《线性代数》郝志峰习题详解

1、习题一1、（1）102D102112501220322211350021.235（2）abcD2bcaabcba ccb accc aaabb b3abca 3b 3c3 .cab2、（ 1）排列的逆序数为0023 5.（ 2）排列的逆序数为012Ln2nn n 112.3、含有因子 a11 a23 的项a11a23 a32 a44 （纵标为1324，逆序数为00 10 1 ），a11 a23 a34 a42（纵标为 1342，逆序数为 00022 ） .4、经第一行与第四行交换行列式为负号，经转置行列式不变，经用2 乘所有元素为25 ，经用 1 乘第 2列加到第5 列为行列式不变，经这些处置

2、后行列式为32D.5、 a31 的代数余子式为0， a11 的代数余子式为11326 .10 3316、D127、（ 1） D14312532133307344103043 .111111248.xx000x00r1r2 1 1 x 11c1c2 x 1 x 1 0（ 2）r4 00yyc4c3 00y 0D2 r31111y011y2 1x10按第一列展开x2 y0按第一行展开 x10y0x2 y2 .01y1y10L0按第 行展开n 102L0n 18、（ 1） D1nn11n ! .M MM00Ln1 n 1n 1ab0L0b0L00(2)按第1列展开a1 10abL0bn 1abL00

3、D11M M MM1M MM M0 0 0 L a n 1 n 10 0 L a b n 1 n 1an1n 1nb .r2r1111L11022L22r3r1（3） D30 0 2L2 2 2n 1 .L LM MMM Mrnr1000L02a0L000a0L0按第一行展开0aL0000aL0(4)a11MMMM1n 1MMD41M M00La0000La0 0 L 0 a n 1 n 11 0 0 L 0 n 1 n 1第二个行列式按第一列展开a an 1n 11n 1 1n 2nn 2n2211aa1 aaa 1 .a2a22a 1 a 24a 4 a 26a 99、（ 1）左边 =b2

4、b22b 1 b24b 4 b 26b 9对第 i列分开三项（ i=2,3,4）,再利用c2c22c1c24c4c26c 9d 2d 22d 1 d 24d 4 d 26d 9其中两列元素相同、成比例，则行列式为0，其结果为0，等于右边 .1111（2） 左边第一行、第二行对调abcd右边 .a 2b2c2d 2a3b3c3d 3（3）用递推法去证 .从第二行起 ri 1xri 1,2,L,n1 得：a010L0a0 xa101L0DnMMMMa0 xn 2a1 xn 3Lan 20 0L1a0 xn 1a1 xn 2L an 2 x an 10 0 L010L0按 rn展开n 1n 2Lan

5、 2 x an 1g -1n 1 01 L0a0 xa1 xMMM00L1n 11n 1a0 xn 1a1 xn 2Lan 2 x an 1a0 xn 1a1xn 2Lan 2 x an 1.110、（ 1）用数学归纳法去证 .当 n2时， D2a b aba bab a 2ab b2a3b3，21abababab0L001ababL00a kbka k 1b k 1 ,当 nk 1 时， Dk 101a bL00, Dk 2MMMMMaba b000L1ab当 nk 时， DkabDk1abDk2abakb kab a k 1b k1ak 1bk 1，ababab由数学归纳法可知，对任何正整

6、数n ，有 Dnan1bn1ab.（ 2）用数学归纳法去证 .当 n2时， D211x2x1 ，x1x2当 nk 1 时， Dk 1xix j .1 ji k1111L1k 时， Dk ri0x2x1x3x1Lxkx1当 nxri 1 0x2 x2x1x3 x3x1Lxk xkx1MMMM0 x2k 2 x2x1x3k 2 x3x1Lxkk 2 xkx111L1x2x3Lxkx2x1x3x1 L xkx1x22x32Lxk2x2x1x3x1 Lxk x1xi x jMMM2j i kx1k 2x2k 2Lxkk 2xixj .1j i k由数学归纳法可知，对任何正整数n，有等式成立 .5600

7、01560056560606011、 D50156012120 5 6011550 5 600056015615000015516012130561951903011918055701235 .110615012、（ 1）按第 1 行至第 n 行、第 1 列至第 n 列展开得证 .（ 2）解一，按第n 行、第 n+1 行展开，得ababONONa2b2a b22 2a bLa2b2 nb aabb aNONOba 2n 2 2 n 2ba 2 n 4 2n 4abON解二，按最简一行、最后一行展开得a 2b2abLa 2b2nba.NOba11113、 Dabcbccaabc2c1c3c110

8、011ab a按第 1行展开c aa b c aa b b c c a .bcc a bb a ccba b c1 1 ca b c c001D1 a 2b 2c223a 2b2c2bcc2c3a b c cb cc3abccaab3abcab c aba c bab按第 1行展开bca 2b2ab c12abcab ababca 3ab2a 2cabc2abca2 bab2bca 2caabacbcca a aba abbcca .1abc1c1c3001D2 a a 2b 2c2ca ca 2b 2c2c a b ccabc c3bc3abcc2b ca3abcaba b cabab按第

9、1行展开ca1a 2b2c abb2abab abca2abca2 b ab2a 2bb3abcb2 cc a b ac ab bc b2b c a a b c b c bb cabcab .11abcc2c1100D3 a b a 2b2c2ab aa 2b2c2a a b cabbcca3abcc3c c1c ab3abcbca b cbc按第 1行展开ab1b 2c2abacc2abc b2 cbc2ab c1b2c2abac12abb2bcab c2abb2bcb2c2abacc abb cac cac abcabc .故 x1D1a, x2D2b, x3D3c.DDDabc1(1)1

