数列解题技巧

1、精品文档第四讲数列与探索性新题型的解题技巧【命题趋向】从 2007 年高考题可见数列题命题有如下趋势：1. 等差（比）数列的基本知识是必考内容，这类问题既有选择题、填空题，也有解答题；难度易、中、难三类皆有 .2. 数列中 an 与 Sn 之间的互化关系也是高考的一个热点.3. 函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到，解答试题时要注意灵活应用 .4. 解答题的难度有逐年增大的趋势, 还有一些新颖题型 , 如与导数和极限相结合等 .因此复习中应注意：1.数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决. 如通项公式、前n 项和公式等 .2.运用方程的思想解等差（

2、比）数列，是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量a1、d（或 q），掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入 ”来简化运算 .3.分类讨论的思想在本章尤为突出. 学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意=1 和1 两种情况qq等等 .4.等价转化是数学复习中常常运用的，数列也不例外. 如 a与 S 的转化；将一些数列转化成等差（比）数nn列来解决等 . 复习时，要及时总结归纳 .5.深刻理解等差（比）数列的定义，能正确使用定义和等差（比）数列的性质是学好本章的关键.6. 解题要善于总结基本数学方法 . 如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法，

3、养成良好的学习习惯，定能达到事半功倍的效果.7数列应用题将是命题的热点，这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的应用.【考点透视】1理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项.2理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能运用公式解答简单的问题.3理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，并能运用公式解决简单的问题.4数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位. 高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏. 解答题多为中等以上难度的试题，

4、突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题大多有较好的区分度. 有关数列的试题经常是综合题，经常把数1欢迎。下载精品文档列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。 探索性问题是高考的热点， 常在数列解答题中出现。 本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法 . 应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转化为数学问题来解决 .【例题解析】考点 1正确理解和运用数列的概念与通项公式理解数列的概念 , 正确应

5、用数列的定义，能够根据数列的前几项写出数列的通项公式.典型例题例 1（ 2006 年广东卷）在德国不来梅举行的第48 届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1 堆只有1 层，就一个球；第 2，3， 4， 堆最底层（第一层）分别按图 4 所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第 n 层就放一个乒乓球，以f (n) 表示第 n 堆的乒乓球总数，则f 3 _；f (n) _（答案用 n 表示） .思路启迪：从图中观察各堆最低层的兵乓球数分别是12,3,4, 推测出第 n 层的球数。解答过程：显然f 310.第 n 堆最低层（第

6、一层）的乒乓球数，ana1a2 Lann n1，第 n 堆的乒乓球数总数相当于n 堆乒乓2球的低层数之和，即f n a1 a2L12221 n n1an(12Ln )22.2n n 1 n 2所以： f (n)6例 2 （ 2007 年湖南卷理） 将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的 0-1 三角数表从上往下数，第1 次全行的数都为1 的是第1 行，第2 次全行的数都为1 的是第 3 行， ，第 n 次全行的数都为 1 的是第行；第 61 行中 1 的个数是第 1 行11第2行10 1第3行 1111 第4行 10001 第5行1100112欢迎。下载精品文档 思路启迪：计算图

7、形中相应1 的数量的特征，然后寻找它们之间的规律。解：第 1 次全行的数都为1 的是第 2 1=1 行，第 2 次全行的数都为1 的是第 221=3 行，第 3 次全行的数都为 1 的是第 231=7 行，第 n 次全行的数都为1 的是第 2n1行；第 61 行中 1 的个数是 251=32应填 2n1， 32考点 2数列的递推关系式的理解与应用在解答给出的递推关系式的数列问题时，要对其关系式进行适当的变形，转化为常见的类型进行解题。如“逐差法”若 anan 1n, 且 a11；我们可把各个差列出来进行求和，可得到数列an 的通项 .ananan 1an 1an 2 La2a1 a1n n1n

8、 n 1 L 2 1.2再看“逐商法”即an 1n1 且 a11，可把各个商列出来求积。ananangan1gL ga2 ga1n n 1n2 L 2g1n!an 1an2a1另外可以变形转化为等差数列与等比数列，利用等差数列与等比数列的性质解决问题。例 3（ 2007 年北京 卷理）数列 an中， a12 ，an 1 ancn （ c 是常数， n1，2，3，L ），且 a1， a2， a3 成公比不为 1的等比数列（ I ）求 c 的值；（ II）求 an的通项公式思路启迪：（1）由 a1， a2， a3 成公比不为1的等比数列列方程求 c ；（ 2）可根据递推公式写出数列的前几项，然后分

