因式分解最牛最全的方法

1、因式分解提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法 .在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1) (a+b)(a-b) = a2-b2(2) (a b)2 = a2 2ab+b2(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3(4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 下面再补充两个常用的公式： a2-b 2=(a+b)(a-b)； a22ab+b2=(ab)2； a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)(5) a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a

2、+b+c)2；(6) a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；例 .已知 a，b， c 是 ABC 的三边，且 a2 b2 c2 ab bc ca ，则 ABC 的形状是( )A.直角三角形 B等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角 形 解： a2 b2 c2 ab bc ca 2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ca(a b)2 (b c)2 (c a)2 0 a b c三、分组分解法 .(一) 分组后能直接提公因式 例 1 、分解因式 ： am an bm bn 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能 运用公式分解

3、，但从“局部”看， 这个多项式前两项都含有 a,后两 项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分 解，然后再考虑两组之间的联系。解:原式=(aman) (bm bn)a(m n) b(m n)每组之间还有公因式!=(m n)(a b)例2、分解因式： 2ax 10ay 5by bx解法一：第一、二项为一组;解法二：第一、四项为一组;第三、四项为一组。第二、三项为一组。解：原式= (2ax 10ay) (5by bx) 原式(2ax bx) ( 10ay 5by)2a(x 5y) b(x 5y)=x(2a b) 5y(2a b)(x 5y)(2a b)=(2a b)(x 5y)

4、(二) 分组后能直接运用公式 例 3、分解因式： x2 y2 ax ay 分析：若将第一、三项分为一组， 第二、四项分为一组， 虽然可以提 公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。解：原式=(x2y2)(ax ay)=(xy)(xy) a(x y)=(xy)(xy a)例 4: 分解因式：2 a2ab22 bc解：原式2=(a2ab22b 2) c2=(ab)22 c=(abc(a b c)四、十字相乘法 .(一)二次项系数为 1 的二次三项 式直接利用公式x2 (p q)x pq (x p)(x q)进行分解。特点：(1) 二次项系数是1；(2)常数项是两个数的乘 积；(3) 次项系

5、数是常数项的两 因数的和。思考：十字相乘有什么基本规律 例.已知Ov a 0 而且是一个完全平方数。于是9 8a为完全平方数，a 1 例5、分解因式：x2 5x 6 分析：将6分成两个数相乘，且这 两个数的和要等于5。由于 6=2 X 3=(-2)X (-3)=1 X6=(-1)x (-6),从中可以发现只有2X 3的分解适合，即2+3=5。12解：X2 5x 6 = x2 (2 3)x 2 313_=(x 2)(x 3)1 x 2+1 x 3=5用此方法进行分解的关键：将常数 项分解成两个因数的积，且这两个 因数的代数和要等于一次项的系数例6、分解因式：x2 7x 6解:原式=X2 ( 1)

6、(际(1)( 6)1-1=(X 1)(X6)1-6(-6) = -7(二)二次项系数不为1的二次三项式 ax2 bx c条件aCi(a2C2(b ai C2 a2Ci分解结果:(1)aa：2)cC C23)ba1c2a：C1ax2bx c (a xC1)(a? xC2)例7、分解因式：3x2 11x 10 分析:1-23-5(-6) + (-5) = -11解：3x211x 10 = (x 2)(3x 5)(三) 二次项系数为1的齐次多项 式例8、分解因式：分析：将b看成常数，把原多项式 看成关于a的二次三项式，利用十 字相乘法进行分解。x18b1-16b 8b+( -16b)= -8b解2

7、2 2a 8ab 128b =a 8b( 16b)a 8b ( 16b)=(a 8b)(a 16b)1的齐次多-2y-1(四) 二次项系数不为 项式2 22x 7xy 6y2 2x y 3xy 2X 1把xy看作一个整体12-3y1-2(-3y)+(-4y)=-7y(-1)+(-2)= -3解 ：原 式=(x 2y)(2x 3y)解：原式=(xy 1)(xy 2)五、换元法例13、分解因式(1) 2005x2 (20052 1)x 2005( 2 )(x 1)( x 2)(x3)(x 6) x2解：(1 )设2005= a，则原式= ax2 (a21)x a= (ax 1)(x a)= (20

