数学分析第八章 不定积分ppt课件

1、1不定积分的概念与根本积分公式2 换元积分法与分部积分法3有理函数和可化为有理函数的不定积分第八章 不定积分;1不定积分的概念与根本积分公式不定积分的概念与根本积分公式第八章 不定积分;在第五章我们研讨了知 f，如何求 f 的导数 f 的表达式，得到了一些计算法那么，例如：(f + g) = f + g ,(f g) = f g + f g ,(f ) = f 这些计算方法加上根本初等函数的导数公式，我们可以处理初等函数的求导问题，即是，假设 f 为初等函数， f 的表达式能求出.;我们如今来研讨第五章求导问题的逆问题。;。tAFm求物体的运动速度的作用下沿直线运动在力其质量为一静止的物体例,

2、sin,1,sin:mtAmFa由牛顿第二定理解mtAmFadtdvsin即, vdtdv求这归结为已知由求导运算mtActmAsin)cos(ctmAtvcos)(得确定由初始时刻是静止的)0)0(vc; 1 定义1 设函数 f与F在区间 I 上有定义,假设 F (x)f(x),那么称函数 F为函数 f 在区间 I 上的一个原函数。 (一)原函数概念一 原函数与不定积分Ix),(,)31( :23xxx如上一个原函数在是),(31)(23xxxF;,2sin)(sin) 12cos21()2cos21(),(:2xxxxx时再如上一个原函数在是),(2sinsin, 12cos21,2cos

3、21)(2xxxxxF问题：问题： f在什么条件下存在原函数？存在时其个数在什么条件下存在原函数？存在时其个数? 假设假设f存在原函数存在原函数,如何求如何求?;2 原函数存在定理.),()(,1 . 8IxxfxFFIfIf即存在原函数上在则上连续在区间若函数定理注1:初等函数在其定义域存在原函数.注2:延续是原函数存在的充分而非必要条件;3 原函数之间的关系定理8.2 假设F是 f 在I上的一个原函数 ，那么(1) FC 也是 f 在I上的原函数，其中 C 是恣意常数。(2) f 在I上的恣意两个原函数之间,只能够相差一个常数.|)(,:上的原函数全体在为则上的一个原函数在区间为若函数结论

4、IfRccxFIfF;注注1. 符号符号是一个整体记号.xxfd)(1. 定义定义2：函数：函数f (x)在区间在区间I上的全体原函数上的全体原函数, 称称为为f 在在I上的不定积分，记作上的不定积分，记作xxfd)(积分号被积函数积分变量注注2. 不定积分与原函数是总体与个体的关系。不定积分与原函数是总体与个体的关系。(3);设F(x)是f (x)在区间I上的一个原函数，习惯写成CxFxxf)(d)(其中C为恣意常数0 x0yxy = F(x)+C1y = F(x)+C2y = F(x)+C3y = F(x)+C4;先积后导正好还原),()() 1 (xfdxxf,)()(dxxfdxxfd

5、或常数先导后积需加上一个任,)()()2(Cxfdxxf.)()(Cxfxdf或2. 不定积分的性质：不定积分的性质：;-1O 1x y y=x2 函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线。Cxxdx22C1y=x2+C1C2y=x2+C2C3y=x2+C3 函数f(x)的积分曲线有无限多条。函数f(x)的不定积分表示f(x)的一簇积分曲线，而f(x)正是积分曲线的斜率。;二二. 根本积分公式根本积分公式积分公式积分公式导数公式导数公式123kckx )(xx) 1()(10 1)(lnxxx0 1)(ln(xxx1)2)3)1 根本积分表根本积分表;5)6)7)5671, 0ln1d

6、aaCaaxaxxCxxxsindcosCxxxcosdsin1, 0 ln)(aaaaaxxxxcos)(sinxxsin)(cos4xxee)(4);10)11)10119)9Cxxcotxdcsc2xx2csc)(cotCxxxarcsin1d2Cxxxarctan1d2211)(arcsinxx211)arctan(xx8)8Cxxxtandsec2xx2sec)tan(;2 线性运算法那么线性运算法那么)5()()()()(,3 . 821212121dxxgkdxxfkdxxgkxfkIgkfkkkIgf且上也存在原函数在则两个任意常数为上存在原函数在区间与若函数定理注注 线性运算

