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文档简介
1、.任意四边形、 梯形与相似模型模型四相似三角形模型(一 )金字塔模型(二 ) 沙漏模型AEFDADFEBGCBGC ADAEDEAF ;ABACBCAG SADE: S ABC AF 2 : AG 2 。所谓的相似三角形,就是形状相同,大小不同的三角形(只要其形状不改变,不论大小怎样改变它们都相似 ),与相似三角形相关的常用的性质及定理如下:相似三角形的一切对应线段的长度成比例,并且这个比例等于它们的相似比;相似三角形的面积比等于它们相似比的平方;连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。三角形中位线定理:三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半。相似三角形模型,给我们提供了三角形之间的边
2、与面积关系相互转化的工具。在小学奥数里,出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形。【例 1】 如图,已知在平行四边形ABCD中, AB16 , AD10 , BE4 ,那么 FC 的长度是多少?DCFABE【解析】 图中有一个沙漏, 也有金字塔, 但我们用沙漏就能解决问题,因为 AB 平行于 CD ,精选.所以 BF:FCBE : CD 4:161: 4 ,所以 FC 10418 4【例 2】 如图,测量小玻璃管口径的量具ABC , AB 的长为15 厘米, AC 被分为 60等份。如果小玻璃管口DE 正好对着量具上 20 等份处 ( DE 平行 AB ),那么小玻璃管口径DE 是多大
3、?BEADC0102030405060【解析】 有一个金字塔模型, 所以 DE : ABDC : AC ,DE :1540:60 ,所以 DE10 厘米。【例 3】 如图, DE 平行 BC ,若 AD : DB2:3 ,那么 S ADE : S ECB_。ADEBC【解析】 根据金字 塔模 型 AD:AB AE:AC DE:BC2: (23)2:5 ,S ADE : S ABC22 :524: 25,设S ADE 4份 , 则 SABC25 份 , SBEC25 53 15份,所以S ADE : S ECB4:15。【例 4】 如图,ABC 中, DE , FG , BC 互相平行, ADD
4、FFB ,则 S ADE: S四边形 DEGF : S四边形 FGCB。ADEFGBC【解析】 设 S ADE1 份,根据面积比等于相似比的平方,所 以 SADE : SAFGAD2 : AF21: 4 , SADE : SABC AD 2: AB21: 9, 因 此S AFG4 份, S ABC9 份,进而有 S四边形 DEGF3 份, S四边形 FGCB5 份,所以 S ADE : S四边形 DEGF : S四边形 FGCB1:3:5精选.【巩固】如图,DE 平行 BC ,且 AD2 , AB5, AE4,求 AC 的长。ADEBC【解析】 由金字塔模型得AD : ABAE : ACDE
5、: BC2:5 ,所以 AC42510【巩固】如图, ABC 中,DE ,FG ,MN ,PQ ,BC 互相平行, AD DFFMMP PB,则 S ADE : S四边形 DEGF: S四边形 FGNM : S四边形 MNQP : S四边形 PQCB。ADEFGMNPQBC【解析】 设 S ADE1 份 , SADE : SAFGAD2:AF21: 4,因 此 SAFG4份,进而有S四边形 DEGF3份,同理有 S四边形 FGNM5 份, S四边形 MNQP7 份, S四边形 PQCB9 份所以有 S ADE : S四边形 DEGF : S四边形 FGNM: S四边形 MNQP : S四边形
