cm，第 9 环5m，将飞镖对准 10 环中心以的半径为 2cm，依此类推，如图 1-9 所示，当人离靶的距离为 水平速度 v 投出，则( g=10m/s2) ( )A、当 v50m/s 时，会射中第 8 环线以内B、当 v=50m/s 时，

37、会射中在第 6 环线上C、若要击中第 10 环以内，速度 v 至少应为 50 5m/sABvO 图 1-10图 1-9D、若要击中靶子，速度 v 至少应为 25 2m/s练习 2 如图 1-10 所示，长度为 L 的直杆上端连着一 个半径不计的小球 A,下端固定在转轴 O上，物体 B 与转轴 O在同一水平面上，球 A 顺时针转动时， A、B 紧密接触， 当杆与水平方向的夹角等于时，物体 B 水平移动的速度 等于 v，那么，此时，球 A 转动的角速度是图 1-11练习 3 如 1-11 图所示，细绳长 l，吊一个质量为 m的铁球，绳受 2mg 拉力 就会断裂，绳的上端系一质量不计的环，环套在光滑

38、水平杆上。起初环带着球一 起以速度 v gl 向右匀速运动，在 A 处环被挡住而停下的瞬间，绳子所受拉力A 处离墙水平距离为 l ，球离地为多少？在以后的运动过程中，球是先碰墙还是先碰地？（已知 高度 h=2l）练习 4 如图 1-12 所示，质量为 m 的带电小球静止在绝缘水平面上，某时刻给小球加上某 方向上的范围足够大的匀强电场，小球腾空沿着与水平面成 30 角的直线飞去。电场力的大小恒为 F3mg ，小球经过一段时间 t 的飞行后，将所加电场方向逆时针旋转再经过 t 撤去电场。小球在重力的作用下落回水平面，试求：2落回点与出发点相距多远；小球的飞行时间？1200，练习 5 2007 年春

39、节期间，城乡许多家庭为了增添节日的热闹气氛，燃放 了不少组合“春雷”花炮，组合“春雷”花炮一般由炮筒、炮体和引线等部分组 成。组合“春雷”花炮有 16 响、25 响、36 响不同的组合方式，如图 1-13 所示为 16 响“春雷”的示意图。燃放“春雷”的过程一般是先点火，炮体在炮 筒中经过一段匀加速运动的过程后， 从炮筒口以较大的速度冲向天空， 在最高点 炸裂，然后落地。已知炮筒的高度 h 50cm ，炮体在炮筒中的加速度为2400m/s2 ，炮体与炮体间的水平距离为 l 8cm ，导入炮体的引线长度与炮筒 高度相同，如图所示，引线的燃烧速度为 v 2cm / s ，不计空气阻力，试求：（1）

40、从点火到最后一个炮体离开炮筒的时间；（ 2）炮体能达到的最大高度 ?图 1-13练习 6 为了测量一高楼的高度，某人设计了如下实验，在一根长为 l 的绳两端各拴一重球， 一人站在楼顶上，手执绳的上端无初速度释放使其自由落下，另一个人在楼下测量两球落地的时 间差 t ，即可根据 l, t,g 得出楼的高度（不计空气阻力） 。请问：1）从原理上讲，这个方案是否正确？2）从实际测量来看，你估计最大困难是什么？ 3）若测得 l 10m, t 0.4s，g取 10m/s2，估算楼高多少？练习 7 一把雨伞边缘的半径为 r，且高出水平地面 h.当雨伞以角速度 旋转时， 雨滴自边缘 甩出落在地面上成一个大圆

41、周 .这个大圆的半径为 .练习 8 羚羊从静止开始奔跑， 经过 50 m距离能加速到最大速度 25 m/s，并能维持一段较长 的时间；猎豹从静止开始奔跑，经过 60 m 的距离能加速到最大速度 30 m/s，以后只能维持这个 速度 4.0 s.设猎豹距离羚羊 x m 时开始攻击，羚羊则在猎豹开始攻击后1.0 s才开始奔跑，假定羚羊和猎豹在加速阶段分别做匀加速运动，且均沿同一直线奔跑.求：（1）猎豹要在其最大速度减速前追到羚羊，x 值应在什么范围 ?（2）猎豹要在其加速阶段追上羚羊， x 值应在什么范围 ?练习 9 我们在电影或电视中经常可以看到这样的惊险场面：一辆汽车从山顶落入山谷，为了拍摄重

42、为 15 000 N 的汽车从山崖上坠落的情景，电影导演通常用一辆模型汽车代替实际汽车 设模型汽车与实际汽车的大小比例为 1 ，那么山崖也必须用 1 的比例来代替真实的山崖 .设电影25 25每 1 min 放映的胶片张数是一定的，为了能把模型汽车坠落的情景放映得恰似拍摄实景一样，以 达到以假乱真的视觉效果 .问：在实际拍摄的过程中，电影摄影机每1 s 拍摄的胶片数应是实景拍摄的几倍？练习 10 飞机以恒定的速度 v0沿水平方向飞行，飞行高度为 2 000 m，在飞行过程中释放一炸弹，在30 s后飞行员听见炸弹落地的爆炸声 .假设此爆炸声向空间各个方向的传播速度都为320 m/s，炸弹受到的空

43、气阻力可以忽略，取g=10 m/s2.则炸弹经 s 时间落地，该飞机的飞行速度v0=m/s.（答案保留两位有效数字）练习 11 如图 1-14 所示，有一质量为 m 的小球 P与穿过光滑水平板上小孔 O 的轻绳相连，用手 拉着绳子另一端，使小球在水平板上绕 O 点做 半径为 a、角速度为 的匀速圆周运动 . 求：（ 1）此时绳上的拉力有多大？（ 2）若将绳子从此状态迅速放松，后又拉直，使小球绕O做半径为 b 的匀速圆周运动 .从放松到拉直这段过程经历了多长时间？（ 3）小球做半径为 b 的匀速圆周运动时，绳子上的拉力又是多练习 12 如图 1-15 所示， a 为一固定放置的半径为 R 的均匀带电球体， O 为其球心 己知取 无限远处的电势为零时， 球表面处的电势为 U=1000 V 在离球心 O 很远的 O点附近有一质子 b， 它以 Ek 2000 eV 的动能沿与 O O平行的方向射向 a以 l 表示 b与 O O线之间的垂直距离， 要 使质子 b 能够与带电球体 a 的表面相碰，试求 l 的最大值把质子换成电子，再求 l 的最大值M ，处于静止。现有不计滑轮与绳质量，练习 13 如图 1-16 所示，滑轮两边悬挂的重物与盘的质