7、法那么的普通方式为线性运算法那么的普通方式为)6()()(11dxxfkdxxfkiniiinii;例例1.xxpaxaxaxaxpnnnnd)(,)(1110求设解解:xxpd)(dxaxxaxxaxxannnnddd1110Cxaxaxnaxnannnn2111021;例例2.求求xxxd1124解解:dxxx)121(22Cxxxarctan2313xxxd1124xxxd12124xxxxd12) 1)(1(222;例例3.求求xd)10(102-xxxd)10(102-xx解解:x2)d-10(10-2x2xx2d-)10()(10 x-2x2cxxx2)1010(10ln2122;

8、例例4.求求解解:xxxdsincos122xxxd )sec(csc22Cxxtancotxxxxdsecdcsc22xxxdsincos122dxxxxx2222sincossincos;例例5 5 求求解解.2cos3cos xdxx),5cos(cos212cos3cosxxxx xdxx2cos3cos.5sin101sin21Cxx 利用三角学中的积化和差公式，得利用三角学中的积化和差公式，得dxxx)5cos(cos21。nxdxmxnxdxmxnxdxmx数积化和差简化型的积分采用对被积函注一般对,coscos,sinsin,cossin;作业：作业： P181：2,3,5(1

9、) (16).;上页下页终了前往首页铃2 换元积分法与分部积分法;无法求出?sin1dxx 利用根本积分表与积分的性质，所能计算的不定积分是非常有限的；如 我们可以把复合函数的微分法反过来用于求我们可以把复合函数的微分法反过来用于求不定积分。由复合函数的微分法那么不定积分。由复合函数的微分法那么)()() )(xxFxF可得换元积分法可得换元积分法 根本出发点根本出发点,将被积函数转化成最简方式将被积函数转化成最简方式,从从而运用积分公式将其求出而运用积分公式将其求出.;一一 换元积分法换元积分法,),()()(,)(,)(,)(4 . 8baxxxgxfbaxxbaxuug并记且上可导在上有

10、定义在设定理) 1 ()()()()()()(,)()(),(,)(),(,)()() 1 (cxGcuGduugdxxxgdxxfcxGxFxFbaxfuGug即且上也存在原函数在则上存在原函数在若第一换元积分法;)2()()()()()()(,)()(),(,)(,)(,)(,) 1 (, 0)()()2(11cuFcxFdxxfdxxxgduugcuFuGuGugxFbaxfbaxx即且上也存在原函数在时上存在原函数在即当可逆命题则上述又若第二换元积分法;证明证明 (1) 用复合函数求导法进展验证用复合函数求导法进展验证:)(xGdxd)()(xug)()(xxg)(xf式成立为其原函数

11、以所以) 1 ( ,)()(xGxf)(xudxdududG)()(xuG;且存在反函数的条件下在),()(,0)()2(1uxxux)(1|)(1uxxdudx于是有于是有)(1uFdud)(1)(xxF)(1)(xxf)(1)()(xxxg)(xg)(ug式成立为其原函数以所以)2( ,)()(1uFugdudxdxdF; (一一) 第一类换元法凑微分法第一类换元法凑微分法dxxf)(难求难求易求易求)()()(:xdxgdxxf拼凑成关键将注第一类换元法又称为凑微分法。第一类换元法又称为凑微分法。凑成dxxxg)()()()(xdxg换元)(xuduug)(求积cuG)(cxG)(变量还

12、原;处理问题的关键在哪里呢？再看上式的特点)( )()(xxGxG外部函数的导数中间变量u中间变量u的导数复合函数求导数得到的函数是两个因子的乘积外部函数的导数 中间变量的导数。假设从被积函数中他能看出这种方式，问题的答案就出来了。;例例. 求求xxxdcos332解：函数解：函数3x2cosx3看上去象某复合函数求导而得：看上去象某复合函数求导而得：cosx3 3x2sinu的导数 中间变量u 中间变量u的导数因此猜测sinx3是一个原函数，求导数验证2333cos)(sinxxx所以Cxxxx332sindcos3;运用这种方法的根本想法 从被积函数中找到一个作中间变量的函数，其导数是作为

