2018中考数学专题突破导学练第14讲二次函数的应用试题

1、第 14 讲 二次函数的应用 知识梳理 】 （一）基本知识点 1. 实际问题中二次函数关系式的确定 列二次函数解析式解决实际问题与列整式方程的思路和方法类似， 不同之处是， 表示量与量 的关系的式子是含有两个变量的等式， 而求出二次函数的最大值和最小值是解决实际问题的 关键。 运用二次函数解决实际问题的一般步骤： （1）审清题意，找出其中的等量关系； （2）设出适当的未知数，分清自变量和函数； （3）列出二次函数解析式； （4）结合已知条件或点的坐标，求出解析式； （5）根据题意求解，检验所求得的解是否符号实际，即是否为所提问题的答案； （6）写出答案。 （1）实际问题情境下二次函数中自变量的

2、取值范围不一定是全体实数，所对应的图象也可 能是抛物线的一部分； （2）实际问题情境下的二次函数的最值不一定是整个抛物线的顶点的纵坐标。 2. 二次函数与最大利润问题 这类问题反映的是销售额与单价、 销售量及利润与每件利润、 销售量间的关系， 为解决这类 实际问题，我们需要掌握几个反映其关系的公式： （1）销售额=销售单价X销售量； （2）利润=销量额-总成本=每件利润X销售量 （ 3）每件利润 =销售单价 - 成本单价。 3. 二次函数与最大 （小） 面积 （1）规则图形面积由面积公式直接计算 （如：圆、三角形、矩形、梯形 ） 。 （ 2）不规则图形的面积多采用分割法求得，即把图形分割成几个

3、规则图形，分别求得面积 再把它们加起来，然后联系二次函数的顶点坐标公式求解。 注意：表示图形面积的各量之间的关联变化及其取值的实际意义。 4. 二次函数与抛物线形建筑问题 如拱形桥洞的修建、涵洞和隧道的修建、公园里喷泉 抛物线在实际生活中有着广泛的应用， 水柱运行的轨迹、投出的铅球和篮球的运动轨迹、两端固定自然下垂的绳子等。 解决此类问题的关键是根据已知条件选择合适的位置建立直角坐标系，结合问题中的数据求 出函数解析式，再利用二次函数的性质解决问题。 【考点解析】 考点一：求利润最大问题 【例1】九年级（3）班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x天（K x5600,可得出关于x的一元二

4、次不等式和一元一次不等式，解不等式即可得出 x 的取值范围，由此即可得出结论. 【解答】解： (1)当0wx 50时，设商品的售价 y与时间x的函数关系式为y=kx+b (k、b 为常数且kz 0), y=kx+b 经过点(0, 40)、(50, 90), ，解得: lb=40 售价y与时间x的函数关系式为y=x+40 ； 当 50v xw 90 时，y=90. 售价y与时间x的函数关系式为 愛且玄为整数) 90(50i90,且x为整数) 由书记可知每天的销售量 p与时间x成一次函数关系, 设每天的销售量 p与时间x的函数关系式为p=mx+n( m n为常数，且0), / p=mx+ n过点(

5、60, 80)、(30, 140), r50nn=S0 当 50v x 90 时，w= (90 - 30) (- 2x+200) =- 120 x+12000. 综上所示，每天的销售利润w与时间x的函数关系式是 电削麵就2腱起0.旳軸礬霁 120 x+120C0(56k90i 目h为整敎) *:II - Li*- H- S-*111 _- -UI 2 2 (2)当 0wx50 时，w= 2x +180 x+2000=- 2 (x-45) +6050, / a=- 2v0 且 0wx50, 当x=45时，w取最大值，最大值为 6050元. 当 50v x 6000, 当x=45时，w最大，最大值

6、为 6050元. 6050 元. 即销售第45天时，当天获得的销售利润最大，最大利润是 (3) 当 OWxw50 时，令 w=- 2x2+180 x+20005600，即-2x2+180 x - 36000, 解得：30 x 50, 50 - 30+1=21 (天); 当 50vx5600,即-120 x+64000, 解得：50 v x 53丄, 轰: Tx为整数， 50v x0, y1随x的增大而增大. 当 x= 200 时，y1max= 1180-200a (3w aw 5) 乙产品：y2=-0.05 x2+10 x-40 ( 0v x w 80) 当0v xw 80时，y2随x的增大而

7、增大. 当 x= 80 时，y2max= 440 (万元). 产销甲种产品的最大年利润为(1180-200 a)万元，产销乙种产品的最大年利润为440万元; (3) 1180- 200 440,解得3w av 3.7时，此时选择甲产品； 1180 200= 440,解得a=3.7时，此时选择甲乙产品； 1180 200v 440,解得3.7 v aw5时，此时选择乙产品. 当3w av 3.7时，生产甲产品的利润高； 当a=3.7时，生产甲乙两种产品的利润相同； 当3.7 v aw5时，上产乙产品的利润高. 2. 某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之

8、间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低.若该果园每棵果树产果 y(千 克), 增种果树x (棵)，它们之间的函数关系如图所示. (1) 求y与x之间的函数关系式; (2) 在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实 6750千克? w (千克)最大？最大产量是多少? 【分析】(1)函数的表达式为 y=kx+b，把点(12, 74), (28, 66)代入解方程组即可. (2)列出方程解方程组，再根据实际意义确定x的值. (3)构建二次函数，利用二次函数性质解决问题. 【解答】解： (1)设函数的表达式为y=kx+b，该一次函数过点(12, 74), (28, 6

