五年级奥数行程接送问题教师版行程接送问题教师版

1、教师版标准化管理处编码BBX968T-XBB8968-NNJ668-MM9N知识框架一、校车问题一行走过程描述队伍多，校车少，校车来回接送，队伍不断步行和坐车，最终同时到达目的地，即 到达口的地的最短时间，不要求证明。二、常见接送问题类型根据校车速度(来回不同)、班级速度(不同班不同速)、班数是否变化分类为四种 常见题型：(1) 车速不变-班速不变-班数2个(最常见)(2) 车速不变-班速不变-班数多个(3) 车速不变-班速变-班数2个(4) 车速变-班速不变-班数2个三、标准解法：画图+列3个式子1、总时间二一个队伍坐车的时间+这个队伍步行的时间;2、班车走的总路程；3、一个队伍步行的时间二

2、班车同时岀发后回来接它的时间。例题精讲【例1】某校和某工厂之间有一条公路，该校下午2时派车去该厂接某劳模来做报告，往 返需用11时便离厂步行向学校走来，途中遇到接他的汽 车，便立刻上车驶向学校，在下午2时40分到达.问：汽车速度是劳模步行速度 的儿倍【考点】行程问题之接送问题【难度】【题型】解答【解析】车下午2时从学校出发，如图，在C点与劳模相遇，再返回点，共用时40分钟，由此可知，在从3到C用了40一2 = 20分钟，也就是2时20分在C点与劳模相遇.此时劳模走了 1小时20 分，也就是80分钟.另一方面，汽车走两个初需要1小时，也就是从3点走到A点需要30分钟，而 前面说走完需要20分钟，

3、所以走完AC要10分钟，也就是说BC = 2AC.走 完AC,劳模用了 80分钟；走完BC,汽车用了 204 倍，而汽车行驶距离是劳模的2倍，所以汽车的速度是劳模速度的4x2 = 8倍.【答案】8倍【稳固】张工程师每天早上8点准时被司机从家接到厂里。一天，张工程师早上7点就出了 门，开始步行去厂里，在路上遇到了接他的汽车，于是，他就上车行完了剩下的 路程，到厂时提前20分钟。这天，张工程师还是早上7点出门，但15分钟后他发 现有东西没有带，于是回家去取，再出门后在路上遇到了接他的汽车，那么这次 他比平常要提前分钟到厂。【考点】行程问题之接送问题【难度】【题型】解答【解析】第一次提前20分钟是因

4、为张工程师自己走了一段路，从而导致汽车不需要走那段 路的来回，所以汽车开那段路的来回应该是20分钟，走一个单程是10分钟，而汽 车每天8点到张工程师家里，所以那天早上汽车是7点50接到工程师的，张工程师 走了 50分钟，这段路如果是汽车开需要10分钟，所以汽车速度是张工程师步行速 度的5倍，第二次，实际上相当于张工程师提前半小时出发，时间是遇到汽车之 后的5倍，那么张工程师走了 25分钟时遇到司机，此时提前(30-25)x2 = 10 (分 钟)。【答案】10分钟【例2】A、B两个连队同时分别从两个营地出发前往一个LI的地进行演习，A连有卡车可 以装载正好一个连的人员，为了让两个连队的士兵同时

5、尽快到达忖的地，A连士 兵坐车出发一定时间后下车让卡车回去接B连的士兵，两营的士兵恰好同时到达 口的地，营地与目的地之间的距离为32千米，士兵行军速度为8千米/小 时，卡车行驶速度为40千米每小时，求两营士兵到达目的地一共要多少时间【解析】山于卡车的速度为士兵行军速度的5倍，因此卡车折回时已走的路程是B连士兵 遇到卡车时已走路程的3倍，而卡车折回所走的路程是B连士兵遇到卡车时已走 路程的2倍，卡车接到B连士兵后，还要行走3倍B连士兵遇到卡车时已走路程 才能追上A连士兵，此时他们已经到达了日的地，因此总路程相当于4倍B连士 兵遇到卡车时已走路程，所以B连士兵遇到卡车时已走路程为8千米，而卡车的