13、一个因子出现的。这个想法在相差一个常数因子时也可以用。运用这种方法要求想象出复合函数的方式。;例例.xxexd12求解：察看解：察看12xxe中间变量u=x2+1但 u=x2+1的导数为u = 2x在被积函数中添加因子212 221xex uu因此Cexexxexxx121122221) 1d(21d;换元法换元法);()( . 1uGIug有原函数在区间IJJxxu)(,),( . 2CxGdxxxg)()( )(则xxxgd)( )(uugd)(u=(x)xudd;例例1.xxcosxdsin3求解解:xcosxd(sinx)3Cu1341xusin udu 3Cx4sin41udu;例例

14、2 2 求求)0( ,122adxxa解解: 原式原式=dxaxa)(1 122 axdaxa2111.arctan1Caxa 分析：能想出原函数的方式吗？分析：能想出原函数的方式吗？Cxxxarctan1d2记得这个公式吗？如何用这个公式？;例例3.)0(d22axax求分析：能想出原函数的方式吗？分析：能想出原函数的方式吗？Cxxxarcsin1d2记得这个公式吗？如何用这个公式？2)(1daxaxCax arcsin2)(1daxax解解:原式原式= ;例例4解：解：)0( ,d22axax求xxaxaad)11(2122dxaxxaxaxaxaa)(d)(d21Cxaxaa|ln|ln

15、21Cxaxaaln21;例例5.解：解：xxdsec求xxxxcosddsecxxxdcoscos2)4(|sin1sin1|ln21由例Cxxxx2sin1)(sindCxx2cossin1ln21Cxx|tansec|ln;解法解法2：xxdsecxxxxxxdtansec)tan(secsecxxxxdtansec)tan(secCxx|tansec|ln; xdxcoscos112Cxx|cos1cos1|ln21 Cxx|sincos1|lnxdxsec)2()2csc(xdx Cxx| )2(ctg)2csc(|lnxdxcoscos112Cxx|cos1cos1|ln21 Cx

16、x|sincos1|lnln|cscxctgx|C。 xdxsec)2()2csc(xdx Cxx| )2(ctg)2csc(|lnln|secxtgx|C。 xdxcscdxxsin1dxxx2sinsinxdxcscdxxsin1dxxx2sinsin 9 xdxcscdxxsin1dxxx2sinsin例例;例例 求求.)ln51(1dxxx 解解dxxx )ln51(1)(lnln511xdx )ln51(ln51151xdx duu151Cu ln51熟练以后就不需求进展熟练以后就不需求进展)(xu 转化了转化了Cx )ln51ln(51; dxex11dxeedxeexxxx 1)

17、1(1xxdee11)1(11xxede .)1ln(Cex 解解例例 求求.11dxex ;duug)(换元)(xudxxxg)()(难求难求易求易求1 1 根式代换根式代换当被积函数含有两种或两种以上的当被积函数含有两种或两种以上的根式根式 时，可采用令时，可采用令 其中其中 为各根指数的最小公倍数为各根指数的最小公倍数 lkxx,ntx n求积cxF)(变量还原cuF)(1;例例6 6 求求.)1 (13dxxx解解令令6tx ,65dttdx dxxx)1 (13 dtttt)1(6235 dttt2216dtt)111 (62ctt)arctan(6cxx)arctan(666;例例

18、 求求解解.dxex 11xet 令令,2dttdx dttt) 1(2dttt 1112Ctt )ln(ln12,lntx2 思索到被积函数中的根号是困难所在，故思索到被积函数中的根号是困难所在，故dxex 11回代回代将将xet .lnCeexx 12原式原式;例例7 7 求求解解).0(22 adxxatdtadxcos tdtatadxxacoscos2222,sin ttaxtataaxacossin22222 dttatdta22cos1cos222Cttata cossin2222Cxaxaxaaxt 222212arcsinarcsinxa2 2 三角代换三角代换;例例8 8