6、PQCB1:3:5:7:9【总结】继续拓展, 我们得到一个规律:平行线等分线段后,所分出来的图形的面积成等差数列。【例 5】 已知 ABC 中,DE 平行 BC ,若 AD : DB2:3 ,且 S梯形 DBCE 比 S ADE 大 8.5 cm2 ,求 SABC。ADEBC【解析】 根据金字塔模型AD:AB DE :BC2: (2 3)2:5,S ADE : S ABC22 :524: 25,设S ADE4份 , 则S ABC25份,S梯形 DBCE25421 份 , S梯形DBCE 比 S ADE 大17 份 , 恰 好 是 8.5 cm2, 所 以S ABC12.5 cm 2精选.【例
7、6】 如图: MN 平行 BC , S MPN : S BCP4:9 , AM4 cm ,求 BM 的长度AMNPBC【解析】 在沙漏模型中, 因为 SMPN : S BCP4:9,所以 MN : BC2:3,在金字塔模型中有:AM:ABMN :BC2:3 ,因为 AM4 cm , AB42 3 6 cm , 所 以BM 6 4 2 cm【巩固】如图,已知DE 平行 BC , BO: EO3:2 ,那么 AD:AB_。ADEBOC【解析】 由沙漏模型得 BO : EOBC:DE3: 2 ,再由金字塔模型得AD:ABDE :BC2:3 【例 7】 如图, ABC 中, AE11AC , ED 与
8、 BC 平行, EOD 的面积是 1AB,AD44平方厘米。那么AED 的面积是平方厘米。AEDOBC1AB, AD1【解析】 因为 AEAC,ED与BC平行,44根据相似模型可知ED: BC 1:4, EO:OC 1:4,SCOD4S EOD 4 平方厘米,则SCDE 41 5 平方厘米,又因为 S AED : S CDEAD : DC 1:3 ,所以 S AED515(平方厘米 )33【例 8】 在图中的正方形中,A , B , C 分别是所在边的中点,VCDO 的面积是 VABO 面积的几倍?精选.CFCBOBOADEAD【解析】 连接 BC ,易知 OA EF ,根据相似三角形性质,可
9、知OB :ODAE:AD ,且OA:BEDA:DE 1:2 , 所 以 VCDO的面积等于VCBO的面积;由113OA,所以 SVCDOSV CBO3SV ABO ,即 VCDO 的面积是OABEAC 可得 CO24VABO 面积的3 倍。【例 9】 如图,线段 AB 与 BC 垂直,已知 AD EC4, BDBE 6 ,那么图中阴影部分面积是多少?AADDOBECBECADOBEC【解析】解法一:这个图是个对称图形, 且各边长度已经给出, 不妨连接这个图形的对称轴看看作辅助线 BO,则图形关于 BO对称,有 SVADO SVCEO, SV DBOSVEBO , 且SV ADO : SVDBO
10、4 :62:3 设 VADO 的面积为2 份,则 VDBO 的面积为3 份,直角三角形ABE 的面积为8 份因为 SV ABE6 10230,而阴影部分的面积为4 份,所以阴影部分的面积为308415解法二:连接DE、AC由于 AD EC 4, BDBE6,所以 DE AC,根据相似三角形性质,可知DE: AC BD:BA6:103:5,根据梯形蝴蝶定理,SVDOE: SVDOA: SVCOE: SV COA32 :3 5: 35:529:15 :15: 25,所以 S阴影 : S梯形 ADEC1515:91515 2515: 32 ,即 S阴影15 S;32梯形 ADEC又 S梯形 ADEC
11、1 101016 6=32 ,所以 S阴影15 S梯形 ADEC15 2232精选.【例 10】( 2008年第二届两岸四地”华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛)如图,四边形ABCD 和 EFGH 都是平行四边形,四边形ABCD 的面积是 16, BG: GC 3:1 ,则四边形 EFGH 的面积_AEDFHBGC【解析】 因为 FGHE 为平行四边形,所以EC / / AG ,所以 AGCE 为平行四边形BG :GC3:1 ,那么 GC : BC1: 4 ,所以 SY AGCE1SY ABCD116444又 AEGC ,所以 AE: BG GC : BG1:3 ,根据沙漏模型,FG:AFBG:A
