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1、定义定义.2 22 ),( ,1, 1311321122222221112121称称为为二二次次型型的的二二次次齐齐次次函函数数个个变变量量含含有有xxaxxaxxaxaxaxaxxxfxxxnnnnnnnnnn ., .,的的秩秩的的秩秩称称为为二二次次型型称称阵阵对对的的二二次次型型称称为为对对称称阵阵的的矩矩阵阵为为二二次次型型称称其其中中二二次次型型可可记记作作fAAffAAAAxxfTT 二次型与它的矩阵是一一对应的二次型与它的矩阵是一一对应的.,;,称称为为实实二二次次型型是是实实数数时时当当称称为为复复二二次次型型是是复复数数时时当当fafaijij., 0)(, 0;,),0)

2、0(0)(, 0,)(是是负负定定的的并并称称对对称称矩矩阵阵为为负负定定二二次次型型则则称称都都有有如如果果对对任任何何是是正正定定的的称称对对称称矩矩阵阵并并为为正正定定二二次次型型则则称称显显然然都都有有如如果果对对任任何何设设有有实实二二次次型型AfxfxAffxfxAxxxfT 2.二次型的规范形).( 2222211或或法法式式称称为为二二次次型型的的标标准准形形只只含含平平方方项项的的二二次次型型ykykykfnn .,),0(),0(,212122222112222211数数的的个个数数相相等等中中正正中中正正数数的的个个数数与与则则及及使使及及实实的的可可逆逆变变换换有有两两

3、个个它它的的秩秩为为设设有有实实二二次次型型 rrirrirrTkkkzzzfkykykykfPzxCyxrAxxf .2)(; ;,21量量化化线线性性变变换换的的不不变变它它们们是是二二次次型型对对于于非非退退差差的的符符号号称称为为称称为为负负惯惯性性指指数数数数称称为为正正惯惯性性指指中中正正数数的的个个数数frpprpNpsNprpkkkr 留意留意;,:)1(npnAxxfT 即即正正惯惯性性指指数数个个系系数数全全为为正正它它的的标标准准形形的的是是为为正正定定的的充充分分必必要要条条件件实实二二次次型型;:)2(特特征征值值全全为为正正的的是是为为正正定定的的充充分分必必要要条

4、条件件对对称称矩矩阵阵AA)., 2 , 1( , 0)1( ,:;0,;0;0 ,:)(3(111111112221121111nraaaaAaaaaaaaaaAArrrrrnnnn 即即而而偶偶数数阶阶主主子子式式为为正正式式为为负负奇奇数数阶阶主主子子是是为为负负定定的的充充分分必必要要条条件件对对称称矩矩阵阵即即的的各各阶阶主主子子式式都都为为正正要要条条件件是是为为正正定定的的充充分分必必对对称称矩矩阵阵霍霍尔尔维维茨茨定定理理习题举例习题举例例例1.(填空或判别对错填空或判别对错)二次型的规范形是独一的二次型的规范形是独一的 . 实二次型实二次型 的正惯性指数的正惯性指数是是 .实

5、实n阶对称矩阵按合同分类共阶对称矩阵按合同分类共 .复复n阶对称矩阵按合同分类共阶对称矩阵按合同分类共 .正定矩阵主对角线上的元素正定矩阵主对角线上的元素 .A,B是是n阶正定矩阵阶正定矩阵,那么那么AB是正定矩阵的条件是是正定矩阵的条件是 .23213212),(xxxxxxf.282102),(.,313221232221321xxxxxxxxxxxxf性变换并求相应的线准形用配方法化二次型为标例例2 2解解xxxxxxxxxxxfxf3223223212132118102)(2),(., 应应的的线线性性变变换换并并作作相相的的项项集集中中进进行行配配方方中中含含将将第第一一步步xxxx

6、xxxxxxxx322322322322321218102)()()(2 .69)(3223223212xxxxxxx ,33223211xyxyxxxy作线性变换作线性变换,100010111 , 11 pxpy即即.69),(32232221321yyyyyxxxf 得得.,69232232221并作相应的线性变换并作相应的线性变换项集中进行配方项集中进行配方的的中含中含将将第二步第二步yyyyyyf , 2221为为所所求求标标准准形形得得zzf ,100310001,3,223332211 PyPzyzyyzyz即即令令.)(12xPPPyz 相相应应的的线线性性变变换换为为.)3(3