19、求求解解).0(122 adxax令令taxsec 2, 0ttdttadxtansec dxax221dttatta tantansec tdtsecCtt )tanln(secax.ln22Caaxax ;例例9 9 求求解解).0()(1222adxax令令taxtan tdtadx2sec tdtata244secsec1tdta23cos1cttta)cossin(213axcaxaxaxa)(arctan21223 2,2tdxax222)(1dtta)2cos1 (213;阐明阐明以上几例所运用的均为三角代换以上几例所运用的均为三角代换.三角代换的目的是化掉根式三角代换的目的是化

20、掉根式.普通规律如下：当被积函数中含有普通规律如下：当被积函数中含有22)1(xa 可令可令;sintax 22)2(xa 可令可令;tantax 22)3(ax 可令可令.sectax ;.1tx 例例 求求dxxxn )(11令令tx1 ,12dttdx dxxxn )(11dttttn 2111 dtttnn11Ctnn |ln 11.|lnCxnn 111解解当分母的阶较高时当分母的阶较高时, 可采用倒代换可采用倒代换;例例10 10 求求122xxdx解解种换元积分法来计算有些不定积分可采用两注:用第一换元积分法方法 ) 1(122xxdx2311xxdxxdxx111112duuu

21、21cu 21cxx112;用第二换元积分法方法 )2(122xxdxct sintx secdttttttansectansec2tdtcoscxx112;根根本本积积分分表表续续;coslntan)16( Cxxdx;sinlncot)17( Cxxdx;)tanln(secsec)18( Cxxxdx;)cotln(csccsc)19( Cxxxdx;arctan11)20(22Caxadxxa ;ln211)22(22Cxaxaadxxa ;arcsin1)23(22Caxdxxa .)ln(1)24(2222Caxxdxax ;ln211)21(22Caxaxadxax ;利用两个函

22、数乘积的求导法那么利用两个函数乘积的求导法那么.分部积分公式分部积分公式 ,vuvuuv 对以上等式两边求不定积分对以上等式两边求不定积分移项得移项得;),()()()()()(xvxuxvxuxvxu由),()()()()()(xvxuxvxuxvxu移项对上式两边求不定积分对上式两边求不定积分,就得就得(3)式式并有也存在则存在不定积分可导与若定理,)()(,)()(,)()(5 . 8dxxvxudxxvxuxvxu证明证明) 3()()()()()()(dxxvxuxvxudxxvxu;分部积分法：分部积分公式分部积分公式公式(3)可简写成 关键：恰中选取u和确定v.难求难求易求易求难

23、求难求 容易积出。容易积出。要比要比）（要容易求得；要容易求得；）（udvvduv21要求dxxf)(dxxvxu)()(分部 udvvduuv公式;例例11 11 求积求积分分.cos xdxx解解令令,xu xdxxddvcossin xdxxcos xxdsin xdxxxsinsin.cossinCxxx ,cosxv 假设令假设令,cos xu dvdxxdx 221 xdxxcos xdxxxxsin2cos222显然，显然， 选择不当，积分更难进展选择不当，积分更难进展.vu ,xvsin; 普通地，假设被积函数是幂函数和正(余)弦函数的乘积, 就思索设幂函数为 , 使其降幂一次

24、(假定幂指数是正整数)一一般般要要考考虑虑下下面面两两点点：和和选选取取是是一一个个关关键键。和和，恰恰当当选选取取所所以以应应用用分分部部积积分分法法时时果果，选选取取不不当当，就就求求不不出出结结和和由由此此可可见见，如如果果dvudvudvu 容易积出。容易积出。要比要比）（要容易求得；要容易求得；）（udvvduv21u;例例12 12 求积求积分分.arctan xdxx解解 xdxxarctan)(arctan2arctan222xdxxx dxxxxx222112arctan2 xxarctan22 .)arctan(21arctan22Cxxxx dxx)111(212 假设被