6、总行程为(3+2+3) X8=64千米，这一段路，卡车行驶了 64*40二8/5小时，即1 小时36分钟这也是两营士兵到达U的地所花的时间.【答案】1小时36分钟【稳固】甲班与乙班学生同时从学校出发去公园，两班的步行速度相等都是4千米/小时， 学校有一辆汽车，它的速度是每小时48千米，这辆汽车恰好能坐一个班的学 生.为了使两班学生在最短时间内到达公园，设两地相距150千米，那么各个班的 步行距离是多少【考点】行程问题之接送问题【难度】【题型】解答【解析】山于汽车速度是甲乙两班步行速度的12倍，设乙班步行I份，汽车载屮班到A点开 始返回到点相遇，这样得出加:朋=1:(12-1)一2 = 1:5.

7、5,汽车从A点返回最终与 乙班同时到达C点，汽车乂行走了 12份，所以总路程分成份，所以每 份= 150-7.5 = 20千米，所以各个班的步行距离为20千米.【答案】20千米【例3甲、乙、丙三个班的学生一起去郊外活动，他们租了一辆大巴，但大巴只够一个 班的学生坐，于是他们方案先让甲班的学生步行，乙丙两班的学生步行，甲班学 生搭乘大巴一段路后，下车步行，然后大巴车回头去接乙班学生，并追赶上步行 的甲班学生，再回头载上丙班学生后一直驶到终点，此时甲、乙两班也恰好赶到 终点，学生步行的速度为5千米/小时，大巴车的行驶速度为55千米/小时， 出发地到终点之间的距离为8千米，求这些学生到达终点一共所花

8、的时间.【考点】行程问题之接送问题【难度】【题型】解答【解析】如下图：虚线为学生步行局部，实线为大巴车行驶路段，由于大巴车的速度是学生的11 倍，所以大巴车第一次折返点到出发点的距离是乙班学生搭车前步行距离的6 倍，如果将乙班学生搭车前步行距离看作是一份的话，大巴车第一次折返点到出 发点的距离为6份，大巴车第一次折返到接到乙班学生乂行驶了 5分距离， 如此大巴车一共行驶了 6+5+6+5+6=28份距离，而A到F的总距离为8份，所以大 巴车共行驶了 28千米，所花的总时间为28/55小时.【答案】28/55小时【稳固】海淀区劳动技术学校有100名学生到离学校33千米的郊区参加采摘活动，学校只

9、有一辆限乘25人的中型面包车.为了让全体学生尽快地到达口的地.决定采取步 行与乘车相结合的方法.学生步行的速度是每小时5千米，汽车行驶的速度 是每小时55千米.请你设计一个方案，使全体学生都能到达LI的地的最短时间是 多少小时【解析】由于100名学生要分4次乘车，分别命名为中、乙、丙、丁四组，且汽车的速度是 步行速度的11倍，乙组步行I份路程，那么汽车载甲组行驶6份，放下中组开始返回 与乙组的学生相遇，汽车载乙组追上甲组，把乙组放下再返回，甲组也步行了 1 份，丙组、丁组步行的路程和乙组相同，如下图，所以全程为6 + 1 + 1 + 1=9份， 恰好是33千米，其中汽车行驶了 33*9x6 =

10、 22千米，共步行了 33-22 = 11千米，所 以全体学生到达U的地的最短时间为22一55 + 11-5 = 2.6 小时【答案】小时【例4】A、3两地相距A出发，向匀速前进；当游行队伍 队尾离开A时，甲、乙两人分别从AA步行；甲骑车先 追向队头，追上队头后乂立即骑向队尾，到达队尾后再立即追向队头，追上队头 后乂立即骑向队尾当甲第5次追上队头时恰与乙相遇在距3地千米处；当 甲第7次追上队头时，甲恰好笫一次到达B地，那么此时乙距4地还有千米.【考点】行程问题之接送问题【难度】【题型】解答【解析】整个行程如下图.设甲第一次追上队头与第二次追上队头时队伍所行的距离为 x千米，第一次从队头到队尾时