7、2221yyyf . 1)(, 3 , 2, 0, 2 , 1,)(:212221122111122112211二次型的秩为作非退化的线性替换不妨设若由条件可设证明cyxaxaxacfnixyxaxaxayankcabxbxbxbxaxaxafnniinnkknnnn符号差为零二次型的秩为作非退化的线性替换不妨设若, 2, 4 , 3)()(21)()(21, 2 , 1,22212211221122211221112121yyfnixyxbxbxbxaxaxayxbxbxbxaxaxaybbaankcabiinnnnnnnnkk.)(),)(021f222212112121112221121

8、211112121112122112222121212121111乘积是实系数一次多项式的或可化成经可逆线性变换符号差为或秩为的秩为二次型nnnnnnnnnnnnnnnnnnxaxaxaxaxaxayyfxaxaxaxaxaxaccyfxaxaxayxaxaxayxaxaxayf2012000010322021A0001000001012000001000010000110000100001000012012000010322021A:313334E解例例5.假设假设A是是mn实列满秩矩阵实列满秩矩阵,证明证明是可逆实对称矩阵显然证明是正定二次型AA:.),(21AXAXxxxfn主要内容与结

9、论主要内容与结论1.二次型的矩阵表示：数域二次型的矩阵表示：数域P上的二次型上的二次型与与n阶对称矩阵是阶对称矩阵是1-1对应的，从而利用数域对应的，从而利用数域P上的恣意矩阵都与对角方阵合同来讨论和研讨上的恣意矩阵都与对角方阵合同来讨论和研讨恣意二次型交换成等价的所谓规范二次型、规恣意二次型交换成等价的所谓规范二次型、规范二次型。范二次型。2.矩阵的合同与二次型：线性交换矩阵的合同与二次型：线性交换3.规范形与对称矩阵：规范形与对称矩阵：),(21nxxxf二、化二次型为规范形的方法二、化二次型为规范形的方法1配方法：总结概述、举例：用配方法：总结概述、举例：用配方法化二次型配方法化二次型为

10、规范形，并与出所用的满秩的为规范形，并与出所用的满秩的线性交换。线性交换。 323121232221321844532),(xxxxxxxxxxxxf2.变换法：主要步骤变换法：主要步骤A为二次型矩阵，为二次型矩阵，E为单位矩阵为单位矩阵举例：用满秩线性交换举例：用满秩线性交换X=CY，将二次，将二次型型 化在规范形。化在规范形。PAPPEAEA进行列的初等变换对进行合同变换对32312123222132124423),(xxxxxxxxxxxxf321321001013124yyyxxx2.顺序主子式法：假设 二次型的规范形为 举例：用雅可比如法化二次型为规范形。故二次型的规范型是 阶顺序主

11、子式的是二次型矩阵kAk,0k2121212212211nnnnnnyyyy32312122213218228),(xxxxxxxxxxxf0, 9, 132122213219),(yyxxxf 习题举例Ex.1：证明：一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式乘积的充分必要条件是它的秩等于2和符号差等于0，或者秩等于1。Ex.2：证明与对称矩阵合同的矩阵一定是对称矩阵。假设A与B合同，能否存在独一的可逆矩阵P，使得A=PBP。不独一Ex.3：对n阶方阵A，B来说，证明：假设A与B合同，必有 ,举例阐明反之不然。秩一样，一个对称，一个不对称)()(BrArEx.4：求下面二个二次型的秩与

12、符号问 能否等价？ 答案：秩为3，符号差为1，等价。gf 与32212132135),(xxxxxxxxf323121321224),(xxxxxxxxxgEx.5：根据k的取值讨论二次型的类型。 313221242322214321222)(),(xxxxxxxxxxkxxxxf.,2,2,21211不定时半正定时是正定时kkkkkkAEx.6Ex.6：证明：假设二次型：证明：假设二次型中，某一平方项的系数中，某一平方项的系数 , ,那么那么 不能够是正定的。不能够是正定的。Ex.7Ex.7：断定以下二次型能否正定：断定以下二次型能否正定： ( (半正定半正定) ) 正定正定 ninjjiijxxa110kka),(21nxxxf),(21nxxxf211221)(),(niiniinxxnxxxf),(21nxxxf11112niiiniixxxEx.8:Ex.8:求二次型求二次型 的符号差。的符号差。解：解：故故A A有有n n个特征根个特征根 。二次型的规范形为二次型的规范形为 ，它的符号差