2019年中考数学几何压轴题汇编(含解析

1、(2019年湖南衡阳26题)26. (12分)如图，在等边 ABC中，AB=6cm,动点P从点A出发以lcm/s的速度沿 AB 匀速运动.动点 Q同时从点C出发以同样的速度沿 BC的延长线方向匀速运动，当点 P 到达点B时，点P、Q同时停止运动.设运动时间为以t (s).过点P作PEXAC于E,连接PQ交AC边于D.以CQ、CE为边作平行四边形 CQFE .(1)当t为何值时， BPQ为直角三角形；(2)是否存在某一时刻t,使点F在/ ABC的平分线上？若存在，求出 t的值，若不存 在，请说明理由；(3)求DE的长；(4)取线段BC的中点M,连接PM,将4BPM沿直线PM翻折，得 B PM ,

2、连接AB, 当t为何值时，AB的值最小？并求出最小值.5C Q【分析】(1)当BQ = 2BP时，/ BPQ = 90 ,由此构建方程即可解决问题.(2)如图1中，连接BF交AC于M.证明EF=2EM,由此构建方程即可解决问题.(3)证明DE=?AC即可解决问题.(4)如图3中，连接AM, AB.根据AB AM - MB求解即可解决问题.【解答】解：(1) . ABC是等边三角形， ./ B=60 , 当 BQ = 2BP 时，/ BPQ=90 , .6+t=2 (6-t),t= 3,，t=3时， BPQ是直角三角形.(2)存在.理由：如图1中，连接BF交AC于M.BF 平分/ABC, BA=

3、BC, BFXAC, AM = CM = 3cm, EF / BQ, .Z EFM = Z FBC = i-ZABC= 30 ,EF=2EM ,.,t= 27(3-Lt),解得t=3.(3)如图2中，作PK/ BC交AC于K.ABC是等边三角形，Z B= / A= 60 , PK / BC, ./ APK=Z B=60 ,.A=/APK=/ AKP = 60 , . APK是等边三角形，PA= PK, PEXAK,AE= EK,. AP=CQ = PK, /PKD = /DCQ, / PDK = / QDC , . PKDA QCD (AAS),DK = DC, . DE= EK+DK=L (

4、AK+CK) =AC=3 (cm). 22(4)如图3中，连接AM, ABBM =CM= 3, AB=AC,AM BC,AM=Jab -bm 2 =现反，. AB AM - MB ,. AB， 3百-3,.AB的最小值为 3J3-3.【点评】本题属于四边形综合题，考查了等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质, 翻折变换，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常 用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴 题.(2019年湖南怀化22题)22. (12 分)如图，A、B、C、D、E 是。上的 5 等分点，连接 AC、CE、EB、BD、

5、DA,得到一个五角星图形和五边形MNFGH .(1)计算/ CAD的度数；(2)连接 AE,证明：AE=ME;(3)求证：ME2=BM?BE.【分析】(1)由题意可得/ COD = 70 ,由圆周角的定理可得/CAD = 36 ;(2)由圆周角的定理可得/ CAD = /DAE =/AEB=36 ,可求/ AME = /CAE = 72 ,可得AE= ME;(3)通过证明 AENA BEA,可得可得 ME2=BE?NE,通过证明BM=NE,BE AE即可得结论.【解答】 解：(1) A、B、C、D、E是。O上的5等分点，西的度数=整一=725 ./ COD = 70 . / COD = 2/C

6、AD ./ CAD= 36(2)连接AE,A、B、C、D、E是。O上的5等分点,.ab=d=ae=cd=bc ./ CAD = Z DAE = Z AEB=36，/CAE=72 ,且/ AEB=36 ./ AME= 72 ./ AME = Z CAEAE= ME(3)连接AB.一 I. Bl I -ABE=Z DAE ,且/ AEB=Z AEBAENA BEABE -AE. . AE2= BE?NE,且 AE= ME . me2=be?ne ,I-. 3 I , . AE=AB, / CAB=Z CAD=Z DAE = / BEA=Z ABE=36 ./ BAD = Z BNA = 72BA=

