数列通项公式常用求法及构造法

1、精品文档数列通项公式的常用求法构造法求数列通项公式一、构造等差数列求数列通项公式运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为f (n1)f (n) =A（其中 A 为常数）形式，根据等差数列的定义知f ( n) 是等差数列，根据等差数列的通项公式，先求出f ( n) 的通项公式，再根据 f (n) 与 an ，从而求出 an 的通项公式。例 1在数列 an 中，a1 = 1 ，an 13an （ n N ），求数列 an 通项公式 .2an 3解析：由 an 13aan n3 得， an+1 a n=3 a n+1-3 a n=0，两边同除以an+1 a n 得，

2、1131 ，aann 11，则 bn+1- b n= 31 ，根据等差数列的定义知，设 bn= an数列 bn是首项 b1=2，公差 d=13的等差数列，根据等差数列的通项公式得 bn =2 13 （ n-1 ） = 31 n 35数列通项公式为 an= n35例 2 在数列 an中， Sn 是其前求 Sn 与 an。解析：当 n2 时，an=Sn-Sn-12n 项和，且 Sn 0，a1=1，an= 2Sn(n 2) ，2 Sn 1代入 an= 22SSn2得，Sn -Sn-1 = 22SSn2，变形整理得n 1n1Sn-S n-1 = SnSn-1 ？ 两边除以 Sn Sn-1得，S1-S

3、1=2， S1 是首相为 1，公差为nn 1n2 的等差数列1）=2n-1, S=11(n2),n=1 也适合， S =1(n 1) Sn =1+2（n-1n2n2n 1n当 n2 时， an=Sn-S n-1=11-1=-22，n=1 不满足此式，2n2n 34 n8n3an=1n12n24 n28n 3二、构造等比数列求数列通项公式。1欢迎下载精品文档运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为 f （n+1）=Af（ n）（其中 A 为非零常数）形式，根据等比数列的定义知 f (n) 是等比数列，根据等比数列的通项公式，先求出f (n) 的通项公式，再根据

4、f (n) 与 an ，从而求出 an 的通项公式。例 3 在数列 an中， a1=2，an=an-12(n 2) ，求数列 an通项公式。解析： a 1=2，an=an-12 (n 2) 0，两边同时取对数得， lg a n=2lg a n-1lg alg a n是首相为 lg2 ，公比 lg a n =2， 根据等比数列的定义知，数列n 1为 2 的等比数列，根据等比数列的通项公式得lg a n=2n-1 lg2= lg 22 n 1数列通项公式为 an=2 2n 1评析：本例通过两边取对数，变形成 log an2 log an 1 形式，构造等比数列log an ，先求出 log an

5、的通项公式，从而求出an 的通项公式。例 4 在数列 an中， a1=1，an+1=4an+3n+1，求数列 an通项公式。解析：设 an+1+A（ n+1） +B=4（ an +An+B），（ A、 B 为待定系数），展开得3A3A1an+1=4an +3An+3B-A，与已知比较系数得 23BA 1B3an+1+（n+1） + 23 =4（an+n+ 23 ），根据等比数列的定义知，2828n-1，公比为 q=3=3数列a +n+ 3 是首项为 3的等比数列， a +n+ 33nn数列通项公式为 an= 833n-1 -n-32例 5在数列 a 中， a =1 ， aa =4，求数列 a

6、通项公式。n1n+1 nnnn an an-1 =4n-1an 1，解析： an+1an=4两式相除得 an 1 =4a ，a ， a 与 a， a4，a6 是首相分别为 a ，a2，公比都是 413521的等比数列，又 a1=1， an+1an=4n ， a2=4n12nan= 4 nn42三、等差等比混合构造法数列有形如 f ( an , an1 , an an 1 )0 的关系，可在等式两边同乘以1, 先求出an an 1。2欢迎下载精品文档1 , 再求得 an .an例 6设数列 an 满足 a12, an 1an(n N ), 求 an .an3解：原条件变形为an 1 an3 an