11、中所行距离为y千米.由于每一次甲都是从队尾追 上队头，再从队头回到队尾，追上队头是一个追及过程，回到队尾是一个相遇过 程，而追及、相遇的路程都是队伍的长度，队伍的长度是不变的，所以每一次追 及、相遇的时间也是不变的，所以每一次甲追上队头到下一次甲追上队头这段时 间内队伍所行的路程即图中相邻两条虚线之间的距离都是相同的，而每一次从 队头到队尾时甲所行的路程也都是相同的.根据题意，甲第5次追上队头时距3地56千米，第7次追上队头时恰好到达3 地，所以2x = 5.6;从图中可以看岀，7x+v = 22.4,所以：号心“解得7x+ v = y = 2.8 甲第5次追上队头时恰与乙相遇在距3地5. 6

12、千米处，甲第5次追上队头时共行7千米，根据时间一定,速度比等于路程之比,可得% :=39.2:5.6 = 7:1 从甲第5次追上队头到甲第7次追上队头，甲共行了(千 米，所以这段时间内乙行了 千米，所以此时乙距A地还有 22.4-5.6-2.4 = 14.4 (千米).【答案】千米【稳固】A、两地相距A出发，向3匀速前进；当游行队伍 队尾离开A时，甲、乙两人分别从AA步行；甲骑车先 追向队头，追上队头后乂立即骑向队尾，到达队尾后再立即追向队头，追上队头 后乂立即骑向队尾当甲第5次追上队头时恰与乙相遇在距地5. 6千米处； 当甲第7次追上队头时，甲恰好第一次到达3地，那么此时乙距A地还有千米.【

13、解析】设第一次追上队头与第二次追上队头时队伍所行的距离为兀千米，从队头到队尾时甲所行距离为v千米.那么有：y7x+ y = 28x2x5+2.8x4 =竺,切巴=7：,因为乂 2+2. x 2 =乞,所以?=24,所以v乙7122.4-5.6-2.4 = 14.4 千米【答案】千米【例5】屮班与乙班学生同时从学校岀发去公园，屮班步行的速度是每小时4千米，乙班 步行的速度是每小时3千米。学校有一辆汽车，它的速度是每小时48千米，这辆 汽车恰好能坐一个班的学生。为了使两班学生在最短时间内到达公园，那么甲班 学生与乙班学生需要步行的距离之比是多少千米【考点】行程问题之接送问题【难度】【题型】解答【解

14、析】方法一：不妨设乙班学生先步行，汽车将甲班学生送至A地后返回，在B处接到 乙班学生，最后汽车与乙班学生同时到达公园，如图：岭：二1： 12, V- ： V, =l： 16o乙班从C至B时，汽车从CAB，那么两者路程 之比为 1： 16,不妨设 CB二 1,那么 CAB二 16, CA= 1 + 16宁2二，那么有 CB：BA二1：；类似设 AD二 1,分析可得 AD： BA二1：,综合得 CB： BA： AD二22： 165：30,说明甲乙两班步行的距离之比是15： llo方法二：如图，假设实线代表汽车行驶的路线，虚线代表甲班和乙班行走的路 线，假设乙班行驶I份到达C点，那么汽车行驶16份到