9、析每一项与该项的序号之间的关系，归纳概括出an 与 n之间的一般规律，从而作出猜想，写出满足前4 项的该数列的一个通项公式 .解：（ I） a2 ， a2c ， a323c ，12因为 a1， a2， a3 成等比数列，所以(2c)22(23c)，解得 c 0 或 c 2 当 c0 时， a1a2 a3 ，不符合题意舍去，故c2（ II ）当 n 2 时，由于a2a1c ， a3a22c ， L L ， anan 1(n 1)c ，所以ana1 12 L(n1)cn(n1)c2又 a12 ， c2 ，故 an2 n (n 1) n 2n2( n 2，3，L ) 3欢迎。下载精品文档当 n1 时

10、，上式也成立，所以 ann 2n2( n1，2，L ) 小结：从特殊的事例，通过分析、归纳、抽象总结出一般规律，再进行科学地证明，这是创新意识的具体体现，这种探索问题的方法，在解数列的有关问题中经常用到，应引起足够的重视.例 4（ 2006 年广东卷）已知数列xn满足x2x1 ，1xn 2，3,4, 若lim xn2，则 (B)xnxn 1n22n（） 3（）（）（）2思路启迪：对递推关系变形，运用叠加法求得，特别注意的是对两边同时运用.解答过程：2x nx n 1x n 1 ，x nx n 1x n 2xn .x3x2x1x3x4x3x2x 4L L Lxn 1x n2x n 3xnxn 1

11、x n 2相叠加 x nx 2x 1x 2x nxn 1 .x n 1x nQ x2x1 ，2x nx n 12x 1 .2lim2xnx n 1lim 2x1 ， limxn2，2x 16， x1 3.nnn解答过程2：由 x1xn 1xn2得：n2x n + 1 x n 1xn 11 x n 2Lx 21 x1x1 ，222limx n1 x n 1x1，因为 lim x n 2 .n2n所以： x 13 .解答过程3：由 xn1xn1xn2得：212n 2n 1x nx n 1x n 1x n1x n 3L1x2x11，22x n22x12223n 1从而 x3x21x1； x 4x 3

12、1x1； ； x nx n11x1.222231n1叠加得： x nx2 x111L.22211n2n2x nx 2x 11， lim x nlimx 2x1111.62nn622x11 x1， 从而 x13 .264欢迎。下载精品文档小结：数列递推关系是近几年高高数学的热点，主要是一些能转化为等差等比数列的递推关系式。对连续两项递推 ankan-1dn2,k1 ，可转化为andkad；对连续三项递推的关系an 1kandan-1n21 kn 11k如果方程 x 2kxd=0 有两个根、 ，则上递推关系式可化为an 1ananan 1 或 an 1ana nan 1 .考点 3数列的通项 an

13、 与前 n 项和 Sn 之间的关系与应用an 与 Sn 的关系： anS1Sn 1n=1 ，数列前 n 项和 Sn 和通项 an 是数列中两个重要的量，在运用它们的关Snn 2系式 anSSn 1时，一定要注意条件n 2 ，求通项时一定要验证a是否适合。解决含 an与 S的式子问题n1n时，通常转化为只含an 或者转化为只 Sn 的式子 .例 5（ 2006 年辽宁卷）在等比数列中 , a12 , 前 n 项和为 S , 若数列an1也是等比数列 , 则 S 等于annn（）(A) 2n 12(B)3n(C)2n(D)3n1命题目的：本题考查了等比数列的定义和求和公式，着重考查了运算能力。过程

14、指引 因数列 an为等比，则an2qn 1 ，因数列 an1也是等比数列，则(an 11)2(an1)(an 21) an 122an 1an an 2an an 2anan 2 2an 1an (1 q22q) 0q1即 an2 ，所以 Sn2n ，故选择答案 C.例 6.已知在正项数列 a n 中， S n 表示前 n 项和且 2San1 ，求 a n.n思路启迪：转化为只含an 或者只含 Sn 的递推关系式 .解答过程1：由已知 2Snan1 ，得当 n=1 时， a1=1；当 n 2 时，a n= S n S n 1，代入已知有 2SnSnSn 11 ， Sn 1Sn2Sn 1 .20