12、E3:1 ,所以SY FGHE334 3 SY AGCE44【例 11】已知三角形 ABC 的面积为 a , AF : FC 2:1,E 是 BD的中点,且 EF BC,交 CD 于 G ,求阴影部分的面积ADEGFBC【解析】已 知 AF:FC2:1,且EFBC,利用相似三角形性质可知EF :BCAF:AC2:3 ,所以2BC ,且 SVAEF : SVABC 4 : 9 EF31又因为 E 是 BD 的中点,所以EG 是三角形DBC 的中位线,那么EGBC ,122EG:EF3:4,所以GF:EF1: 4, 可 得 SVCFG : SV AFE1:8, 所 以:32SVCFG : SVAB
13、C1:18 ,那么 SVCFGa 18【例 12】已知正方形ABCD ,过 C 的直线分别交AB 、 AD 的延长线于点E、F ,且AE10 cm , AF 15 cm ,求正方形 ABCD 的边长ABEDCF【解析】 方法一:本题有两个金字塔模型,根据这两个模型有BC : AFCE : EF ,精选.DC:AECF : EF ,设正方形的边长为x cm ,所以有 BCDCCECF1 ,AFAEEFEF即 xx1 ,解得 x 6 ,所以正方形的边长为6 cm 1510方法二:或根据一个金字塔列方程即x15x ,解得 x61015【例 13】如图,三角形ABC 是一块锐角三角形余料,边BC120
14、毫米,高AD米,要把它加工成正方形零件, 使正方形的一边在 BC 上,其余两个顶点分别在 AC 上,这个正方形零件的边长是多少?APN80 毫AB 、BHD GC【解析】 观 察图中有金字塔模型5 个,用与已知边有关系的两个金字塔模型,所以有PNAP,PHBP ,设正方形的边长为 x 毫米, PNPHAPBP1 ,即BCABADABBCADABABxx,解得 x48 ,即正方形的边长为 48 毫米120180【巩固】如图,在 ABC 中,有长方形 DEFG ,G 、 F 在 BC 上, D 、E 分别在 AB 、 AC上, AH 是 ABC 边 BC 的高,交 DE 于 M , DG: DE1
15、:2 , BC12 厘米,AH8 厘米,求长方形的长和宽ADMEBGHFC【解析】 观 察图中有金字塔模型5个,用与已知边有关系的两个金字塔模型,所以DEAD ,DGBD,所以有 DEDGADBD1 ,设 DG x ,则 DE2x ,BCABAHABBCAHABAB所以有2xx1,解得 x24 , 2x48 ,因此长方形的长和宽分别是48 厘米,12877724 厘米7【例 14】图中 ABCD是边长为 12cm的正方形, 从 G 到正方形顶点C 、 D 连成一个三角形,已知这个三角形在 AB 上截得的 EF 长度为 4cm,那么三角形 GDC 的面积是多少?精选.GGAEFBAEFBNDCD
16、MC【解析】 根据题中条件, 可以直接判断出EF 与 DC 平行,从而三角形 GEF 与三角形 GDC 相似,这样,就可以采用相似三角形性质来解决问题做GM 垂直 DC于M ,交 AB于 N因为EFDC,所以三角形 GEF 与三角形GDC 相似,且相似比为EF : DC 4:121:3 ,所以 GN:GM1:3 ,又因为 MNGMGN12,所以 GM18 cm ,所以三角形 GDC 的面积为 11218 108 cm22【例 15】如图,将一个边长为2的正方形两边长分别延长1 和 3,割出图中的阴影部分,求阴影部分的面积是多少?EMBNOF【解析】 根据相似三角形的对应边成比例有:NF23;