15、达E点，汽车与乙班共行驶15 份在D点相遇，其中乙班步行了 15x = 20. =%4 = 200米，猴子将在A留下60 个香蕉.那么当猴子次到达A时，身上乂有了 100个香蕉，到时还有100-，个，从 回需要y个，可在3留下(100-2y)个，用于时补充从到的消耗y 个.贝 IJ: 100 2y = y=y =罟.至此，猴子到家时所剩的香蕉为：300-4x-2y-型2 = 53丄.103因为猴子每走10米才吃一个香蕉，走到家时最后一个10米才走了？，所以还没3有吃香蕉，应该还剩下54个香蕉.方法二：小猴子背100根香蕉最多走1000米，那么300根香蕉需要有分三次背，就 应有两个存储点如上图

16、所示，所以还剩下的香蕉为300-100-100-(1000-1000 * 5-1000 *3)一 10 = 53+ 因为猴子每走 10 米才吃一个香 蕉，走到家时最后一个10米才走了 |,所以还没有吃香蕉，应该还剩下54个香 蕉.【答案】54个香蕉【稳固】有5位探险家汁划横穿沙漠.他们每人驾驶一辆吉普车，每辆车最多能携带可供 一辆车行驶312千米的汽油.显然，5个人不可能共同穿越500千米以上的沙 漠.于是，他们方案在保证其余车完全返回出发点的前提下，让一辆车穿越沙 漠，当然实现这一方案需要儿辆车相互借用汽油.问：穿越沙漠的那辆车最多能 穿越多宽的沙漠【考点】行程问题之接送问题【难度】【题型】

17、解答【解析】首先得给这5辆吉普车设计一套行驶方案，而这个方案的核心就在于：其中的4 辆车只是燃料供应车，它们的作用就是在保证自己能够返回的前提下，为第5辆 车提供足够的燃料.如下图，5辆车一起从月点出发，设第1辆车到万点时留下足够自己返回力点 的汽油，剩下的汽油全部转给其余4辆车.注意，万点的最正确选择应该满足刚好 使这4辆车全部加满汽油.剩下的4辆车继续前进，到。点时第2辆车留下够自己返回力点的汽油，剩下的 汽油全部转给其余3辆车，使它们刚好加满汽油.剩下的3辆车继续前进到疋点时，第4辆车留下返回力点的汽油，剩下的汽 油转给第5辆车.此时，第5辆车是加满汽油的，还能向前行驶312千米.以这种

18、方式，第5辆车能走多远呢我们来算算.5辆车到达万点时，笫1辆车要把另外4辆车消耗掉的汽油补上，加上自己往返 丽的汽油，所以应把行驶312千米的汽油分成6份，2份自己往返肋，4份给另 外4辆车每辆加1份，刚好使这4辆车都加满汽油.因此初的长为：312-6 = 52 千米.接下来，就把5辆车的问题转化为4辆车的问题.4辆车从万点继续前进，到达C点时，4辆车共消耗掉4份汽油，再加上第2辆车从。经方返回力，所以第2辆车仍然要把汽油分成6等份，3份供自己从万到G再从Q返回4 3份给另外3辆车加满汽油，由此知兀长也是52千米.同样的道理，CD = DE = 52 千 米.所以第5辆车最远能行驶：52x4

19、+ 312 = 520 千米.【答案】520千米【随练1】A、3两地相距120千米，人的步行速度是每小时5千米，摩托车的行驶速度是每小时50千米，摩托车后座可带一人.问：有三人并配备一辆摩托车从A 地到3地最少需要多少小时保存一位小数【考点】行程问题之接送问题【难度】【题型】解答【解析】此题实际上是一个接送问题，要想使所用的时间最少，三人应同时到达.假设这 三人分别为甲、乙、丙.由于摩托车只可同时带两个人，所以可安排甲一直骑摩 托车，甲先带乙到某一处，丙那么先步行，甲将乙带到后再折回去接丙，乙开始步 行，最后三人同时到达.要想同时到达，那么乙与丙步行的路程和乘车的路程都应 下列图所示. 由于丙

