勾股定理综合难题

1、用面积证明勾股定理方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（ 1所示的正方形图（1）中方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形图（2）中如阿二F 3 - 口）2 + 4x：必方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3） 1和（3） 2所示的两个形状相同 的正方形。在（3） 1中，甲的面积=（大正方形面积）一（4个直角三角形面积）， 在（3） 2中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）一（4个直角三角形面积）所以，甲的面积=乙和丙的面积和，即：】一.方法四：如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。4(4)5”吐严侮診+*，所以- 一;练习题1如图，圆柱的高为10 cm,底面半

2、径为2 cm.，在下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底 面上与A点相对的B点处，需要爬行的最短路程是多少？2如图，长方体的高为3 cm，底面是边长为2 cm的正方形.现有一小虫从顶点A出发，沿长方 体侧面到达顶点C处，小虫走的路程最短为多少厘米？3、一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的B点沿纸箱爬到D点，那么它所行的最短路线的长是4、如图，小红用一张长方形纸片 ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm,?长BC?为10cm.当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）.想一想，此时EC有多长？ ？5如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD折叠, 使C点与A点重合，则EB的长是

3、（）.A. 3B. 4C.5D. 56.已知：如图，在 ABC中，/ C=90，/ B=30，AB的垂直平分线交BC于D，垂足为E，D=4cm. 求AC的长.7、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边 AC=6，BC=8, 现将直角边AC沿直线AD折叠，使其落在斜边AB上，且 与AE重合，贝U CD的长为AEB&如图，在矩形ABCD中，AB =6,将矩形ABCD折叠，使点B与点D重合，C落在C处，若AE : BE = 12，则折 痕EF的长为。9、如图，已知：点E是正方形ABCD的BC边上的点，现将 DCE沿折痕DE向上翻折，使 DC落在对角线DB上，贝U EB : CE =.答案AB=5BC卩

4、CD10、如图，AD是厶ABC的中线，/ ADC = 45,把厶ADC沿AD对折，点C落在C的位置，若 BC= 2,贝U BC =.C题5图1，有一块直角三角形纸片，两直角边11. 如图AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合,A.2cmB.3 cmC.4 cmAC = 6cm, BC = 8cm,现将直角边 AC沿直线 则CD等于（）D.5 cm图112、有一个直角三角形纸片，两直角边 AC=6cm,BC=8cm,现将直角边ACAD折叠，使它落在斜边 AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？沿/ CAB的角平分线E13、如图，在 ABC 中，/ B=90 , AB=BC=6，把 ABC进

5、行折叠，使点 A与点D重合，BD:DC=1:2，折痕为EF, 点E在AB上，点F在AC上，求EC的长。14.已知，如图长方形 ABCD中，AB=3cm , AD=9cm，将此长方形折叠,B与点D重合，折痕为EF,UA ABE的面积为（）2 2 2 2A、6cmB、8cmC、10cm D、12cm15.如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合，已知AB = 3,-.DAD = 9,求BE的长.B16、如图，每个小方格的边长都为 1 求图中格点四边形ABCD的面积17、如图，已知：在 ABC中，乙ACB = 90，分别以此直角二角形的二边为直径画半圆，试说明 图中阴影部分的面积与直角三角形

6、的面积相等.18如图8,有一块塑料矩形模板ABCD，长为10cm,宽为4cm,将你手中足够大的直角三角板 PHF的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合），在AD上适当移动三角板顶点P: 能否使你的三角板两直角边分别通过点 B与点C?若能， 请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由. 再次移动三角板位置，使三角板顶点 P在AD上移动， 直角边PH始终通过点B,另一直角边PF与DC的延长 线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE = 2cm?若能， 请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由.图821 能.设 AP = x 米，由于 BP2= 16+x2, CP2= 16+(10 x)2，而在 R

7、t PBC 中，有 BP2+ CP2= BC2，即卩 16+x2+16+(10 x)2= 100,所以 x2 10x+16= 0,即(x 5)2= 9,所以 x 5= 3, 所以x = 8, x= 2,即AP = 8或2,能.仿照可求得AP = 4.19.如图 ABC 中/ACB = 90 : AC =12, BC = 5, AN = AC, BM = BC 则 MN= 420、直角三角形的面积为S，斜边上的中线长为d，则这个三角形周长为（ ）（A）、d2 S 2d（c） 2 d2 S 2d(B) d2-S-d(D) 2- d2 S d解:设两直角边分别为a,b，斜边为c,则c = 2d1S

8、ab22 2 2由勾股定理，得a b二c 所以(a+b+2ab+b =c +4S=4d +4S所以a b =22 S.所以abc = 2、d22d.故选(c)21.在也ABC中，AB = AC=1,BC边上有2006个不同的点P,P2,卩2006+ BR RC(i =1,2,2006 )则 口+口2十m2006 一fl22 .如图所示，在 Rt 也 ABC 中,NBAC =90： AC =AB,NDAE =45。,且 BD=3CE =4,求 DE 的长.7小B223、如图，在 ABC中，AB=AC=6 , P为BC上任意一点，请用学过的知识试求 PC2 PB+PA 的值。P24、如图在RtA

