知识讲解_充分条件与必要条件_基础

1、充分条件与必要条件【学习目标】1理解充分条件、必要条件、充要条件的定义； 2会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件； 3会应用充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件表达 命题之间的关系 .4.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明.要点梳理】要点一、充分条件与必要条件充要条件的概念符号 p q 与 p q 的含义“若 p ，则 q ”为真命题，记作：pq;“若 p ，则 q ”为假命题，记作：pq.充分条件、必要条件与充要条件若 p q ，称 p 是 q 的充分条件，q是p的必要条件如果既有p q ,又有q p ,就记作p q ,这时p是q的充

2、分必要条件，称p 是 q 的充要条件 .要点诠释：对p q的理解：指当 p成立时，q定成立，即由 p通过推理可以得到q. 若p，则q ”为真命题; p 是 q 的充分条件； q 是 p 的必要条件以上三种形式均为 “pq ”这一逻辑关系的表达要点二、充分条件、必要条件与充要条件的判断从逻辑推理关系看命题 若 若p， 若 若则 q ”，其条件 p 与结论 q 之间的逻辑关系，但 q，但 q，且 q，且 qp，则 p，则 p，即 p，则p是q的充分不必要条件， p是q的必要不充分条件， p q，则p、q互为充要条件; p是q的既不充分也不必要条件.q是p的必要不充分条件; q是p的充分不必要条件;

3、从集合与集合间的关系看右 p: x A , q : x B , 若A B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； 若 A 是 B 的 真子集，则 p 是 q 的充分不必要条件; 若 A=B ，则 p 、 q 互为充要条件; 若A不是B的子集且B不是A的子集，则p是q的既不充分也不必要条件要点诠释： 充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、 条件、既不充分也不必要条件 .判断方法通常按以下步骤进行： 确定哪是条件，哪是结论； 尝试用条件推结论， 再尝试用结论推条件， 最后判断条件是结论的什么条件 . 要点三、充要条件的证明要证明命题的条件是结论的充要条件， 既要证明条件的充分性 （ 要证明

4、条件的必要性（即证原命题的逆命题成立）要点诠释：对于命题若p，则q ” 如果p是q的充分条件，则原命题 若p，则q ”与其逆否命题 命题； 如果p是q的必要条件，则其逆命题 若q，则p ”与其否命题 命题； 如果 p 是 q 的充要条件，则四种命题均为真命题 . 【典型例题】类型一：充分条件、必要条件、充要条件的判定例 1.指出下列各题中， p 是 q 的什么条件？(1)p:(x 2)(x3) 0 ，q: x 2；(2)p:c 0 ， q:抛物线2y ax bx c 过原点(3)p:一个四边形是矩形，q: 四边形的邻边相等【解析】(1)p: x 2 或 x3, q: x 2pq且qp, p是q

5、的必要不充分条件；(2)pq且qp,. p是q的充要条件；(3) pq且qp，p 是 q 的既不充分条件也不必要条件总结升华】判定充要条件的基本方法是定义法，即 “定条件必要不充分条件、充要即证原命题成立） ，又若q ,则 p ”为真“若 p ，则 q ”为真找推式 下结论有时需要将条件等价转化后再判定 . 举一反三：【变式 1】指出下列各题中，p 是 q 的什么条件？（1） p : A B， q :A和 B是对顶角（ 2） p:x 1， q: x2 1 ；【答案】(1) ： p q 且 q p , p是q的必要不充分条件，q是p的充分不必要条件(2) t q : x2 1 x 1 或x12

6、2- x 1 x 1，但 x 1 x 1 , p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件【变式2】判断下列各题中 p是q的什么条件.(1) p： a 0且 b 0, q ： ab 0/c、x *(2) p：1, q: x y.y【答案】(1) p是q的充分不必要条件. a 0且b 0时，ab 0成立；反之，当ab 0时，只要求a、b同号即可必要性不成立(2) p是q的既不充分也不必要条件x -1在y 0的条件下才有x y成立y充分性不成立，同理必要性也不成立【高清课堂：充分条件与必要条件 394804例2】例 2.已知 p: 0x3 , q : |x-1|2，则 p 是 q 的( )(A)

7、充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D )既不充分也不必要条件【解析】q: |x-1|2，解得-1x3，亦即 q： -1x0【解析】(1) 充分性：若 xy=0，那么 x=0 , yC； x0, y=0 : x=0 , y=0, 于是 |x+y|=|x|+|y|如果 xy 0，即 x0, y 0 或 xv 0, yv 0,当 x 0, y 0 时，|x+y|=x+y=|x|+|y|.当 x v 0, y v 0 时，|x+y|= (x+y)= x+( y)=|x|+|y|.总之，当 xy0时，有 |x+y|=|x|+|y|.(2) 必要性：由 |x+y|=|x|+|y| 及 x、

8、y R, 得 (x+y)2=(|x|+|y|)2,即 x2+2xy+y 2=x2+2|xy|+y 2, |xy|=xy ,/ xy 0综上可得|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是 xy 0.哪是结论，然后搞清【总结升华】充要条件的证明关键是根据定义确定哪是已知条件, 楚充分性是证明哪一个命题，必要性是证明哪一个命题判断命题的充要关系有三种方法：(1) 定义法;(2)等价法，即利用A B与 B A ； B A与 A B ； A B与A B，则A是B的充分条件或AB的等价关系，对于条件或结论是不等关系(否定式)的命题，一般运用等价法B是A的必要(3) 利用集合间的包含关系判断，若条件；若A=

