因式分解专题3用分组分解法含答案

1、4、用分组分解法进行因式分解【知识精读】分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。使用这种方法 的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性。能预见到下一步能继续分解。而“预见” 源于细致的“观察”，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。应用分组分解法因式分解，不仅可以考察提公因式法，公式法，同时它在代数式的化简，求值及一元二次方程，函数等学习中也有重要作用。下面我们就来学习用分组分解法进行因式分解。【分类解析】1. 在数学计算、化简、证明题中的应用例1.把多项式2a(a2 a 1) a4 a2 1分解因式，所得的结果为()2222A.(a2a -1)2B.(a

2、-a1)22222C.(a2 a 1)2D.(a2 - a -1)2分析：先去括号，合并同类项，然后分组搭配，继续用公式法分解彻底。解：原式=2a(a2 a 1) a4 a2 1=a4 2a33 a2 2a 1= (a4 2a3 a2)(2a22a)1= (a2 a)22(a2 a) 1= (a2 a 1)2故选择C例 2.分解因式 x5 _x4 x3 _x2 x _1分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把x5 - x4 x3和-x2x-1分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；此题也可把x5 x4，x3 -x2和x -1分别看作一组，此时的六项式变成三项式

3、，提取公因式后再进行分解。解法1：原式=(x5 -x4 x3) -(x2 - x 1)= (x3 -1)(x2 -x 1)=(x -1)(x2 x 1)(x2 - x 1)解法2：原式=(X5 _x4) (x3 _x2) (X -1)=x4(x -1) x2(x -1) (X -1)42=(x -1)(x x 1)二(x -1)(x4 2x21) -x2=(x -1)(x2 x 1)(x2 -x 1)2. 在几何学中的应用例：已知三条线段长分别为a、b、c,且满足a . b, a2c2 : b2 2ac证明：以a、b、c为三边能构成三角形分析：构成三角形的条件，即三边关系定理，是“两边之和大于

4、第三边，两边之差小于 第三边”证明：；a2 n-c2 :：: b2 ：:;，2ac2 2 2.a c - b - 2ac : 0.a2 2ac c2b2 : 0，即(ac)2b2 : 0.(a -c b)(a -c - b) ：0又 - a - c b、a-c-b.a -cb - 0， a c b ： 0.a b c，a -b ： c即 a b : c : a b.以a、b、c为三边能构成三角形3. 在方程中的应用例：求方程x-y =xy的整数解直接求解有困难，因等式两边都含有x与y，分析：这是一道求不定方程的整数解问题, 故可考虑借助因式分解求解解：；x _y =xy.xy _x 亠y =0

5、xy -x y _ 1 = _1即x(y -1) (y -1) - -1 .(y -1)(x1) = -1x,y是 整数x 1 = 1 x 1二2或2=1ly _1 - _1y -14、中考点拨例.分解因式： 1 _ m n2 +2mn =。解：1 m2n2 2mn=1 _(m2 2m n n2)=1 -(m - n)2=(1 mn)(1 _m 亠 n)说明：观察此题是四项式， 应采用分组分解法，中间两项虽符合平方差公式， 一起不能分解到底，应把后三项结合在一起，再应用完全平方公式和平方差公式。例2.分解因式： x2 _y2 _x +y =解：x2y2x y 二(x2y2)(xy)=(x y)

6、(x - y) - (x - y)=(x -y)(x y -1)说明：前两项符合平方差公式，把后两项结合，看成整体提取公因式。例 3. 分解因式： x3 +3x2 _4X_12=解: x3 3x2 4x 12 =x3 -4x 3x2 -122 2=x(x -4)3(x -4)=(x 3)(x 2)(x -2)说明：分组的目的是能够继续分解。5、题型展示：例 1.分解因式：m2(n2-1)mn-n21解： m2(n2 -1)亠4mn n2 亠 1=m2n2 - m2 4mn _ n2 1= (m2n2 2mn 1) _(m2 -2mn _n2)2 2=(mn 1)-(m _n)=(mn _ m