10、4、设 f xax 2bx c ，则 abc9(2) , (1) (2) 得 2b10,b5 ，4a2bc3 (3)这时，ac4(4), (5) (4) 得 3a3,a 1，故 c3 ，即 f x x25 x 3 .4ac7(5)120按第三行展开15、D2401-1- 4- -4 =1-2-5=1-5-,111当1 =0， 2 =1， 3 =5 时， Ax0 有非零解 .习题二1、（ 1） A+B-323+-2 01=-52 4 ，312-132244A-B-323-201=-1223 1 2-132，4-203A-2B 3-323-2-201=-56 7 ；3 1 2-13211-3 2（

11、2）Z B A=1 -2-2 ；-4203B,Y = 31-156121536（3） 2Y3 AAB2.22612123662、 A3B2C=0,即：x 03u v232x 3u 6 0 3v 4x 3u 6 3v 40 0左边 =83x y0 24 2x y 9 2 y24 2 x 9 y0 00 y，这时， x12, y9,u6,v4 。3123473250961503、（ 1） AB312582947 ；（2） 3AB87141 .23169294787141105124、 AB3,2220310102132010105122062626.ABC31020223242400303030a

12、11a12a13x1a11 x1a12 x2a13 x3x15、 ABC x1x2x3a12a22a23x2a12 x1a22 x2a23 x3x2a13a23a33x3a13 x1a23 x2a33 x3x3a11 x1a12 x2a13 x3 x1a12 x1a22 x2 a23x3 x2a13 x1a23 x2a33x3 x32222a12 x1 x22a13x1 x32a23 x2 x3 .a11 x1a22 x2a33 x31233206116、从变量 x1、x2、 x3 到变量 z1、 z2 、z3 的线性变换为101011231 .031111144510204116055615

13、10144517、各工厂的总收入和总利润为524208152.4.51.5568126119418、设Za11a12， 由AZ B得12a11a1243， 即a21a2221a21a2283a112a21a122a2243， 利 用a112a214a210,a114，利用2a11a212a12a22832a11a218a122 a223a121,a223，这时 Z412a12a2230.39、设Ba11a1201a11a12a11a1201， 即a21a22，由AB BA得0a21a22a21a22000a21a220a11，故 a210,a11 a22 ，这时 Bab，其中 a,b 为常数

14、.000a210a10、（1） A B A B A2BA ABB2,故 AB BA;（2）AB2A2AB BA B2A22AB B2 ，故 AB BA .12378954311、2A B 20 4 50 1011021 ，006001100112378972864AB0450101104099 .0060011006612、（ 1）根据对称矩阵的性质：AATTATATTATA ，根据反对称矩阵的性质：A ATTATATTA AT；（ 2）根据可逆对称矩阵的性质：A 1 TAT1A 1 .13、（ 1）根据对称矩阵、反对称矩阵的性质：AB BATABTTBT ATATBTB AAB AB BA；

15、BA（ 2）先证必要性，若AB 是反对称矩阵，则ABBA ； AB 为反对称矩阵，A 为反对称矩阵， B 为对称矩阵，则ABTBT ATBABAAB ，即 A,B可交换 .再证充分性，若ABBA ，则 AB 为反对称矩阵。设A 为反对称矩阵，B 为对称矩阵，则TBABAAB ，即 AB 为反对称矩阵 .ABBT AT14、 MTNMTTMTNM .MTNT MT12T10T1473002473015、（ 1）TT4 5 630102 5 80 3 0228；A 3B78900236900636310T12T100147147T030 1 04 5 6010258258.（2） ABBT AT0

16、027890023696121811111111131116、 A111，则 A2AA1 111 111 31。11111111111317、用数学归纳法去证。当n2时， A2AA10101 0.1121当 n k1 时， Ak 110成立 .k11则 nk 时， AkAk 1 A101 010，k111k1故 n 为正整数时， An10n.118、用归纳法去证 .当n3时，100100100100100100A3AAA 101101101110101201010010010101010010100100100101110010A A2E ；010101001当 nk1 时， Ak 1Ak 2

17、A2E ，等式成立；则当 nk 时， AkAk 1 AAk 2A E A Ak 1A3AAk 1A A2E A Ak 1A2E ；故 n 为正整数时，AnAn1A2E成立 .而 A100A98A2EA962 A2ELA249 A2E50 A249E10010010050 110490105010.101001500119、因 ABAB，而 AB0，故 A0, B0，则 A,B均可逆 .20、因 AATA ATA A221，故 A1 .A，而A21、设A 1a11a12，则a21a22AA 139a11a123a119a213a129a22E1025a21a222a115a212a125a220

18、，1由3a119a211a5 , a2；由3a129a220a3,a1；2a115a2101132132a125a2211222即 A1a11a12159.a21a2232322、 A39，则 A1A*3915 18 3， A*592， 而 A252， 故5A3A1159.32323、（ 1） AA1052， A283112123，其中 A12 1，而 A1, A2，0 A25 22 55 811200故 A 1A102500；0A 1002320058a1a 10A11（2） A，其中 A1O, A2an ，而 A 1O, A1a 1 ，故A2012nan 1a 1n 100 0L0an1A101A2 1a1 10 0L00.A10MM MMM00 0Lan11024123100A E 221010343001r22 r1r33 r1、123100123100025210r2025210026301026301r1 r 2r3r2102100025210001111r22r3102