25、积函数是多项式和反三角函数的假设被积函数是多项式和反三角函数的乘积，就思索设反三角函数为乘积，就思索设反三角函数为u.2arctan2xxd;例例13 13 求积分求积分.ln3 xdxx解解4ln4xxd dxxxx3441ln41.161ln4144Cxxx 总结总结 假设被积函数是多项式和对数函数或假设被积函数是多项式和对数函数或多项式和反三角函数的乘积，就思索设对数多项式和反三角函数的乘积，就思索设对数函数或反三角函数为函数或反三角函数为 . xdxx ln3;例例14 14 求积求积分分.2 dxexx解解 dxexx2 22dxeexxx.)(22Cexeexxxx )(dxexe

26、exxxx 22dxxeexxx 22xxdexex 22 假设被积函数是幂函数和指数函数的乘假设被积函数是幂函数和指数函数的乘积积, 就思索设幂函数为就思索设幂函数为 u , 使其降幂一次使其降幂一次(假定幂指数是正整数假定幂指数是正整数)注注:有些积分需延续几次运用分部积分公式才干求出有些积分需延续几次运用分部积分公式才干求出xdex2;注注:有些积分运用假设干次分部积分法后有些积分运用假设干次分部积分法后,会出现原来积分相会出现原来积分相同类型项同类型项,经过移项合并后经过移项合并后,可得所求积分可得所求积分.例例15 15 求积求积分分.sincos21bxdxeIbxdxeIaxax

27、和解解bxdxeIaxsin2axbxdeasin1) )(sinsin(1bxdebxeaaxax)cossin(1bxdxebbxeaaxax;)cossin(1axaxbxdeabbxea)coscos(sin12bxdebxeabbxeaaxaxaxbxdxeabeaaxbbxaaxaxsin)cossin(222bxdxeIaxsin2.cossin22Cebabxbbxaax.cossin221CebabxabxbIax同理;例例 求积分求积分.sec xdx3解解 xdx3sec xxd tansecdxxxxx 2tansectansecdxxxxx)(secsectansec

28、12 dxxdxxxx secsectansec3xxdxxxxtanseclnsectansec 3 xdx3secCxxxx )tanseclntan(sec21;两类积分换元法：两类积分换元法：一凑微分一凑微分二三角代换、根式代换、倒数代换二三角代换、根式代换、倒数代换三角代换常有以下规律三角代换常有以下规律22)1(xa 可令可令;sintax 22)2(xa 可令可令;tantax 22)3(ax 可令可令.sectax ;合理选择合理选择 ，正确运用分部积分式，正确运用分部积分式vu ,留意复原分部积分留意复原分部积分 假设被积函数是多项式和正假设被积函数是多项式和正(余余)弦函弦

29、函数的乘积数的乘积, 就思索设多项式为就思索设多项式为 , 使其降幂使其降幂一次一次(假定幂指数是正整数假定幂指数是正整数)普通地，普通地，12 假设被积函数是幂函数和指数函数的假设被积函数是幂函数和指数函数的乘积乘积, 就思索设幂函数为就思索设幂函数为 u , 使其降幂一次使其降幂一次(假定幂指数是正整数假定幂指数是正整数) (4) 假设被积函数是指数函数与三角函数乘积假设被积函数是指数函数与三角函数乘积时时,二者皆可作为二者皆可作为u,但作为但作为u的函数的类型不变。的函数的类型不变。(3) 假设被积函数是幂函数和对数函数的假设被积函数是幂函数和对数函数的乘积，就思索设对数函数或反三角函数

30、为乘积，就思索设对数函数或反三角函数为 u .u;u函数函数运用分部积分公式的要点是确定运用分部积分公式的要点是确定3作业：P189 2(1) (10),6(2)(4),7(2)(4);3有理函数和可化为有理函数的不定积分有理函数和可化为有理函数的不定积分;问题的提出问题的提出.11)1(112 xxx2)1(1 xx即即dxxx 2111)()(怎样计算？怎样计算？关键是被积函数的裂项关键是被积函数的裂项？2 2.cossin1sin dxxxx很显然不能用很显然不能用凑微分和分部积分凑微分和分部积分怎样办？怎样办？3 3 dxxxx11去掉根号才干计算，怎样去掉去掉根号才干计算，怎样去掉根