7、n 1)(mn m _ n 1)说明：观察此题，直接分解比较困难，不妨先去括号，再分组，把4mn分成配成完全平方和平方差公式。例 2.已知：a2 b2 =1, c2 d2 =1，且 ac bd =0，求 ab+cd 的值。但搭配在2mn和 2mn,解：ab+cd=ab 1 cd 1=ab(c2 d2) cd(a2b2)= abc2 abd2 cda2 cdb2=(abc2 cdb2) (abd2 cda2)=bc(ac bd) ad(bd - ac)= (ac bd)( bc ad)ac ： bd =0.原式=0说明：首先要充分利用已知条件 a2 b2 = 1, c2 d2 =1中的1 (任何

8、数乘以1,其值 不变)，其次利用分解因式将式子变形成含有 ac+bd因式乘积的形式，由ac+bd=0可算出结 果。例3.分解因式：x32x_3分析：此题无法用常规思路分解，需拆添项。观察多项式发现当x=1时，它的值为0，这就意味着x 一1是x3 2x -3的一个因式，因此变形的目的是凑 x_1这个因式。解一(拆项)：333x3 2X3 = 3x3 _3 2x3 2X2 2=3(x _1)(xx 1) -2x(x 1)=(x 1)(x2 x 3)解二(添项)：x3 2x _3=X3 _x2 x2 2x -3 = x2(x -1) (x -1)(x3)=(x -1)(x2 x 3)说明：拆添项法也

9、是分解因式的一种常见方法，请同学们试拆一次项和常数项，看看是否可解？【实战模拟】1.填空题:（1）分解因式：2 2a2 _3a _b2 3b 二（2）分解因式：x2 _2x _4xy 亠4y2 亠4y 二（3）分解因式：331 - mn(1 - mn) - m n =2. 已知：a b c=0，求a3 a2c _ abc hb2c 亠 b3的值。3.分解因式：a5 a 14.已知：x2 -y2 -z2 =0, A是一个关于x,y,z的一次多项式，且 x3 y3z3 =（xy）（x 一z）A ,试求A的表达式。5. 证明：(a b - 2ab)(a b -2)(1 - ab)2 = (a -1)

10、2 (b - 1)2【试题答案】1. (1)解：原式=(a? _ b2) _3(a _ b)=(a b)(a - b) - 3(a - b)=(a b)(a b 3)(2) 解:原式=(x2 -4xy 4y2)2(x -2y)2=(X _2y)2 -2(x -2y)=(x2y)(x2y2)(3) 解：原式=1 mn m2 n2 m3 n32 2=(1mn)亠 m n (1mn)2 2=(1 一 mn)(1 m n )2. 解：原式=(a b)(a2 -ab b2) c(a2 ab b2)=(a2 -ab b2)(a b c)a b c = 0.原式=0说明：因式分解是一种重要的恒等变形，在代数

11、式求值中有很大作用。3. 解：a5 a 1=a5 -a2 a2 a 1=a2 (a3 T) (a2 a 1)=a2 (a1)(a2 a 1) (a2 a 1)= (a2a 1)(a3 - a2 1)4. 解：x2y2z2 =02z2-z3=x2y= (x3 -y3) -z z2=(x -y)(x2 xy y2) z(x2 -y2)=(x -y)x2xyy2 -z(x y)=(x y)x(x -z) y(x z) (x2 z2)=(xy)(x z)(x y x z)=(x -y)(x -z)(2x y z)A =2x y - z2 2 2 2 2 2 =aab 2a ab b 2b 2a b 2ab 4ab 1 2ab a b2 2 2 2 2 2=a2 b2 2a 2b 2a2b 2ab2 4ab 1 a2b2=(a2 2ab b2) (a2b2 2ab 1) -(2a 2b) _(2a2b 2