7、 BN,且 AE= MEBN= MEBM =NEme2=be?ne = bm?be【点评】 本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，相似三角形的性质和判定，证明AENA BEA是本题的关键.(2019年湖南娄底27题)27.如图甲，在4ABC 中，Z ACB=90 , AC=4cm , BC=3cm .如果点 P由点 B出发沿 BA 方向向点A匀速运动，同时点 Q由点A出发沿AC方向向点 C匀速运动，它们的速度 均为1cm/s.连接PQ,设运动时间为 t (s) (0vtv4),解答下列问题：(1)设4APQ的面积为S,当t为何值时，S取得最大值？ S的最大值是多少？(2)如图乙，连接 PC,将

8、APQC沿QC翻折，得到四边形 PQPC,当四边形 PQPC为 菱形时，求t的值；(3)当t为何值时，4APQ是等腰三角形？尸一CeF 乙考点：相似形综合题分析:FH AF(1)过点 P作PHXAC于H,由APHsABC,得出EC=A&,从而求出 AB ,再根据PH 5 - t,得出 PH=3-t,则5 AQP的面积为：工AQ?PHt (3-t),最后进行整225理即可得出答案;AE(2)连接PP交QC于E,当四边形 PQPC为菱形时，得出 APEsABC,最垄,AB求出AE=-乌+4,再根据5Iq门QE=AE -AQ, QEQC 得出一卫t+4= - -t+2,252再求t即可;(3)由(1

9、)知，PD=-当+3,与(2)同理得：QD=-,从而求出PQ=, .在4APQ中，分三种情况讨论：当AQ=AP ,即t=5 - t,当PQ=AQ,即2-181+25b=t，当 PQ=AP ,即t2- 18t+25 =5-t, 5再分别计算即可.解答：解：(1)如图甲，过点 P作PHXAC于H, / C=90,AC XBC,PH / BC,.APHAABC , _ _ _ -BC烟1. AC=4cm , BC=3cm ,1. AB=5cm ,FH 5 - t .PH=3 - -t,.AQP的面积为:S= AQ PH=xtx (3-t)= - (t-)2+,2251028当t为上秒时，S最大值为

10、cm2.28(2)如图乙，连接 PP, PP交 QC于E,当四边形 PQPC为菱形时，PE垂直平分 QC,即PEXAC, QE=EC ,.APEAABC ,.度AC国.人匚 AP-ACI I (&- t) X4| AE=-AB5,QC=得(4-t)=-百+2,一瓦+4= - 2 t+2 ,4 c-yt+4 QE=AE - AQ t+4 t=QE=解得：t=弛,13.04,，当四边形 PQPC为菱形时,t的值是2013s;（3）由（1）知,PD=一t+3,与(2)同理得：QD=AD - AQ=*+4PQ= JpF+QD? =J （一微七十3） 1 一看七十0）2 =挣t“- 18计25 ,在4A

11、PQ中,当AQ=AP ,即t=5 -t时，解得:,5 ti=2当PQ=AQ,萼吏-18t+25 =t时，解得: 525 _t2，t3=5;J. 当PQ=AP,看安-1825=5-1时,解得:t4=。, t5瑞- 0tadcm = 6,pc121又S四边形OMCD =,2. c 9Saqdm =,-1 Saqad= 9,设 OA = x、OD = y,则 x2+y2= 36, -xy = 9,1- x2+y2= 2xy,即 x= y,将 x = y 代入 x2+ y2 = 36 得 x2= 18,解得x=3-万（负值舍去），OA= 372；（3） OC的最大值为8,如图2, M为AD的中点,图2

12、 OM = 3, CM = 二口 2+口” 2=5,，OCWOM+CM=8,当O、M、C三点在同一直线时， OC有最大值8,连接OC,则此时OC与AD的交点为M,过点。作ON LAD,垂足为N, . / CDM =/ONM= 90 , /CMD=/OMN,CMDAOMN,匝=迎=即jLON MN OM ON解得 MN = M, on = 5 .AN=AM-MN=5在 RtOAN 中，0AM岛人- J .cos/ OAD= =除.【点评】 本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点.（2019年湖南益阳23题）23. （10分）操作体验：如图，在