31、号？根号？;两个多项式的商表示的函数两个多项式的商表示的函数. .mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxPxR11101110)()()(其其中中m、n都都是是非非负负整整数数；naaa,10及及mbbb,10都都是是实实数数，并并且且00 a，00 b.(Integration of Rational Function)1 有理函数的定义：有理函数的定义：;假定分子与分母之间没有公因式假定分子与分母之间没有公因式,)1(mn 这有理函数是真分式；这有理函数是真分式；,)2(mn 这有理函数是假分式；这有理函数是假分式；结论结论: :利用多项式除法利用多项式除法, , 假分式可以化

32、成一假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和个多项式和一个真分式之和. . 即即: :假分式假分式= =多项式多项式+ +真分式真分式例如，我们可将例如，我们可将1123 xxx.112 xx化为多项式与真分式之和化为多项式与真分式之和;2 代数学中的两个定理：代数学中的两个定理：(1)多项式的因式分解定理:任何实系数多项式总可以独一分解为实系数一次或二次因式的乘积：tslkhrxxqpxxbxaxbxQ)()()()()(220; (2)部分分式展开定理：)()(xQxPkkaxAaxAaxA)()()(221ttthrxxNxMhrxxNxMhrxxNxM)()()(22222211sss

33、qpxxQxPqpxxQxPqpxxQxP)()()(22222211llbxBbxBbxB)()()(221;,)(kaxA结论结论:在实数范围内真分式总可以分解成几个最简式之和在实数范围内真分式总可以分解成几个最简式之和最简分式是下面两种方式的分式最简分式是下面两种方式的分式;)(kqpxxBAx 2042 qpk为正整数，;1分母中假设有因式分母中假设有因式 ，那么分解，那么分解后为后为kax)( ,)()()(221kkaxAaxAaxA有理函数化为部分分式之和的普通规律：有理函数化为部分分式之和的普通规律：其中其中kAAA,21都是待定的常数都是待定的常数.特殊地：特殊地：, 1 k

34、分解后为分解后为;axA ;2 2分母中假设有因分母中假设有因式式 ，其中，其中kqpxx)(2 那么分解后为那么分解后为042 qpkkkqpxxNxMqpxxNxMqpxxNxM)()()(22222211其其中中iiNM ,都都是是待待定定的的常常数数), 2 , 1(ki .特殊地：特殊地：, 1 k分解后为分解后为;2qpxxNMx ;3 分解真分式分解真分式 为简单分式步骤为简单分式步骤)()()(xQxPxR第一步第一步:对分母对分母Q(x)作规范分解作规范分解.tslkhrxxqpxxbxaxbxQ)()()()()(220第二步第二步:根据分母的因式构造根据分母的因式构造,写

35、出写出R(x)的部分分式的部分分式 的待定方式的待定方式.)()(xQxPkkaxAaxAaxA)()()(221ttthrxxNxMhrxxNxMhrxxNxM)()()(22222211;第三步第三步:确定待定系数确定待定系数. 用用Q(x)乘等式两边乘等式两边,比较同次幂的系数比较同次幂的系数 或用某些特定值代入或用某些特定值代入. 便于求积分必需把真分式化为部分分式之和，同便于求积分必需把真分式化为部分分式之和，同时要把上面的待定的常数确定，这种方法叫待定时要把上面的待定的常数确定，这种方法叫待定系数法系数法; 例1作部分分式分解对842510942)(2345234xxxxxxxxx

36、xR 解 将分母分解因式因此可分成部分分式两边同乘 ;比较同次项系数得 (*)解此方程组得： A =1 B =2 C =-1 D =-1 E =111)2(12221)(22xxxxxxxR10824494834424331232ECBAEDCBEDCBAEDCBADBA;( )0,0,1*22*12,:0 (12*-10-4-2C-8E 1x1(12xQ xxxxABxABAB 上述的待定系数法有时可用较简便的方法（如用赋值法）去代替，例如可将 的某些特定值（如的根 再选择一些特殊值，如：等）代入（ ）式，以便得到一直接求得某几个待定系数的值。对于上例，若分别用，代入（ ）式，立即可得：，再