9、6), 口 f12E+b=74 彳寸, 28k+b66 解得, tb-8Cr 该函数的表达式为 y= - 0.5x+80 , (2 )根据题意，得, (-0.5x+80 ) (80+x) =6750, 解得，xi=10, X2=70 投入成本最低. x=70不满足题意，舍去. 增种果树10棵时，果园可以收获果实 6750千克. (3 )根据题意，得 w= (- 0.5x+80 ) ( 80+x) 2 =-0.5 x +40 x+6400 2 =-0.5 (x- 40) +7200 / a=- 0.5 v 0,则抛物线开口向下，函数有最大值 当x=40时，w最大值为7200千克. 当增种果树40

10、棵时果园的最大产量是 7200千克. 3. (2016 湖北黄石8分)科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园. 如图所示，图中点的横坐标 x表示科技馆从8: 30开门后经过的时间(分钟)，纵坐标y表 示到达科技馆的总人数图中曲线对应的函数解析式为 10: 00之后来的游客较少可忽略不计. (1 )请写出图中曲线对应的函数解析式； (2)为保证科技馆内游客的游玩质量，馆内人数不超过 旳工益3。 tb(x _ 90) 2+iii 30390 684人，后来的人在馆外休息区等 待.从10: 30开始到12: 00馆内陆续有人离馆，平均每分钟离馆4人，直到馆内人数减少 (2)先求出馆内人数等于684人时的时

11、间，再求出直到馆内人数减少到624人时的时间, 即可解决问题. 【解答】解(门由图象可知，300寻32,解得叶, n=700, bX( 30 - 90) 2+700=300,解得 b=-丄, (0 x30) 1 2 y= 3 -gk - 90 ) 2+700 (30 x0) (2)由题意 (x - 90) 2+700=684 , g 解得x=78, .6關- 【考点】 二次函数综合题. HF: 求对应抛物线的解析式. 【分析】 (1) 令x=0可求得C点坐标，化为顶点式可求得D点坐标; (2)令y=0可求得A、B的坐标，结合 D点坐标可求得 ABD的面积，设直线 CD交x轴于 点E,由C D坐

12、标，利用待定系数法可求得直线CD的解析式，则可求得 E点坐标，从而可 表示出 BCD的面积，可求得 k的值; (3) 由B C、D的坐标，可表示出 BC、BD和CD,分/ CBD=90和/CDB=90两种情况, 分别利用勾股定理可得到关于a的方程，可求得 a的值，则可求得抛物线的解析式. 【解答】解: (1 )在 y=a (x - 1) (x - 3),令 x=0 可得 y=3a, -C (0, 3a), 2 2 / y=a (x - 1) (x - 3) =a (x - 4x+3) =a (x - 2) - a, (2 )在 y=a (x - 1) (x - 3 )中，令 y=0 可解得 x

13、=1 或 x=3. A (1 , 0), B ( 3, 0), AB=3- 1=2, y=kx+b, Sa abd- x 2 x a=a, 直线CD解析式为y= - 2ax+3a，令y=0可解得x=：, E (：-, 0), BE=3= 2 2 1 -.3- Sa bc=Sabe(+Sa bed xx( 3a+a) =3a, Sa bcd Saabi= (3a): a=3, k=3; (3) B (3, 0), C (0, 3a), D (2, - a), BCf=32+ (3a) 2=9+9a2, CD=22+ (- a-3a) 2=4+16a2, bD= (3- 2) 2+a2=1+a2,

14、 / BCD: / BCOc 90, BCD为直角三角形时, 只能有/ CBD=90或/ CDB=90两种情况, 当/ CBD=90时, 则有 BC+BD=cD,即即 9+9a2+1+a2=4+16a2,解得 a=- 1 (舍去)或 a=1, 此时抛物线解析式为 y=x2 - 4x+3; 当/ CDB=90时, 则有 cD+BEBcJ,即 4+16a2+1+a2=9+9a2,解得 a=-=-(舍去)或 此时抛物线解析式为 y=x2-2*x+; 综上可知当 BCD是直角三角形时，抛物线的解析式为 y=x2-4x+3或y=x2-2二x+ ” . 5. 如图，直线y=x+悬分别与x轴、y轴交于B、C

15、两点，点A在x轴上，/ ACB=90 , 3 抛物线y=ax2+bx+- 一;经过A，B两点. (1 )求A B两点的坐标； (2) 求抛物线的解析式； (3) 点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点 M作MHL BC于点H,作MD/ y轴交BC于点 。，求厶DMH周长的最大值. 【分析】(1)由直线解析式可求得 B、C坐标，在Rt BOC中由三角函数定义可求得/ OCB=60 , 则在Rt AOC中可得/ ACO=30，禾U用三角函数的定义可求得OA则可求得 A点坐标； (2 )由A B两点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； (3)由平行线的性质可知/ MDHd BCO=60 ,在Rt

16、 DMH中利用三角函数的定义可得到 DH MH与 DM的关系，可设出 M点的坐标，则可表示出DM的长，从而可表示出 DMH的周长，利 用二次函数的性质可求得其最大值. 【解答】解： (1 )直线y=-】一x+ ；分别与x轴、y轴交于B、C两点， V B (3, 0), C (0，極, - OB=3, OC=二 二 tan / BCO=60 , / ACB=90 , / ACO=30 , =tan30 ，即三耳，解得 A0=1, -A (- 1, 0)； （2）T抛物线y=ax2+bx+二经过A, B两点, ,3+炸，解得, L9a+3b+V3-0 a-Vi. 抛物线解析式为y=x ；x+ ； (3)T MD/ y 轴，MHL BC, / MDHNBCO=60，则/ DMH=3 , DHDM MH=DM DMH的周长=DM+DH+MH= DMIDM+亠 DM=DM 当DM有最大值时，其周长有最大值, 点M是直线BC上方抛物线上的一点， 可设M（ t，逅t 2+空3t+衍）,贝U D （t，遷t+岳）, 3 33 DM=