17、EM11,123232则 NF5,EM5 ,93S阴19512223053【例 16】(2008 年 101中学考题 )图中的大小正方形的边长均为整数(厘米 ),它们的面积之和等于52 平方厘米,则阴影部分的面积是ABCDGHFE【解析】 设大、小正方形的边长分别为m 厘米、 n 厘米 ( m2252 ,所以n ),则 mnm8 若 m 5,则 m2n2522 5052 ,不合题意, 所以 m 只能为6或7检验可知只有 m6 、 n 4满足题意,所以大、小正方形的边长分别为6厘米和 4精选.厘米根据相似三角形性质,BG:GFAB :FE6: 43: 2,而 BG GF6,得BG3.6 (厘米
18、),所以阴影部分的面积为:163.610.8(平方厘米 )2【例 17】如图, O 是矩形一条对角线的中点,图中已经标出两个三角形的面积为3和4,那么阴影部分的一块直角三角形的面积是多少?DADA44OE3OE3CFBCFB【解析】连接 OB ,面积为 4的三角形占了矩形面积的 1 ,所以 SOEB431,所以45)225OE : EA 1:3 ,所以 CE : CA 5:8 ,由三角形相似可得阴影部分面积为8(88【例 18】已知长方形ABCD 的面积为70厘米, E是 AD 的中点, F 、G 是 BC边上的三等分点,求阴影EHO 的面积是多少厘米?AEDAEDHOHOBFGCBFGC【解
19、析】因为 E是 AD 的中点, F 、G是 BC 边上的三等分点, 由此可以说明如果把长方形的长分成 6份的话,那么 EDAD 3份、 BFFGGC2 份,大家能在图形中找到沙漏 EOD 和 BOG :有 EDBG = 34,所以ODBO 34 ,相当于把 BD分成(3 4)7份,同理也可以在图中在次找到沙漏:EHD 和 BHF 也是沙漏,EDBF 32 ,由此可以推出:HDBH 32 , 相当于把 BD 分成 ( 32)5份,那么我们就可以把BD 分成 35份(5和 7的最小公倍数 )其中 OD 占 15份, BH 占14份,HO占6份,连接 EB 则可知 BED 的面积为 70435 ,在
20、 BD 为底的三角3562形中HO占6份,则面积为:3 (平方厘米 ).235【例 19】ABCD 是平行四边形,面积为72 平方厘米, E 、 F 分别为 AB 、 BC 的中点,则图中阴影部分的面积为平方厘米ADAGDEOOEHBMMFCBFC【解析】 方法一:注意引导学生利用三角形的中位线定理以及平行线的相关性质设G、 H 分别为 AD、 DC的中点,连接GH 、EF 、BD精选.可得 SV AED = 1 S平行四边形 ABCD ,4对角线 BD被 EF、 AC、GH 平均分成四段,又OM EF ,所以DO:ED232 :3, OE :EDED OD: ED3 2:31:3,BD :B
21、D44所以SV AEO11S平行四边形 ABCD11726 (平方厘米 ), SVADO2SVAEO12 (平3434方厘米 )同理可得 SV CFM6 平方厘米, SVCDM12 平方厘米所以SV ABCSV AEOSVCFM366624(平方厘米 ),于是,阴影部分的面积为24121248(平方厘米 )方法二:寻找图中的沙漏,AE:CDAO:OC 1:2, FC : ADCM:AM1: 2,因此 O,M为AC的三等分点,11(平方厘米 ) , ODMS平行四边形 ABCD7212S66S AEO1126 (平方厘米),同理 SFMC6 (平方厘米),所以SOCD1244S阴影721266
22、48 (平方厘米 )【例 20】如图,三角形PDM 的面积是8 平方厘米,长方形ABCD 的长是 6 厘米,宽是4厘米, M 是BC的中点,则三角形 APD 的面积是平方厘米ADANDKPPBMCBMC【解析】 本题在矩形内连接三点构成一个三角形,而且其中一点是矩形某一条边的中点,一般需要通过这一点做垂线取 AD的中点 N,连接 MN ,设 MN 交PD于 K则三角形 PDM 被分成两个三角形,而且这两个三角形有公共的底边MK ,可知三角形 PDM 的面积等于1MKBC8 ( 平方厘米),所以 MK=8 (厘米 ),那么8423NK4(厘米 )338因为 NK 是三角形 APD 的中位线,所以