13、矩形 ABCD中，点E、F分别在边 AD、BC上，将矩形 ABCD沿直线EF折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C处.点P为直线EF 上一动点（不与E、F重合），过点P分别作直线BE、BF的垂线，垂足分别为点 M和N, 以PM、PN为邻边构造平行四边形 PMQN .（1）如图1,求证：BE=BF;(2)特例感知：如图 2,若DE = 5, CF=2,当点P在线段EF上运动时，求平行四边形PMQN的周长；(3)类比探究：若 DE=a, CF=b.如图3,当点P在线段EF的延长线上运动时，试用含 a、b的式子表示 QM与QN之 间的数量关系，并证明；如图4,当点P在线段FE的延长线上运动时，请直

14、接用含a、b的式子表示 QM与QN之间的数量关系.(不要求写证明过程)【分析】(1)证明/ BEF = / BFE即可解决问题(也可以利用全等三角形的性质解决问题即可).(2)如图2中，连接BP,作EHXBC于H,则四边形 ABHE是矩形.利用面积法证明PM + PN=EH,利用勾股定理求出 AB即可解决问题.(3)如图 3 中，连接 BP,作 EHLBC 于 H.由 Saebp- Sabfp=Saebf,可畤BE?PMjL?BF?PN=g?BF?EH,由 BE=BF,推出 PM - PN=EH由此即可解决问题.如图4,当点 P在线段 FE的延长线上运动时，同法可证：QM -QN=PN-PM

15、=【解答】(1)证明：如图1中,四边形ABCD是矩形,AD / BC, ./ DEF = Z EFB,由翻折可知：/ DEF=/BEF, ./ BEF = Z EFB ,BE=BF.(2)解：如图2中，连接BP,作EHBC于H,则四边形 ABHE是矩形，EH = AB. DE= EB=BF = 5, CF = 2,AD = BC=7, AE=2,在 RtABE 中，. / A=90 , BE=5, AE= 2, l阳=也2 2=SaBEF= Sapbe+Sapbf, PM BE , PN BF ,.?BF?EH =二?BE?PMJ?BF?PN,222 .BE=BF,PM+PN = EH= x/

16、21, 四边形PMQN是平行四边形， 四边形 PMQN的周长=2 (PM + PN) = 2j五.(3)证明：如图3中，连接BP,作EHLBC于H.ED= EB=BF = a, CF = b,AD= BC=a+b, . AE= AD - DE = b, .EH=ABWb2,SaEBP SaBFP= Sa EBF,.1. _Lbe?pm - L?BF ?PN =L?BF?EH ,222 .BE=BF,.PM -PN = EH = 2_b2, 四边形PMQN是平行四边形， .QN-QM= (PM- PN) = (晓 _七2如图4,当点 P在线段 FE的延长线上运动时，同法可证：QM -QN=PN-

17、PM =【点评】 本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质和判定，翻折变换，等腰三角形的 性质，平行四边形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线， 构造特殊四边形解决问题，学会利用面积法证明线段之间的关系，属于中考压轴题.（2019年湖南长沙24题）24. （9分）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边 形叫做相似四边形.相似四边形对应边的比叫做相似比.（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直 接在横线上填写“真”或“假”）.四条边成比例的两个凸四边形相似；（假命题）三个角分别相等的两个凸四边形相似；（假命题

18、）两个大小不同的正方形相似.（真 命题）（2）如图 1,在四边形 ABCD 和四边形 AiBiCiDi 中，/ ABC=/AiBiCi, /BCD = /B1C1D1,;,求证：四边形 ABCD与四边形A1B1C1D1相似.A】 BQ（3）如图2,四边形 ABCD中，AB / CD, AC与BD相交于点 O,过点 O作EF / AB分别交AD, BC于点E, F.记四边形 ABFE的面积为S1,四边形EFCD的面积为S2,若Q 四边形ABFE与四边形EFCD相似，求_1的值.S1【分析】(1)根据相似多边形的定义即可判断.(2)根据相似多边形的定义证明四边成比例，四个角相等即可.DE =(3)