9、B，则A是B的充要条件.举一反三：【变式1】已知a, b, c都是实数，证明ac0是关于x的方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.【答案】(1)充分性:若 ac0,方程ax2+bx+c=0有两个相异实根,设为 X1, X2,cT ac0, x1 x2= 0, X20,c贝U X1 x2=0 ac0a综上可得ac0是方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件【变式2】求关于x的方程ax2+2x+仁0至少有一个负的实根的充要条件【答案】(1) a=0时适合.(2) 当aO时，显然方程没有零根,若方程有两异号的实根，则必须满足4 4a若方程有两个负的实根，则必须满足4

10、4aa 1综上知，若方程至少有一个负的实根，则 反之，若awl,则方程至少有一个负的实根,因此，关于X的方程ax2+2x+仁0至少有一个负的实根的充要条件是awi类型三：充要条件的应用例 4.已知 p: A= x R|x2+ ax+ 10, q： B = x Rix2- 3x+ 20,若 p 是 q 的充分 不必要条件，求实数a的取值范围.【解析】B = x R|x2-3x+ 2 0= x|1 欣W 2, p是q的充分不必要条件， p q，即 A B,可知A 或方程x2 + ax+ 1 = 0的两根要在区间1,2内0 = a2 40 或1a 22，得2WaW 242a 1 01a 1 0【总结

11、升华】解决这类参数的取值范围问题，应尽量运用集合法求解，即先化简集合A、B，再由它们的因果关系，得到 A与B的包含关系，进而得到相关不等式组，解之即可举一反三：【变式1】已知命题p: 1 cx0)，命题q： x7或x- 1,并且p是q的既不 充分又不必要条件，则c的取值范围是 .【答案】0cW2【解析】命题 p对应的集合 A=x|1 cx0，同理，命题q对应的集合 B= x| x7或x0,综上所述得04”是 a 2 且 b2”的()A 充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D .既非充分又非必要条件4. b= c = 0是二次函数 y= ax2 + bx+ c的图象经过原点的()A .充

12、分不必要条件B 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. (2016四川理)已知直线 a, b分别在两个不同的平面a, B内则 直线a和直线b 相交”是 平面a和平面B相交”的(A )充分不必要条件(B )必要不充分条件(C)充要条件(D )既不充分也不必要条件6. ( 2016天津理)设an是首项为正数的等比数列，公比为 q,贝U q0”是 对任意的 正整数 n , a2n-1 + a2nb, cd是 a cb d的.10.函数f(x) = ax2 + bx+ c(a 0的图象关于y轴对称的充要条件是 .三、解答题11 .下列各题中，p是q的什么条件？(1) p： x= 1

13、; q: x 1 = x 1 .(2) p： 1q： x 1 且 xw 5.(3) p：三角形是等边三角形；q :三角形是等腰三角形.12.(1) 写出凶-1的一个必要不充分条件；1(3) 写出一2的一个充要条件x13. 已知p: x2-8x-200, q: x 2-2x+1-a20,若p是q的充分而不必要条件，求正实数a的 取值范围14. 不等式x2 2mx 10对一切1 W4,但a2且b2不成立，即充分性不成立， 若a2且b2,则必有a+ b4,即必要性成立， 故a+ b 4”是a2且b 2”的必要不充分条件，故选：B.4. 【答案】A【解析】若b= c= 0，则二次函数y= ax2 +

14、bx+ c= ax2经过原点，若二次函数y= ax2 + bx+ c过原点，则c= 0,故选A.5. 【答案】A【解析】直线a与直线b相交，则,一定相交，若，相交则a,b可能相交，也可能平行，故选A .6. 【答案】 C【解析】 由题意得，a2n 1 a2n 0ai(q2n2 q2n 1) 0q2(n 1(q 1) 0 q (, 1)，故是必要不充分条件，故选C.7. 【答案】a0且b2 4ac0a0 且 b24ac08. 【答案】充分不必要【解析】点Pn(n, an)都在直线y= 2x+ 1上，即即 an= 2n + 1an为等差数列，但是an是等差数列却不一定就是an= 2n+ 1.9.

15、【答案】(1)必要不充分条件(2) 充分不必要条件(3) 既不充分也不必要条件10. 【答案】b = 0【解析】f(x)关于y轴对称？20 b 0.2a11. 【解析】(1)充分不必要条件当x = 1时，x 1 = x 1成立；当 x 1= .X1 时，x= 1 或 x = 2.(2) 充要条件 1$ 1 且 x5.(3) 充分不必要条件等边三角形一定是等腰三角形，而等腰三角形不一定都是等边三角形.12. 【解析】(1)此题为开放题，只要写出x|-2x-1的集合即可，女口 x|x-2即x-2.1(3) 0x0，得p: A=x|x10或x0,得 q: B=x|x1+a 或 x1-a, a0依题意，pq且q-二p,说明A u B,a 0于是有1 a 10 且等号不同时成立，解得： 0a 3,1 a 2正实数a的取值范围是00对一切1x0，解得 m0,又 mW 1 m0，解得 m ,3又m3 此时不成立.(3) 当 1m0 不成立，综上