9、ABC中， C = 90 , AC =4,BC =3，在ABC的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形。如图所示：要求：在两个备用图中分别画出两种与示例图不同的拼接方法，在图中标明拼接的直角三角形的 三边长（请同学们先用铅笔画出草图，确定后再用0.5mn的黑色签字笔画出正确的图形）25. 如图，A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为 AC=1km，BD=3km， CD=3km，现在河边CD上建一水厂向A、B两村输送自来水，铺设水管的费用为20000元/千米, 请你在CD选择水厂位置O,使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用 F。RA26.已知：如图

10、， ABC中，/ C = 90 ,点O为厶ABC的三条角平分线的交点， OD丄BC,OE丄AC，OF丄AB，点D、E、F分别是垂足，且 BC = 8cm, CA = 6cm,则点O到三边AB， AC和BC的距离分别等于cmC27.（8分）如图，在 ABC中，AB=AC , P为BC上任意一点，请说明：AB2 AP2=PB3 PC。28如图，已知:2 2 2NC =90, AM =CM , MP 丄 AB 于 P.求证： BP= AP+BCA29. （本题满分6分）如图，一个牧童在小河的南 4km的A处牧马，而他正位于他的小屋 B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水， 然后回家.他

11、要完成这件事情所走的最短路小河牧童A -IIIb.程是多少?北A东B小屋30. （本题满分6分）如图所示，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家具后，高4米，宽2.8米,请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道.31. 在一棵树的10米高B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树 20米处的池塘的A处；另 一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这 棵树高多少米？32. 在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，一阵风吹来，红莲移到一边，花朵齐及水面, 已知红莲移动的水平距离为 2米，求这里的水深是多少米？33.

12、 长为4 m的梯子搭在墙上与地面成45角，作业时调整为60角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升咼了m.34. 已知：如图， ABC中，/ C = 90, D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DE丄 DF .求证：AE2+ BF2 = EF2.-CB35. 已知：如图，在正方形 ABCD中，F为DC的中点，E为CB的四等分点且CE= 4 ，求 证：AF丄FE.36. 已知 ABC中，a + b2+ c2= 10a+ 24b+ 26c 338,试判定 ABC的形状，并说明你的理由.37. 已知a、b、c是厶ABC的三边，且a2； b2c2= a4 b4，试判断三角形的形状.如图，长方体的底

13、面边长分别为 1cm和3cm，高为6cm.如果用一根细线从点 A开始经过 四个侧面缠绕一圈到达点 B,那么所用细线最短需要多长？如果从点A开始经过四个侧面缠绕n 圈到达点B，那么所用细线最短需要多长？A3cm39、a、b为任意正数，且ab,求证：边长为2ab、a2 b2、a2+b2的三角形是直角三角形40. 三角形的三边长为（a巾）2 = 2ab ,则这个三角形是（）A（A）等边三角形（B）钝角三角形（C）直角三角形（D）锐角三角形.41. （ 12分）如图，某沿海开放城市 A接到台风警报，在该市正南方向100km的B处有一台风中心，沿BC方向以20km/h的速度向D移动，已离AD=60km，

14、那么台风中心经过多长时间从 B点移到D点？如果在距台风中心30km的圆形 区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险?42. （14 分） ABC 中，BC=a，AC=b，AB=c，若/ C=90，如图（1），根据勾股定理，贝U2 2 2 2 2 a b -c，若厶ABC不是直角三角形，如图（2）和图（3），请你类比勾股定理，试猜想a b2与c的关系，并证明你的结论.解：若 ABC是锐角三角形，则有a2+b2c2若厶ABC是钝角三角形，/ C为钝角，则有a2+b20，x0 2ax0a2+b2c2 当厶ABC 是钝角三角形时,43. （10分）

15、如图，A市气象站测得台风中心在 A市正东方向300千米的B处，以10、亍 千米/ 时的速度向北偏西60的BF方向移动，距台风中心200?千米范围内是受台风影响的区域.（1）A市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；（2）如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？44、将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm,高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子 露在杯子外面的长度为hem，则h的取值范围是（）.A . h8cm C. 15cm h 16cmD. 7cm hb，求证：边长为2ab、a b、a +b的三角形是直角三角形间从B点移到D点？如果在距台风中心30km的圆形区域内

16、都将有受到台风的破坏的危险， 正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？42. （ 14 分） ABC 中，BC=a , AC=b , AB=c，若/ C=90 ,如图（1）,根据勾股定理，则2 2 2 2 2a b二c ,若厶ABC不是直角三角形，如图（2）和图（3），请你类比勾股定理，试猜想a b与c2的关系，并证明你的结论.解：若 ABC是锐角三角形，则有a2+b2c2若厶ABC是钝角三角形，/ C为钝角，则有a2+b20, x0 2ax0a2+b2c2 当厶ABC是钝角三角形时,43. （10分）如图，A市气象站测得台风中心在 A市正东方向300千米的B处，以107