19、四边形ABFE与四边形EFCD相似，证明相似比是 1即可解决问题，即证明AE即可.【解答】(1)解：四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等.三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例.两个大小不同的正方形相似.是真命题.(2)证明：如图1中，连接BD, Bidi. / ABC=/ A1B1C1,故答案为假，假，真.ABDA A1B1D1,A/i，A A=Z A1, / ADB = /A1D1B1,B。= CD = AD , / ADC = Z A1D1C1 , /A=/A1, /ABC=/ E匚ID ADA1B1C1, / BCD = Z B1C1D1, ，四边

20、形ABCD与四边形A1B1C1D1相似.(3)如图2中，r3 c图2 四边形 ABCD与四边形EFCD相似.DE_EF -,AS Afi EF=OE + OF,.DEWOF AE AB EF / AB / CD ,，理二理,处=强=理，AD AB AD AB Om opAD AD AB AB , AD AT AD= DE+AE,DE+AE Afi -2AE=DE+AE,.AE=DE,【点评】 本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，相似多边形的判定 和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题.（2019年湖南株洲25题）25. （11分）四边形ABCD是。O

21、的圆内接四边形，线段AB是。O的直径，连结AC、BD .点H是线段 BD上的一点，连结 AH、CH,且/ ACH = /CBD, AD = CH, BA的延长线与 CD的延长线相交与点 P .（1）求证：四边形 ADCH是平行四边形；（2）若 AC=BC, PB =/PD, AB+CD = 2 （诉+1 ）求证： DHC为等腰直角三角形；求CH的长度.【分析】（1）由圆周角的定理可得/ DBC = / DAC = /ACH ,可证 AD / CH ,由一组对边平行且相等的是四边形是平行四边形可证四边形ADCH是平行四边形；（2）由平行线的性质可证/ ADH =/ CHD = 90 ,由/ CD

22、B = /CAB = 45 ,可证 DHC为等腰直角三角形；通过证明 ADPsCBP,可得可得里通过证明 CHDsacbBC FB BC V5可得当卓号，可得 AB = V5CD,可求CD = 2,由等腰直角三角形的性质可求CHAB BC的长度.【解答】 证明：（1） . / DBC = / DAC , /ACH = /CBD ./ DAC = Z ACHAD /CH,且 AD=CH 四边形ADCH是平行四边形（2）.一AB是直径/ ACB= 90 =Z ADB ,且 AC= BCCAB=Z ABC = 45CDB = Z CAB = 45 . AD / CHADH = / CHD =90，且

23、/ CDB = 45CDB = Z DCH = 45.CH = DH,且/ CHD = 90 . DHC为等腰直角三角形；.四边形ABCD是。O的圆内接四边形， ./ ADP = / PBC,且/ P=/ PADPA CBP3里 且 PB = VPD,BC PBAD = CH ,BC 一诉. CH_ 1BC 5 . / CDB = / CAB=45 , Z CHD = Z ACB=90 CHDA ACB一二.一AB EC 7?AB = |V5CD . AB+CD = 2 (/5+D JCD+CD=2 (VS+D .CD = 2,且 DHC为等腰直角三角形.CH = 【点评】 本题是圆的综合题，

24、考查了圆的有关知识，平行四边形的判定和性质，相似三 角形的判定和性质等知识，求CD的长度是本题的关键.（2019年湖南永州26题）26. （12分）（1）如图1,在平行四边形 ABCD中，/ A=30, AB=6, AD=8,将平行四边形ABCD分割成两部分，然后拼成一个矩形，请画出拼成的矩形，并说明矩形的长和宽.（保留分割线的痕迹）（2）若将一边长为1的正方形按如图2-1所示剪开，恰好能拼成如图2-2所示的矩形,则m的值是多少?（3）四边形ABCD是一个长为7,宽为5的矩形（面积为35）,若把它按如图3-1所示的方式剪开，分成四部分，重新拼成如图3-2所示的图形，得到一个长为 9,宽为4的矩

