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文档简介
1、开放性数学实验报告(2016 / 2017学年 第2学期)题目:基于MATLAB的圆冋专业通信工程 _学生姓名杨坤冯著豪周李鑫班级学号B B B指导教师赵礼峰 _指导单位南京邮电大学理学院日 期2017/5/20MATLAB圆周率的近似计算B杨坤B冯著豪B周李鑫 摘要:圆周率(Pi)是圆的周长与直径的比值,一 般用希腊字母n表示,是一个在数学及 物理学中普遍存在的数学常数。n也等于圆形之面积与半径平方之 比。是柿确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键值。在分析学里,n可以严格地定义为满足 sin x = 0的最小正实数X。计算圆周率一直是很多人的追求。在电子计算机还没有发明的时候就有很多
2、先贤用各种 方法计算了圆 周率的近似值最著名的应该是祖冲之,他计算出了圆周率的位数达到了小数点 后七位。该记录在世界范用 内保持了八百年。之后圆周率的计算进入了分析法时期,这一时期人们开始利用无穷级数或无穷连乘积求 川,摆脱町割 圆术的繁复计算。无穷乘枳式、无穷连分数、无穷级数等各种几值衷达式纷纷 出现,使得几值计算精度迅 速增加。在分析法的基础上,电子计算机的出现使得圆周率的计算精度犬幅提高。计算圆周率己经成为评判超 级计算机的性能指标的项目之一。如今个人计算机的性能也达到了一个极高的程度。学习使用计算机计算圆周率可以帮助我们更好地学 习matlab同时对数学也会有更深的理解。关钱词:圆周率
3、计算;投点法;定枳分计分法;慕级数:韦达公式一、问题分析计算圆周率有很参方法,不同方法之间自然也冇好坏之分。在强人的计算机性能的支持卜,我们能使 用不同的方法计算岡周率并且感受不同方法孰优孰劣。首先我们需要了解不同 的计算方法是怎么计算圆周 率的,然后使用nrnt 1此编写代码帮助我们实现算法,计算出圆周率。二、实验方法1.投点法:投点法,顾名思义就是通过投点计算圆周率。在一个边长为1的正方形里以1为半径画-个四分之一 圆,再向正方形里投点,在概率的学习中我们知道,大量地向这个正方形中拦 点时,在投的点足够多的前 提下,落在四分之一扇形里的点与投的所冇点的个数之比应该为 扇形与整个正方形的面积
4、之比。扇形的面 积为四分之一圆,即1 /4*pi,正方形的面枳为1设投n个点,落在扇形里的点的个数为count即可推出pi二4* (count/n)o 代码如下:count二0;ezplot x*2+y*2二r , 0, 1, 0, 1), hold on , grid onn=10000;for i=l: 1: nx=rand(l, 1);y=rand(l, 1);plot (x. y9f 廉)9 hold onpause投点法计算JoRx 二 7if x*2+y2二 1count 二 count+1:endendp二4*(count n)投200个点时多次运行分别获得以下结果:町见这时所得
5、的结果并不稳定,且结果并不牯确丁是继续实验投一 T个点。多次实验后得出以卜结果此时的楕确度仍然不尽人意,于是我们直接投了一万个点此时得到了以卜结果此时基本达到了两位小数的精确度于是我们更改投点个数得到以下结果投100000个点时:当我们准备投更多点时发现投点法消耗人多计算机资源,己经无法投太多的点了。 圆周率利用了计算机的高性能,但是性能的使用效率并不太高。2.定积分积分法将区间0.1分成n等份,在每个小区间上选中点为使用积分的方法计算“的近 似值 代码如下:n二50;%等分积分区间数。i=0:l/n: 1;s 二 0;for k二1: length (i)ls=s+(l/(l+(i (k)
6、+i (k+1)/2)*2)*l/n;pauseendvpa (4*s 20)设宣不同的区间数,获得不同的近似值,对应关系如卜:区何50100200300400500600近似值3.3.3.3.相比于投点法,该方法以较高的效率使用了计算机资源达到了更高的蒂度,当-100, 000. 000时,精度达 到了小数点后十二位。3墓级数幕级数的方法有很多,我们学习了使用arctan (x)的Maclaurin展开式计算兀的近(以彳 葭, n - 4a:rct8i订 - 4(1 _ + _+,曲 _ -二亠代码如下n二10;5展开次数s 二0;digits (50)玄计算精度for k=l: ns二s+
7、4* (-1)* (k+1)/(2*k、l);endvpa(s, 20)改变n的值计算不同情况卜得出的圆周率近似值n10100100010000100000近似值3该计算方法能比较准确地得出较高精度的圆周率的近似值4.韦达公式根据韦达在1593年给出的公式4二返尹* 代码如 F: a=sqrt (2) ; s二 1;n 二 100for i=l: n s=(s*a)/2; al=sqrt(2+a); a=al;endvpa (2/s, 20)便用该算法汁算圆周率的近似值时,n与所得的近似值如卜:n101001000Pi第实上,当n为100时所算出的圆周率精度己经超过了小数点后100位,口 J见其计算精度之 高,效率 之快。一卞列出口二100时所得结果精确到100位的输出值:46 79 71 10 44 61 09 25 8二、实验感想圖周率的近似计算一直是一种
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