37、选择，）代入（ ）式，可得：（ ）；以，）代入（*432182x1(12*1933 .1231,1,1. CDEABCEDCDE ）式得：（） （ ）；以，）代入（ ）式得：（） （ ）解由（）、（ ）、（ ）联立方程组得：;从有理函数化为部分分式之和可看出，任何有从有理函数化为部分分式之和可看出，任何有理函数真分式的积分可归结为二类情况：理函数真分式的积分可归结为二类情况：;)(1)(dxaxn;)()(2dxqpxxNMxn4 有理函数的不定积分有理函数的不定积分 dxaxn)(1)(对;1,)(1 (11,ln1ncaxnncaxn;,42222pqpxqpxx 令令tpx 2;)()(

38、2dxqpxxNMxn对,:222atqpxx记, bMtNMx ,422pqa ,2MpNb 那那么么; dxqpxxNMxn)(2dtattMn)(22dtatbn)(122dtattn)(22其中natatd)()(2122221)(1 (211)ln(2112222ncatnncatn;dtatn)(122对,1) 1 (时n.arctan1)(122catadtat,1)2(时ndtatInn)(122dtattatan)()(1222222)(122212dtattIann;)(1) 1(21112212nnattdnIa经整理得经整理得)7(.) 1(232)(1(2121222

39、nnnInanatnatI.),7(1I最终归为计算重复使用递推公式这二类积分均可积出这二类积分均可积出, 且原函数都是初等函数且原函数都是初等函数.结论结论: :有理函数的原函数都是初等函数有理函数的原函数都是初等函数. .)() 1(2111122212nnnIattnaIa;例例2 2 求求 .)22(1222dxxxx解解222)22(1xxxdxxxx222)22(1dxxxxdxxx222)22(12221所以所以由于由于222)22(12221xxxxx222)22() 12()22(xxxxx;dxxx2212而而dxxxx22)22(1222222 1) 1() 1()22(

40、)22(xxdxxxxd222) 1(221tdtxx利用递推公式得利用递推公式得12) 1arctan(1) 1() 1(cxxxddxxxx22)22(1)22(;121) 1(2) 1(2222tdttttdt22arctan21) 1(2cttt22) 1arctan(21)22(21cxxxx.) 1(232)(1(2121222nnnInanatnatI;dxxxx222)22(1所以) 1arctan(x2212xxcxxxx) 1arctan(21)22(212cxxxx) 1arctan(23)22(232dxxxx222)22(1dxxxxdxxx222)22(122211

41、2) 1arctan(221cxdxxxdxxxx22)22(12222) 1(221tdtxx;三角有理式的定义：三角有理式的定义： 由三角函数和常数经过有限次四那么运由三角函数和常数经过有限次四那么运算构成的函数普通记为算构成的函数普通记为: :)cos,(sinxxR。dx，xxR则可求其不定积分不定积分把它转化为有理函数的换若能通过适当的变量代对,)cos,(sin).(),(,)(),(,)(),(xvxuRxvxuxvxu并记为有理式称为关于数运算所得的函及常数经过有限次四则由;2sin2coscos22xxx2cos2sin2sinxxx 2sec2tan22xx ,2tan12

42、tan22xx使即找变换关键)(,)()cos,(sin:txdttRdxxxRdttRdxtRxtRx)()(cos)(sin321dttRdxxxR)()cos,(sin则由万能置换公式由万能置换公式2sec2tan122xx,2tan12tan122xx ;,2tan12tan1cos22xxx令令,2tanxt ,12sin2ttx,11cos22ttxtxarctan2dttdx212 dxxxR)cos,(sin.1211,122222dttttttR,2tan12tan2sin2xxx;例例3 3 求求.)cos1(sinsin1 dxxxx解解,12sin2ttx,11cos22ttx,122dttdx由万能置换公式有由万能置换公式有dtttt12212 dxxxx)cos1(sinsin1Cttt)ln22(212Cxxx 2tanln212tan42tan22tanxt 令dtttttttt2222212)111 (12121;例例4 4 求求)0.(cossin12222abdxxbxa解解 由于由于dxbxax2222tansecxdbxatantan1222cbatabar