25、形（面积为36）.问：重新拼成的图形的面积为什么会增加？请说明理由.i图山【解答】解：（1）如图所示:（2）依题意有1+m. n解得泄殁迂，咤=二15 （负值舍去）, 签检脸,哨斗叵是原方程的解，故相的值是士，直角三角形的斜边与直角梯形的斜腰不在一条直线上,故重新拼成的图形的面积会增加.（2019年湖南常德26题） 26. （10分）在等腰三角形 ABC中，AB=AC,作CMLAB交AB于点M, BNLAC交AC于点N.（1）在图 1 中，求证： BMCA CNB;(2)在图2中的线段 CB上取一动点 P,过P作PE / AB交CM于点E,作PF / AC交BN 于点 F,求证：PE+PF=B

26、M;(3)在图3中动点P在线段CB的延长线上，类似(2)过P作PE / AB交CM的延长 线于点E,作PF/AC交NB的延长线于点 F,求证：AM?PF+OM?BN=AM?PE.图102图3【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到/ ABC=/ACB,利用AAS定理证明；(2)根据全等三角形的性质得到BM=NC,证明 CEPsCMB、 BFPA BNC,根据相似三角形的性质列出比例式，证明结论；(3)根据 BMCA CNB,得到 MC = BN,证明 AMCAOMB,得到岖=5L,根MC MB据比例的性质证明即可.【解答】证明：(1) AB = AC, ./ ABC=Z ACB, . CMXAB

27、, BNXAC, ./ BMC = Z CNB=90 ,在 BMC和ACNB中，fZMEC=ZNCBbc=cb . BMCACNB (AAS);(2) BMCA CNB,BM =NC, PE/ AB,CEPA CMB,.PE _ CP-,而CB PF / AC, . BFPABNC, 里=型， NC BC,PE+PP_=CP + BP = 1?而 Blfl CB CB PE+PF = BM;(3)同(2)的方法得到， PE-PF= BM,BMCACNB,MC=BN, . / ANB=90 , ./ MAC + Z ABN= 90 , . / OMB = 90 , ./ MOB + ZABN =

28、 90 , ./ MAC = Z MOB,又/ AMC = Z OMB = 90 ,AMCAOMB,，幽网NO MBAM ?MB = OM?MC,AM X ( PE - PF) = OM?BN ,AM ?PF +OM?BN= AM ?PE .【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角 形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.(2019年湖南郴州25题)25. (10分)如图1,矩形ABCD中，点E为AB边上的动点(不与 A, B重合)，把 ADE 沿DE翻折，点A的对应点为A1,延长EA1交直线DC于点F,再把/ BEF折叠，使点 B的对应点

29、B1落在EF上，折痕 EH交直线BC于点H.(1)求证： A1DEA B1EH ;(2)如图2,直线MN是矩形ABCD的对称轴，若点 A1恰好落在直线 MN上，试判断 DEF的形状，并说明理由；(3)如图3,在(2)的条件下，点 G为4DEF内一点，且/ DGF=150 ,试探究 DG ,EG, FG的数量关系.【分析】(1)由折叠图形的性质可得/ DAie = Z EB1H = 90 , / DEA1 + /HEB1=90 从而可得/ DEA1=/EHB1,依据两个角对应相等的三角形相似可得A1DEs4bEH;(2)由A1恰好落在直线 MN上可知A1在EF的中点，由SAS易证 A1DEA A

30、1DF , 即可得/ ADE = Z EDA1 = Z FDA1 = 30o ,(3)将 DGE逆时针旋转 60到DGF位置，由旋转的旋转将 DG, EG, FG集中到 G GF中结合/ DGF =150 ,可得 G GF为直角三角形，由勾股定理可得GG2+GF2 = GF2,即可证明 dg2+gf2 = ge2,【解答】解：(1)证明：由折叠的性质可知：/ DAE = Z DA1E=90o , /EBH=/EB1H = 90 , /AED=/A1ED, /BEH = /B1EH, / DEA1 + Z HEB1 = 90又 / HEB1 + Z EHB1= 90 ,DEA1 = Z EHB1