7、 1an . 两 边 同 乘 以1, 得an an 11 3 11 .anan 1（ 1111113n 1 32),an2anan 122 an23n 1 1.四、辅助数列法有些数列本身并不是等差或等比数列，但可以经过适当的变形，构造出一个新的数列为等差或等比数列，从而利用这个数列求其通项公式。例 7. 在数列 an中， a11 ， a22 ， an 22 an 11 an ，求 an 。21331解析：在 an 2两边减去 an 1 ，得 an 2an 1an 1an( an 1 an )333an 1an是以 a2a11 为首项，以1 为公比的等比数列，1) n 1 ，由累加法得3 an1

8、an(3an =(anan 1 ) (an 1 an 2 )(a2a1 ) a1= ( 1) n 2( 1)n 31(1) n 1= 3 1 ( 1) n 1 1(1)11=333311433= 7 3 ( 1 )n 14 4 3练习n*1、在数列 an中， a1 =1，an+1=3an+2 （nN ），求数列 an通项公式。设 bn= a n+2n 则 bn+1=3bn， bbnn1 =3，根据等比数列的定义知，数列 bn是首相 b1=3，公比为 q=3 的等比数列，根据等比数列的通项公式得 bn =3n，即 an+2n =3n，。3欢迎下载精品文档数列通项公式为an=3n-2 n注意： 2

9、n+1-2 n =2n2、在数列 an 中， a11， an 1an2n3 ，求数列 an 的通项公式。解：、由 an 1 an 2 n 3 得， (an 1 2n 1 ) (an 2 n ) 3 ，根据等差数列的定义知，数列 an 2n 是首项为 3，公差为 3 的等差数列，所以an2n3n ，所以 an3n 2n3、已知数列 an满足 a12 ， an 1nan ，求 an3n1解：由条件知an1n，分别令 n1,2,3, (n 1)，代入上式得 (n1) 个ann 1等式累乘之，即a2 ? a3 ? a4 ? an1 2 3n 1an1a1a2a3an 12 3 4na1n又a12 ，

10、an233n4. 数列 a n 满足 a1 =1， a n = 1 a n 1 +1（n2），求数列 a n 的通项公式。2解：由a1 a（n）得 a2=1 （an1 ），而 a ，n =n 1 +12n2212=12= 12数列 a n 2 是以 1 为公比， 1 为首项的等比数列2 an 2=（ 1 ） n 1 a n =2（ 1 ） n 1225. 数列 an中， a11, a22,3an 22an1 an ，求数列 an的通项公式。解：由3an22an1an 得 an 22 an11 an , 设 an 2kan 1h(an 1ka n )33比较系数得 kh2 ， kh1 ，解得 k

11、1,h1 或 k1, h13333若取 k1, h1 ，则有 an2an 11(an 1an )31 为公比，以 a23 an 1an 是以a1211为首项的等比数列3 an 1an( 1 )n 13。4欢迎下载精品文档由逐差法可得 an(anan1 )(an1an2 )(a2a1 )a1=(1n2(1n3(12(1) 1 1313331()n131731=31 =n 11(n 111 ()44)143336.an 的前 n 项和为 Sn ，对于任意正整数 n，都有等式：设各项均为正数的数列an22an4Sn 成立，求 an的通项 an.解： an22an 4Snan 122an 14Sn 1

12、 ， an2an2 12an2an 14(SnSn 1 ) 4an(anan 1 )(anan 12) 0 ， anan 10 ， an an 12 .即 an 是以 2 为公差的等差数列，且a122a14a1a12. an22(n 1)2n7.设 an是首项为 1 的正项数列，且 an2an21nannan10，（ n N*），求数列的通项公式 an.解：由题设得 (anan 1 )(anan1n)0 an0 ， an 1 0 ， anan 10 . an an 1nana1(a2a1 ) (a3a2 )(anan 1 ) 1 2 3nn( n1)21 ，前 n 项的和 Sn8.数列 an中

13、， a1n2an ，求 an 1 .2解： anS Sn2 an(n 1)2 a1(n21)an(n 1)2 ann 1nn 1ann1 ，an 1n1 ananan 1a2 a1n 1 n 2 1 11an 1 an 2a1n 1 n3 2 n(n 1) an 11( n1)(n2)9. 设正项数列 an满足 a11， an2an21 （n2）. 求数列 an的通项公式 .解：两边取对数得： log 2an1 2log 2an 1， log 2a n12(log 2an 11)，设 bn log 2a n1 ，则 bn 2bn 1bn 是以 2 为公比的等比数列， b1log 1211.bn