15、,SS.Sn 1Sn1，又 ann 1，故Sn 1nSn 1SnSn11，Sn是以 1 为首项， 1 为公差的等差数列，Snn 故 an2n1.解答过程2：由已知 2Snan1 ，得当 n=1 时， a1=1；当 n 2 时5欢迎。下载精品文档因为 San1 2，所以 anan 1 2an 1 1 2.n2224a nan22a nan212a n 1 ， a n22a nan212a n 10anan 1anan12 0 ，因为 an0 ，所以 anan 12，所以 an 2n1 .考点 4.数列中与 n 有关的等式的理解与应用对数列中的含n 的式子，注意可以把式子中的n 换为 n1 得到另

16、外的式子。 也可以把 n 取自然数中的具体的数 1， 2， 3 等，得到一些等式归纳证明 .例 7 （ 2006年福建卷）已知数列an满足 a11,an 12an 1 (n N )（）求数列an 的通项公式；（）若数列bn满足 4b1 1 4b2 14b3 1 L 4b n 1a 1bn(n N*), 证明 :是等差数列 ;nbn思路启迪：本小题主要考查数列基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。把递推关系式变形转化解答过程：（ I）解：Q an 12an1( n N * ),an1 12( an1),an1是以 a112 为首项， 2 为公比的等比数列。an1 2n.即an221

17、( n N * ).（ II）证法一：b 1b1b1b 1bn，4 14 24 3L4 nan 14 (b 1 b 2. b n )n2 n b n .2( b1b2.bn )nnbn ,2(b1b2.bnbn1) (n 1)(n1)bn1.，得 2( bn 11)( n1)bn 1 nbn ,即 (n 1)bn 1nbn2 0,nbn 2 ( n 1)bn 12 0.，得nbn 22nbn 1nbn0,6欢迎。下载精品文档即bn 2 2bn 1 bn 0,bn 2 bn 1 bn 1 bn (n N *),故 bn是等差数列 .考点 5等差、等比数列的概念与性质的理解与应用在等差、等比数列中

18、，已知五个元素a1,a n ,n,d 或 q ， Sn 中的任意三个，运用方程的思想，便可求出其余两个，即“知三求二”。本着化多为少的原则，解题时需抓住首项a1 和公差（或公比 q ）。另外注意等差、等比数列的性质的运用. 例如（ 1）等差数列an中，若 mnpq ，则 amanapaq ；等比数列an中，若 m np q ，则aman ap aq .（ 2）等差数列a中，Sn ,S2nSn ,S3nS2n ,L SknSk n 1 ,L成等差数列。其中S是等差数列的前n 项和；等nn比数列 a 中（ q1 ），Sn ,S2nSn ,S3n S2n ,L Skn Sk n 1 ,L成等比数列。

19、其中Sn 是等比数列的前 n 项和；n（ 3）在等差数列an中，项数 n成等差的项 an 也称等差数列 .（ 4）在等差数列an中， S2n12n1 an ； S 2nn a na n 1.在复习时，要注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式. 注意方程思想、整体思想、分类讨论思想、数形结合思想的运用.典型例题例 8（ 2006 年江西卷） 已知等差数列n，若uuuruuuruuur，且 A、 B、 C 三点共线an的前 n 项和为 Sa200 OCOB a1OA（该直线不过原点200）O），则 S （A 100B. 101C.200D.201命题目的：考查向量性质、等差数列的性质与前

20、n 项和。过程指引 ：依题意， a1a2001，故选 A例 9 （ 2007 年安徽卷文、理）某国采用养老储备金制度，公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加（0）, 因此，历年所交纳的储备金数目a1,2,是一个公差为d的等差数列 . 与此dda同时，国家给予优惠的计息政府， 不仅采用固定利率， 而且计算复利 .这就是说，如果固定年利率为r（ r 0）,那么 , 在第 n 年末，第一年所交纳的储备金就变为n1a2（1+r ）a1（ 1+r ），第二年所交纳的储备金就变成n 2n， .以 T 表示到第 n 年末所累计的储备金总额 .（）写出Tn 与 Tn

21、1（ n 2）的递推关系式；7欢迎。下载精品文档（）求证n= n+Bn，其中 n 是一个等比数列， n 是一个等差数列 .T AAB命题目的：本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生阅读资料、提取信息、建立数字模型的能力，考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力.解：（ I ）我们有 T nT n1 (1 r ) an (n2).（II ） T1a1 ,对 n2 反复使用上述关系式，得Tn Tn 1 (1 r ) anT n 2 (1 r ) 2a n 1 (1 r ) ana1 (1 r ) n 1a 2 (1 r ) n 2an 1(1 r ) an ,在式两端同乘1