31、, A1DEA B1EH;(2)结论： DEF是等边三角形;理由如下： 直线MN是矩形ABCD的对称轴，点A1是EF的中点，即A1E = A1F,在 A1DE 和 A1DF 中叫二叫ND A户ND 州二90 ,AfF A1DEA A1DF (SAS), .DE= DF, / FDA1 = Z EDA1, y. A ADEA A1DE, z adf = 90./ADE = /EDA1 = /FDA1=30。， EDF = 60 ,. DEF是等边三角形；（3） DG, EG, FG 的数量关系是 DG2+GF2=GE2,理由如下：由（2）可知 DEF是等边三角形；将 DGE逆时针旋转60到 DG

32、F位置, 如解图（1）, .GF = GE, DG=DG, Z GDG = 60 , . DGG是等边三角形， .GG=DG, / DGG=60 , . / DGF= 150 ,. GGF = 90 ,.-.GG2+GF2=GF2,DG2+GF2=GE2,【点评】 本题考查翻折变换、相似三角形证明、全等三角形的判定和性质、勾股定理矩形的性质等知识，解（3）题的关键是灵活运用旋转得全等三角形，构造 RtG GF.（2019年吉林24题）24. （8分）性质探究如图，在等腰三角形 ABC中，/ACB= 120 ,则底边AB与腰AC的长度之比为理解运用（1）若顶角为120。的等腰三角形的周长为 8+

33、4%伍，则它的面积为 迥 :（2）如图，在四边形 EFGH中，EF=EG=EH.求证：/ EFG + /EHG = /FGH ;在边FG, GH上分别取中点 M, N,连接 MN .若/ FGH = 120 , EF=10,直接写出线段MN的长.类比拓展顶角为2 ”的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为2sina (用含a的式子表示)图图【分析】性质探究作CDXAB于D,则/ ADC = Z BDC=90 ,由等腰三角形的性质得出 AD = BD , Z A =Z B=30 ,由直角三角形的性质得出AC = 2CD, AD = JCD,得出 AB=2AD =2jCD,即可得出结果；理解运用(1)

34、同上得出则 AC=2CD, AD = JCD,由等腰三角形的周长得出4CD+2/3 CD =8+4V3,解彳导:CD=2,得出AB=4,由三角形面积公式即可得出结果；(2) 由等腰三角形的性质得出/ EFG = / EGF, / EGH = / EHG ,得出/ EFG + /EHG=/ EGF+ / EGH = / FGH 即可；连接FH,作EPXFH于P,由等腰三角形的性质得出 PF=PH,由得：/ EFG+ /EHG = Z FGH =120 ,由四边形内角和定理求出/FEH = 120 ,由等腰三角形的性质得出/ EFH=30 ,由直角三角形的性质得出PE=-i-EF=5, PF=J5

35、pE = 5，,得出FH = 2PF =10-73,证明MN是4FGH的中位线，由三角形中位线定理即可得出结果；类比拓展作ADLBC于D,由等腰三角形的性质得出 BD=CD, / BAD / BAC = a,由三角函数得出BD = ABXsina,得出BC=2BD=2ABX sin a,即可得出结果.【解答】性质探究解：作CDXAB于D,如图所示：则/ ADC = Z BDC=90 , AC= BC, / ACB= 120 ,AD= BD, / A=/ B=30 ,.AC=2CD, AD=73CD,.AB=2AD = 273CD,2T3cd =如；AC 2CD故答案为：.；理解运用(1)解：如

