(完整word版)中国海洋大学高等代数2007B卷.doc

1、*线 *订 *装 *中国海洋大学命题专用纸（首页）2006 学年第 2学期试题名称 ： 高等代数 II共2 页第 1页专业年级学号姓名授课教师分数题号一二三四五六七八总分分数一. 判断题 (每题 2分，共 10 分 ).1. 两个线性子空间的并仍是线性子空间。()2.两个子空间的和的维数等于两个子空间的维数的和.()3.特征向量的和仍是特征向量 .()4.属于不同特征值的特征向量是线性无关的.()5.正交矩阵的伴随矩阵仍为正交矩阵.()1111二（20分）已知 A= 1111 , 求一正交矩阵 T 使 T AT 成对角形 .111111110002三(10分) A 为4阶复数矩阵 . EA 与

2、 0021等价 .02102100求 A 的若当标准形 .四(10 分 ) 证明：实对称阵为正定阵的充要条件为特征值全大于零。.五(10 分 )A 为 n 级矩阵 . g( x) 是矩阵 A 的最小多项式， f (x) 是矩阵 A 的特征多项式。证明： g(x) | f ( x) .六(15 分 ) 设 V 是复数域上的n 维线性空间，A,B 是 V上的线性变换， 且 AB BA .证明 :1） 如果是 A 的一特征值 ,那么 V是 B 的不变子空间。2） A, B 至少有一个公共的特征向量。授课陈文轶命题教师或命陈文轶院系负责教师题负责人签字人签字月日年中国海洋大学命题专用纸（附页A）200

3、6 学年第 2学期试题名称：高等代数II共 2 页第 2页七 (15分 ) 设 ( a1 ,a2 ,L ,an ) ,( b1 ,b2 ,L ,bn ) , 且 a1b1 0,0 . 设A .求（ 1） A2 . （ 2） A 的特征值和特征向量 .八 (10分 ). 设 A 是 n 维线性空间 V 上的线性变换，且A 2=E （单位变换） .证明：（ 1） A 的特征值为 1. (2)VV1 V1.2006 2007 学年第 2 学期高等代数 II 答案 （ 2007.7）A 卷一判断题。1.错2.错3.错4.对5.对所以因为二解： EA |3 (4).所以特征值为0， 4（3重）。将特征值

4、代入求解线性方程组(EA) x0 ,得 4 个线性无关的特征向量（答案可以不唯一），再正交单位化，得 4个单位正交向量：1 (1,1,1,1) ,2 (-1 ,1 ,0,0) ,2222223 (-1 ,1 ,2 ,0) ,4 (-3 ,3 ,3 ,3).66666621113226611134所以正交阵 T2266而TAT0.102302660100322三 .解 : A 的行列式因子为D 4 ()(2) 4,D3 ()D2 ()D1( ) 1.所以不变因子为d4 ()(2)4,d3 ()d2 ()d1()12初等因子为 (2)4 ，因而 A 的 Jordan 标准形为 J122.112四证

5、：设二次型x Ax经过正交线性替换x Ty化为 x Ax1 y122 y22Ln yn2,i 是 A 的特征值。所以 A正定1 y122 y22L五证： f ( A)0,g( A)0设 f ( x) g (x)q(x) r ( x) ,0 f ( A) g( A)q( A) g (x) 为最小多项式，所以n yn2 正定i0(i1,2,L , n) 。（证法不惟一）r (x)0 或(r (x)( g( x) .r ( A) , 因而 r ( A)0 。r (x)0 .g(x) | f ( x) .六证： 1）设V,即A. 从而A(B ) ( AB)(BA)B(A) B( )(B).B V ,

6、故V 是 B的不变子空间。2）由于 V是 B 的不变子空间，记B V B0 ，在复数域上，B0 必有特征值，并存在非零向量V,使B0，故 BB0.又 A，所以是 A 与 B 的公共特征向量。七解：（ 1） A2()( )( ) O(2) 设 Axx ， A2 x2x, A2O ,2 x0, x0，20,0 .所以 A 的特征值全为 0.a1b1a1b2La1bnb1b2Lbn00L00EAALLLLLLL.an b1an b2LanbnL00L0故(EA) x 0的基础解系为1(b2 , b1 ,0, L,0),2(b3 ,0, b1,L ,0),n1(bn ,0, L,0, b1) .所以 A 的特征值0 的特征向量为k11Lkn 1n 1 ， ki 不全为 0.八证： 1）设 A， A22E,21, 1 .(2)V , 有1(E A)()1 ( EA)()12 ,1 (E A)(21 ( E21) ,2A)() .22Q A 11 (A A2)(