23、 AP 2 NK(厘米 ),所以三角形 APD 的183面积为68 (平方厘米 )23【例 21】如图,长方形 ABCD 中, E 为 AD 的中点, AF 与 BE 、 BD 分别交于 G 、 H ,OE垂直 AD于 E ,交 AF 于 O,已知 AH5 cm , HF3cm ,求 AG 精选.AEDGOHFBC【解析】 由于 AB DF ,利用相似三角形性质可以得到AB: DF AH : HF 5:3,又因为 E 为 AD 中点,那么有 OE : FD 1: 2 ,所 以AB:OE5:3,利用相似三角形性质可以得到10:32AG :GO AB :OE10:3 ,而 AO1 AF15 3 4
24、 cm ,所以 AG 41040 cm 221313【例 22】右图中正方形的面积为1, E 、 F 分别为 AB、 BD的中点, GC1FC 求3阴影部分的面积ADADEFEFGGBCBHIC【解析】题中条件给出的都是比例关系,由此可以初步推断阴影部分的面积要通过比例求解,而图中出现最多的就是三角形,那么首先想到的就是利用相似三角形的性质阴影部分为三角形, 已知底边为正方形边长的一半, 只要求出高, 便可求出面积 可以作FH 垂直 BC于H,GI垂直 BC于I根据相似三角形性质,CI :CH CG:CF1:3 ,又因为 CHHB,所以CI :CB 1:6 ,即 BI : BC6 1:65:
25、6 ,所以 SV BGE1155 22624【例 23】梯形 ABCD的面积为12, AB2CD ,E 为 AC 的中点, BE 的延长线与 AD 交于 F ,四边形 CDFE的面积是DCGDCFFEEABAB【解析】 延长 BF 、 CD 相交于 G 由于 E 为 AC 的中点,根据相似三角形性质,CG AB2CD ,GD11GCAB ,22精选.再根据相似三角形性质, AF:FD AB:DG2:1 , GF : GB 1:3, 而S ABD :S BCDAB:CD 2:1,所以 S BCD114,SGBC2S BCD8 SABCD1233S GDF111,SEBC111S GBC1S GB
26、C8又236S GBC ,所以 SCDFE163S GBC223【例 24】如图,三角形ABC 的面积为60 平方厘米, D 、 E 、 F 分别为各边的中点,那么阴影部分的面积是平方厘米AADEDMENBFCBFCADMENBFC【解析】 阴影部分是一个不规则的四边形,不方便直接求面积, 可以将其转化为两个三角形的面积之差 而从图中来看, 既可以转化为BEF 与EMN 的面积之差, 又可以转化为BCM 与 CFN 的面积之差(法 1)如图,连接 DE 由于 D 、 E 、 F 分别为各边的中点,那么BDEF 为平行四边形,且面积为三角形ABC 面积的一半,即 30 平方厘米;那么BEF 的面
27、积为平行四边形BDEF 面积的一半,为15 平方厘米根据几何五大模型中的相似模型,由于 DE 为三角形 ABC 的中位线, 长度为 BC 的一半,则 EM : BMDE:BC1: 2 ,所以 EM1EB;3EN :FNDE :FC1:1 ,所以 EN1EF 2那么 EMN的面积占 BEF面积的 111,所以阴影部分面积为23615112.5(平方厘米 )16(法 2)如图,连接 AM 根据燕尾定理, S ABM : S BCMAE :EC1:1 , S ACM:S BCMAD:DB1:1 ,所以 S BCO1SABC1 6020 平方厘米,33精选.而SBDC1SABC16030平方厘米,所以 S FCN1 S BDC 7.5 平方厘米,22207.512.5 (平方厘米 )4那么阴影部分面积为【总结】求三角形的面积,一般有三种方法:利用面积公式:底高2 ;利用整体减去部分;利用比例和模型【例 25】如图 , ABCD 是直角梯形,AB4,
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