36、图所示：同上得：AC=2CD, AD =|y/3CD,. , AC+BC+AB=8+4 百，4CD+273CD = 8+4/3，解得：CD = 2, AB=4 代ABC 的面积=-i-ABX CD =1-X 4./3X 2=473；故答案为：4 .-(2)证明：EF = EG=EH, ./ EFG = Z EGF, / EGH = Z EHG, / EFG+ / EHG = / EGF+ / EGH = / FGH ;解：连接FH ,作EPXFH于P,如图所示：贝UPF = PH,由得：Z EFG + Z EHG = Z FGH = 120 ,，/FEH = 360 -120 -120 =12

37、0 , EF= EH , ./ EFH = 30 , .PE得EF = 5,PF = V3PE = 57S,FH = 2PF= 10/3, 点M、N分别是FG、GH的中点，MN是 FGH的中位线，MN = -i-FH = 5/3；类比拓展解：如图所示：作ADLBC于D,AB= AC,，BD=CD, /BAD=BAC= a,sin a=BDABBD= ABX sin a, .BC=2BD = 2ABXsin a,- BC_ 2ABsinQABAB=2sin a;故答案为：2sin”.区【点评】 本题是四边形综合题目，考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形中位线定理、四边形内角和定理、就

38、直角三角形等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质和含 30。角的直角三角形的性质是解题的关键.(2019年吉林25题)25. (10 分)如图，在矩形 ABCD 中，AD = 4cm, AB = 3cm, E 为边 BC 上一点，BE=AB, 连接AE.动点P、Q从点A同时出发，点P以&cm/s的速度沿AE向终点E运动；点Q 以2cm/s的速度沿折线 AD-DC向终点C运动.设点 Q运动的时间为x(s),在运动过 程中，点P,点Q经过的路线与线段 PQ围成的图形面积为 y (cm2).(1) AE = 3-J1 cm, / EAD = 45 ;(2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量

39、x的取值范围;(3)当PQ=JLcm时，直接写出 x的值.4【分析】(1)由勾股定理可求 AE的长，由等腰三角形的性质可求/EAD的度数;(2)分三种情况讨论，由面积和差关系可求解；(3)分三种情况讨论，由勾股定理可求解.【解答】 解：(1) AB=3cm, BE=AB=3cm, AE= JjVB，BE2=3&cm, Z BAE=Z BEA=45. / BAD = 90 ./ DAE = 45故答案为：32, 45(2)当0vxW2时，如图，过点 P作PF AD,c e aD Q F A AP= /2x, Z DAE = 45 , PFXADPF = x= AF,C1、/ AC、/ Cl- 2

40、一 y= Sapqa = _ X AQX PF = x ,(2)当2vxW3时，如图，过点 P作PFXAD,C EBp pf = AF = x, QD=2x- 4DF = 4 x, y= x2+ (2x-4+x) (4-x) = - x2+8x- 822当3vxw_时，如图，点 P与点E重合.CQ = ( 3+4) 2x= 7 - 2x, CE = 4 3 = 1cm.y=_L (1+4) X 3-上(7 - 2x) X 1 = x+422(3)当 0vxw 2 时C EBD Q F A, QF= AF = x, PFXAD .PQ= AP-FlPQ= cm4 -. ：x= 4x- - x8当

41、2vxW3时，过点 P作PM LCDC EBD 尸 A四边形MPFD是矩形PM =DF = 4- 2x, MD = PF = x,MQ = x (2x 4) = 4 xMP2+MQ2= PQ2. (4-2x) 2+ (4-x) 2.方程无解. PQ2=CP2+cq2,当 3vxw_时,空=1 +(7-2x) 2,一 x=25综上所述:x=【点评】 本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键.(2019年吉林长春 23题)23. (10 分)如图，在 RtABC 中，/ C=90 , AC=20, BC=15.点 P从点 A 出发，沿AC向终点C运动，同时点 Q从点C出发，沿射线 CB运动，它们的速度均为每秒 5个 单位长度，点P到达终点时，P、Q同时停止运动.当点 P不与点A、C重合时，过点P 作PN LAB于点N,连结 PQ,以PN、PQ为邻边作？ PQMN.设？PQMN与 ABC重叠 部分图形的面积为 S,点P的运动时间为t秒.(1)AB的长为 25 ;PN的长用含t的代数式