22、+r ，得(1 r )Tna (1 r )na2(1 r ) n 1an 1(1 r )2an(1 r ).1，得rTn a1 (1r ) nd(1r) n 1(1r ) n2(1 r )and (1r ) n1r a1 (1r )nan ,r即 Tna1rdr )nda1rdr2(1rnr2.如果记 Ana1rdr )na1 rddr2(1, Bnr2n,r则Tn An Bn ,其中 | An | 是以 a1 rd (1 r)为首项 ,以1 r ( r0)为公比的等比数列 ;r 2| Bn |是以a1r dd 首项 ,d 为公差的等差数列 .r 2rr2解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的

23、结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用考点 6 等差、等比数列前n 项和的理解与应用等差、等比数列的前n 项和公式要深刻理解，等差数列的前n 项和公式是关于n 的二次函数 . 等比数列的前 n 项和公式 Sa1 1 q na1a1q n （ q1 ），因此可以改写为Sn aqnb (a b0) 是关于 n 的指数n1q1 q1 q函数，当 q 1 时， Snna1 .例 10 （ 2007 年广东卷 理）已知数列n29 ,第k项满足 5 k8, 则k= an 的前 n 项和 S =nnaA 9B 8C 7D 6思路启迪：本小题主要考查数列通项和等差数列等基本知识，考查逻辑思维

24、能力、分析问题和解决问题的能力解：此数列为等差数列，anSnSn 12n10 ，由 52k-108 得到 k=88欢迎。下载精品文档例 11 （ 2007 年湖北卷 文）（本小题满分13 分）已知数列 n 和 bn 满足 :a11, a22,an 0,bnan an 1 (n N*)且 n 是以q为公比的等比数列 .ab（）证明：an 2a n q 2 ；（）若 cna2 n 12a2n , 证明数列 cn 是等比数列；（）求和：111111 .a1a 2a3a 4a2n 1a 2n命题目的：本小题主要考查等比数列的定义，通项公式和求和公式等基本知识及基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力

25、解法 1：（ I ）证：由 bnq ，有an1an2an 2q ， an 22(nN*)1an an 1anan qbn（ II）证： Q anqn2q 2 ，a2 n 1a2 n 3 q2L a1q2 n 2 ， a2na2n 2 q2La2q n 2 ，cna2n 12a 2na1q 2n 22a2 q2 n 2(a1 2a2 )q 2n 25q2 n 2 cn是首项为5，以 q2为公比的等比数列（ III）由（ II ）得11q2 2 n，2 n2q2 2n，于是11a2 n 1a1aa11L111L111L1a1a2a2na1a3a2n 1a2a4a2 n1111L11111L1311

26、L1a1242n 2a2242 n 221q1qqqqqqq2q2n 2当 q1时，1 1L13 111L13 n a1a2a2n2q2q4q2n 22当 q1时，1 1L1 311 1L13 1 qa1 a2a2 n2q2q4q2 n 22 1 q3，q，故 111n1L2a1a2a2 nq2 n1， q1.q2 n 2 (q21)2n3q2n 122 q2 n 2 (q21)解法 2：（ I ）同解法1（I ）（ II）证：cn 1a2 n 12a2 n 2q 2a2n12q 2a2nq2 (n N * ) ，又 c1 a12a2 5 ，cna2n 12a2 na2n12a2ncn是首项为

27、5，以 q2 为公比的等比数列（ III）由（ II ）的类似方法得 a2n 1 a2n ( a1 a 2) q2 n 23q 2n 2 ，9。欢迎下载精品文档11La1a2Q a2 k 1a2ka2k1a2 k11La1a21 a1 a2a3 a4a2n 1 a2n，a2na1a2a3a4La2 n 1a2 n3q2k232k2 ， k12，L ，n 2q4k4q213q 2L q2 n 2 ) 下同解法1a2 k(12考点 7数列与函数的迭代问题由函数迭代的数列问题是进几年高考综合解答题的热点题目，此类问题将函数与数列知识综合起来，考察函数的性质以及函数问题的研究方法在数列中的应用，涉及的知识点由函数性质、不等式、数列、导数、解析几何的曲线等，另外函数迭代又有极为深刻的理论背景和实际背景，它与当前国际数学主流之一的动力系统（拓扑动力系统、微分动力系统）密切相关，数学家们极为推崇，函数迭代一直出现在各类是数学竞赛试题中，近几年又频频出现在高考数学试题中.例 12（ 2006 年山东卷） 已知数列an 中， a11在直线 y=x 上，其