14、 12n 12n 1 ， log 2an 12n 1 ， log 2an2n11 ， an22n 11。5欢迎下载精品文档总结而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法。递推式一般为： an 1panf n ； an 1panqn（ 1）通过分解常数 ，可转化为特殊数列 a n +k 的形式求解。一般地，形如 a n 1 =pa+q ppqq分解法：设an 1+k=pn（ 1， 0）型的递推式均可通过待定系数法对常数（ an+k）与原式比较系数可得 pkk q，即k=q，从而得等比数列a+k 。=p1n（ 2）通过分解系数 ，可转化为特殊数列 anan 1 的形式求解。这种方法适

15、用于an 2pa n 1qa n 型的递推式，通过对系数p 的分解，可得等比数列 anan 1 ：设 an 2ka n 1h(an 1 kan ) ，比较系数得 hkp,hkq ，可解得 h, k。3、构造法构造法就是在解决某些数学问题的过程中，通过对条件与结论的充分剖析，联想出一种适当的辅助模型，进行命题转换， 产生新的解题方法， 这种思维方法的特点就是“构造” . 若已知条件给的是数列的递推公式要求出该数列的通项公式 .（ 1）构造等差数列或等比数列由于等差数列与等比数列的通项公式显然， 对于一些递推数列问题， 若能构造等差数列或等比数列，无疑是一种行之有效的构造方法 . （ 2）构造差式

16、与和式解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差， 然后采用迭加的方法就可求得这一数列的通项公式 .（ 3）构造商式与积式构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种简（ 4）构造对数式或倒数式有些数列若通过取对数， 取倒数代数变形方法， 可由复杂变为简单， 使问题得以解决 .补充一般方法：。6欢迎下载精品文档一、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法， 这种方法适应于已知数列类型的题目例 1等差数列 a n 是递增数列，前 n 项和为 Sn ，且 a1, a3 , a9 成等比数列，S5a52 an 的通项公式求数列解：设数列 an 公差为 d(d0) a

17、1 , a3 , a9 成等比数列， a32a1a9 ，即 (a1 2d)2a1 (a1 8d) ，得 d2a1 d d 0 ， a1 d S5 a525a154 d(a14d) 22 由得： a13， d355an3(n1)33 n555二、累加法求形如 an-a n-1 =f(n) （f(n) 为等差或等比数列或其它可求和的数列）的数列通项，可用累加法，即令 n=2，3， n 1 得到 n1 个式子累加求得通项。an1an 1an例 2已知数列 a 中，a =1，对任意自然数 n 都有n(n 1)，求n1anan111) ，解：由已知得n(nan 1an211)n ，(n ，a3a2134

18、，a2a1123，以上式子累加，利用111n(n 1)nn 1 得an - a1 = 21.111111)= 23(n2)(n 1)(n1)nn(nn 1 ，31an2n1三、累乘法。7欢迎下载精品文档an1f (n)对形如 ann=2，3， n1 得到 n的数列的通项，可用累乘法，即令 1 个式子累乘求得通项。例 3 已知数列 an中， a11，前 n 项和 Sn 与 an 的关系是 Snn(2n 1)an ，求3通项公式 a n 解：由 Snn(2n1)an 得 Sn 1(n1)(2n 3)an 1两式相减得： (2 n1)an(2 n3)an 1, ，an2n3an 1 2n1 ，an

19、12n5L La21an 22n,51a1将上面 n1 个等式相乘得：an(2n 3)(2 n 5)(2 n7) L3 13a1(2n1)(2n1)(2 n 3)L7 5(2 n1)(2 n1)an1.(2 n 1(2n1)四、公式法若已知数列的前n 项和 Sn 与 an 的关系，求数列an 的通项 an 可用公式anSnn1SnSn 1n2 求解。例 4已知数列an的前 n 项和SnS2an( 1)n , n 1求数列an的满足 n通项公式；解：由 a1S12a11, 得a11.当 n2时，有 anSnSn 12(anan 1 )2(1) n ,an2an 12 ( 1)n 1 ,an 12an 22 ( 1) n 2 , ，a22a12.an 2n 1a1 2n 1 ( 1) 2n 2 ( 1)2 L 2 (