20、从A从走到D的时间内甲从A到C再回到D,相同的时间内二者所行的路 程之比等于速度的比，而两者的速度比为50:5 = 10:1,所以DC = -AD = 4.5AD 全程 AB = (4.5 + 1+ )AD = 6.5AD f 所以从 A地到 3地所用的 2时间为：120x-L-5 + 120x 50 = 5.7 (小H寸).6.56.565【答案】小时【随练2】甲、乙两班学生到离校24千米的飞机场参观，但只有一辆汽车，一次只能乘坐 一个班的学生.为了尽快到达飞机场，两个班商定，由甲班先坐车，乙班先步 行，同时出发，屮班学生在途中某地下车后步行去飞机场，汽车那么从某地立即返 回接在途中步行的乙

21、班学生.如果屮、乙两班学生步行速度相同，汽车速度是他 们步行速度的7倍，那么汽车应在距飞机场多少千米处返回接乙班学生，才能使 两班同时到达飞机场【考点】行程问题之接送问题【难度】【题型】解答【解析】设学生步行时速度为“1，那么汽车的速度为“7，有如下示意图.我们让甲班先乘车，那么当乙班步行至距学校1处，甲班已乘车至距学校71 处.此时甲班下车步行，汽车往回行驶接乙班，汽车、乙班将相遇.汽车、乙班 的距离为71-1=61,两者的速度和为7+1=8,所需时间为614-8=0. 751,这段时间 乙班学生乂步行0. 751的路程，所以乙班学生共步行1+0. 751=1. 751后乘车而 行.应要求甲

22、、乙班同时出发、同时到达，且甲、乙两班步行的速度相等，所以 甲班也应在步行1. 751路程后到达飞机场，有甲班经过的全程为71+1. 751=8. 75 1,7千米，即在距学校19. 2千米的地方甲班 学生下车步行，此地距飞机场二4. 84. 8千米的地方返 回接乙班学生，才能使两班同时到达飞机场.【答案】4. 8千米【随练3】某学校学生方案乘坐旅行社的大巴前往郊外游玩，按照计划，旅行社的大巴准时 从车站出发后能在约定时间到达学校，搭载满学生在预定时间到达LI的地， 学校的位置在车站和LI的地之间，大巴车空载的时候的速度为60千米/小时，满 载的时候速度为40千米/小时，由于某种原因大巴车晚出

23、发了 56分钟，学生在约 定时间没有等到大巴车的情况下，步行前往口的地，在途中搭载上赶上来的大巴 车，最后比预定时间晚了 54分钟到达LI的地，求学生们的步行速度.【考点】行程问题之接送问题【难度】【题型】解答【解析】大巴车空载的路程每多60千米，满载的路程就会少60千米，全程所花的时间就会少竺色= 小时=30分钟，现在大巴车比原方案全程所花时间少了 56-54 = 2分 40 60钟，所以，所以大巴车空载的路程比原方案多了 60x2=4千米，也就是说，大巴30车抵达学校后乂行驶了 4千米才接到学生，此时学生们已经出发了 56 + x60 = 6060分钟即1小时，所以学生们的步行速度为4千米

24、/小时.【答案】4千米/小时【随练4】屮、乙两人要到沙漠中探险，他们每天向沙漠深处走20千米，每人最多可携带一个人24天的食物和水1如果不准将局部食物存放在途中，问其中一人 最远可以深人沙漠多少千米当然要求二人最后返回出发点 如果可以将部分食物存放于途中以备返回时取用，情况乂怎样呢【考点】行程问题之接送问题【难度】【题型】解答【解析】1怎么才能让其中一人走得最远呢只能是另一人在某个地方将自己的局部食物和水注意必须留足自己返回所需补给第一个人，让他仍然有24天的食物和水， 这样才能走得最远.如下图，不妨设甲从月点出发，走了 x天后到达方点处返回，甲在方点处留足返回时所需x天食物和水后，将其余食物