17、千米/ 时的速度向北偏西60的BF方向移动，距台风中心200?千米范围内是受台风影响的区域.（1）A市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；（2）如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？44、将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm,高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子 露在杯子外面的长度为hem,则h的取值范围是（）.A . h8cm C. 15cm h 16cmD. 7cm h 16cm 45如图，已知刖，二J于P.求证：卩-一 F 虫思路点拨：图中已有两个直角三角形，但是还没有以BP为边的直角三角形.因此，我们考虑 构造一个以BP为一边的直角三角形.所以连结B

18、M.这样，实际上就得到了 4个直角三角形.那 么根据勾股定理，可证明这几条线段的平方之间的关系 .解析：连结BM，根据勾股定理,.在：中，而在中，则根据勾股定理有又（已知），.在亠匸:中，根据勾股定理有二：d-二 .，AB=4，CD=2。求：四边形 ABCD46【变式2】已知：如图，/ B= / D=90，Z A=60 的面积。分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结 长AD、BC交于点E,根据本题给定的角应选后两种，进- 单。解析：延长AD、BC交于E。vZ A= / 60,/ B=90，aZ E=30。 AE=2AB=8 , CE=2CD=4, BE2=AE2-AB 2=82-42

19、=48, BE=0_v DE2= CE2-CD2=42-22=12,a DE=_ 1S四边形ABCD =S ABE-S cde = 2 AB2BE- 2 CD2DE=AC,或延长AB、DC交于F,或延根据本题给定的边选第三种较为简47【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门？关rr- ri2 米*【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH 如图所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CDAB, 解：OC = 1米（大门宽度一半）,=0.8米 （卡车宽度一半）Rt OCD中，由勾股定

20、理得：二一T.6米，H=0 .6 + 2 .3 = 2 .9（米）2 . 5（米）.此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门.与地面交于H .2XTOD在CDC因48、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且Z QPN= 30,点A处有一所中学，AP= 160m。 假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路 MN上沿PN方向行 驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？思路点拨：(1)要判断拖拉机的噪音是否影响学校 A ,实质上是看A到公路的距离是否小于 100m,小于100m则受影响，大于

21、100m则不受影响，故作垂线段 AB并计算其长度。(2)要求 出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校 A的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行 至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。解析：作AB丄MN，垂足为B。在 Rt ABP 中，/ ABP = 90,/ APB = 30, AP = 160， AB = AP= 80。(在直角三角形中，30所对的直角边等于斜边的一半)点A到直线MN的距离小于100m,.这所中学会受到噪声的影响。如图，假设拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响，那么AC = 100(m),由勾股定理得：BC2= 1002-802= 360

22、0,. BC = 60。同理，拖拉机行驶到点 D处学校开始脱离影响，那么，AD = 100(m)，BD = 60(m), CD = 120(m)o拖拉机行驶的速度为 ：18km/h= 5m/st = 120m 宁 5m/s= 24s。答：拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为 24秒。(一)转化的思想方法我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直 角三角形问题来解决.49、如图所示， ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、 AC边上的点，且 DE丄DF，若BE=12，CF=5.求

23、线段EF的长。路点拨：现已知BE、CF，要求EF，但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化, 根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接AD .解：连接AD .因为/ BAC=90 ，AB=AC . 又因为AD ABC的中线，所以 AD=DC=DB . AD 丄 BC .且/ BAD= / C=45.因为/ EDA+ / ADF=90 . 又因为/ CDF+ / ADF=90 .所以/ EDA= / CDF. 所以 AED CFD (ASA). 所以 AE=FC=5.同理：AF=BE=12 .在RtAAEF中，根据勾股定理得：于 - -：.： -U ,所以 EF=13

24、。总结升华：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。通过此题，我们可以了解:当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。50如图，在等腰厶ABC中，/ ACB=90 , D、E为斜边AB上的点，且/ DCE=45。求证：de 2 255. 若厶ABC三边a b、c满足a + b + c + 338=10a+24b+26c ABC是直角三角形吗？为什=ad2+be2。AABDCC BDACB D分析：利用全等三角形的旋转变换，进行边角的全等变换，将边转移到一个三角形中，并构造 直角三角形。51 如图，在 A BC 中，AB=13,BC=14

25、,A C=15，则 BC 边上的高 A D=。A仁B D答案12。52如图，长方形ABCD中，AB=8，BC=4,将长方形沿AC折叠，点D落在点E处，则重叠部 分厶AFC的面积是。设 EF=x，那么 AF=CF=8-x，AEa2+EFa2=AFa2, 所以 4A2+xA2=(8-xF2,解得 x=3，S=4*8/2-3*4/2=10答案：1053在厶ABC中，AB=15 ,AC=20,BC边上的高A D=12，试求BC边的长.答案25或754在厶A BC中，D是BC所在直线上一点，若 AB=IO,BD=6,AD=8,AC=17，求 ABC的面积。 答案84或36么？256. 在厶ABC中，BC=1997, AC=1998, AB =1997+1998,