25、与水全部给乙补足为24甲的24天的食物和水供甲走2个x天和乙走1个x天，故有x = 24-2+l = 8天.所以甲应在第8天从方点处返回4因为乙在万点已经消耗了8天的食物和水，但同时在方点甲乂给乙补充了8天的食物和水，所以此时乙身上仍然携带有24天的食物和水.曲于乙也要返回，所以乙最多只能往前走24-8*2 = 8天20x8 + 8 = 320 千米.2如果允许存放局部食物和水于途中，那么同上面分析类似，甲走了 y天后不 仅要补足乙的食物和水，还要存足y天的供乙返回时消耗的食物和水.即甲的24天的食物和水供甲、乙各走2个y天，所以- = 24-4 = 6 天.此时的乙不仅补足了 24可以带着身

26、上24天的食物和水继续往沙漠深处走12天后再返回，取得中事先存放的食物和水后，然后再返回出发地.因此，乙共可深入沙漠20x6 + 12 = 360 千 米.【答案】360千米家庭作业作业检【作业1】李经理的司机每天早上7点30分到达李经理家接他去公司。有一天李经理7点 从家里出发去公司，路上遇到从公司按时来接他的车，再乘车去公司，结果比平 常早到5分钟。那么李经理乘车的速度是步行速度的 倍。假设车速、步行速度保持不变，汽车掉头与上下车时间忽略不计【考点】行程问题之接送问题【难度】【题型】填空【解析】因为司机是按时的所以，汽车比平时早到5分钟，实际上是因为少走了两个李经 理步行的距离，所以司机接

27、到李经理时，实际上在过分钟就能到李经理家了，时 间为7点27分30秒.而李经理步行了 27分3011倍.【答案】11倍【作业2】甲、乙两班学生到离校39千米的博物馆参观，但只有一辆汽车，一次只能乘坐 一个班的学生.为了尽快到达博物馆，两个班商定，由屮班先坐车，乙班先步 行，同时出发，屮班学生在途中某地下车后步行去博物馆，汽车那么从某地立即返 回去接在途中步行的乙班学生.如果屮、乙两班学生步行速度相同，汽车速度是 他们步行速度的10倍，那么汽车应在距博物馆多少千米处返回接乙班学生，才 能使两班同时到达博物馆【题型】解答【解析】如下图，当甲班乘车至C处后下车，然后步行至博物馆，车那么返回去接乙班，

28、 至“处时恰好与乙班相遇，然后载着乙班直接到博物馆.由于甲、乙两班学生要同时到达，他们所用的时间是相同的，而总路程也相同， 那么他们乘车的路程和步行的路程也分别相同，也就是说图中M与8相等.乂 乙班走完初时，汽车行驶了从A到C再从C到B这一段路程，由于汽车速度是他 们步行速度的10倍，所以汽车走的这段路程是M的10倍，可得是M的 倍，那么全程AD是初的倍，也是CD的倍，所以CD为 39-6.5 = 6千米，即汽车应在距博物馆6千米处返回接乙班.【答案】6千米【作业3】甲乙两人同时从学校出发去距离33千米外的公园，屮步行的速度是每小时4千米，乙步行的速度是每小时3千米。他们有一辆自行车，它的速度是每小时5千 米，这辆车只能载一个人，所以先让其中一人先骑车到中途，然后把车放下之后 继续前进，等另一个人赶到放车的位置后再骑车赶去，这样使两人同时到达公 园。那么放车的位置距出发点多少千米【考点】行程问题之接送问题【难度】【题型】解答【解析】根据两人到达公园所花时间相等这一等量关系可列出方程，设放车的位置距出发点x千米，如果甲先骑车，方程为：兰+ 土 =三仝+丄，如果乙先骑车，方程3545为：兰+ 土 = 土 +三，两条方程分别解得x=9和x二24,所以有9千米和244535千米两种答案.【答案】9千米和24千米【作业4】有两个班的小学生要到少年宫参加活动，但只有一辆车接送，第