8、05x 1)(x2005)(2)型如abed e的多项式，分解因 式时可以把四个因式两两分组相 乘。原式=(x2 7x 6)(x2 5x 6) x2 设x2 5x 6 A , 则 x2 7x 6 A 2x 原工式 =( A 2x) A x2 = A2 2Ax x2=(A x)2 =(x2 6x 6)2观察：此多项式的特点是关于x的降幂排列，每一项的次数依次 少1，并且系数成“轴对称”。这 种多项式属于“等距离多项式”方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。2 2 1 = x2(2x2 x 6-x-)=x2 2(x2x11-y) (x -)6xxt，则 x2 4xt22原式 =

9、x2 2( t2 2)6 =x2 2t2 t 10=x2 2t 5 t2 = x? 2x 2 5 xx222 = 2x 5x 2 x 2x 1一 2 1=x 2x 5 xx xx 2=(x 1)(2x 1)(x2)(2)x4 4x3 x2 4x 1解原式x2(x2412214x 12) =x x2x xx14 x1x设x y，则xx1 2 22 y 2 x原式=x2(y2 4y 3)= x2(y 1)(y 3) 2 112 2=x (x 1)(x3) = x x 1 x 3x 1xx六、添项、拆项、配方法例15、分解因式(1) x3 3x2 4解法 1 拆项解法2添项原式=x3 1 3x2 3

10、原式=x3 3x2 4x 4x 4=(x 1)(x2 x 1)3(x1)( x 1)=x(x2 3x 4)(4x4)=2(x 1)(x x 1 3x 3)=x(x 1)(x 4)4( x1)=(x 1)(x 4x 4)=(x1)(x2 4x 4)=(x 1)( x 2)2=(x 1)( x 2)22) x9 x6 x3 3解：原式 =(x91)(x61)( x31)=(x31)(x6x31)(x31)(x31)(x31)=(x31)(x6x31x31 1)2= (x 1)( x 2 x 1)( x6362 x3 3)七、待定系数法。例 16、分解因式x2 xy 6 y2x 13 y6分析：原式

11、的前3 项 x2xy 6 y2可以分解：为 (x 3y)(x 2y) ，则原多项式必定可分为 ( x 3 y m)( x 2 y n)xy 6y2 x 13y 6 =(x 3y m)(x 2y n)22(x 3y m)(x 2y n) =x2 xy 6y2 (m n)x (3n 2m) y mn2 2 2 2x xy 6y x 13y 6 =xxy 6y (m n) x (3n 2m)y mn对比左右两边相同项的系数可得m2n3mn13n 2m 13 ，解得mn 6原式=(x 3y 2)(x 2y 3)例 17 、( 1 )当 m 为何值时，多项式 x2 y2 mx 5y 6 能分解因式， 并

12、分解此多项式。(2)如果 x3 ax2 bx 8 有两个因式为 x 1 和 x 2，求 a b 的值。1)分析：前两项可以分解为解：设 x 2 y2(x y)(x y) ，故此多项式 分解的形式必为 (x y a)( x y b)mx 5y 6 =(x y a)( x y b)2y (a b)x (b a) y ab abmb a 5，解得： ab 6则 x2 y2 mx 5y 6 =x2 比较对应的系数可得：a 2 a 2b 3 或 b 3m 1 m 1当m 1时，原多项式可以分解；当 m 1时，原式 =(x y 2)(x y 3) ； 当 m 1时，原式 =(x y 2)(x y 3) 2

13、)分析： x3 ax2 bx 8 是一个三次式， 所以它应该分成三个一次式相 乘，因此第三个因式必为形如 x c 的一次二项式。解：设 x3 ax 2 bx 8=(x 1)(x 2)(x c)则 x3 ax2 bx 8=x3 (3 c)x2 (2 3c)x 2ca 3 c b 2 3c解得2c 8a7b 14 ，c4 ab=21(1)2x1x1x1(2)4x12x2 1 x 1 x 1(3)8x1x4 1 x2 1 x 1 x 1(4)16 x1x8 1 x4 1 x2 1 x 1 x1(5) 1. 通过基本思路达到分解多项式的目的例 1. 分解因式 x5 x4 x3 x 2 x 1 分析：这

14、是一个六项式，很 显然要先进行分组，此题可把 x5 x4 x3和x2 x 1分别看成一组，此时 六项式变成二项式，提取公因式 后，再进一步分解；也可把 x5 x4， x3 x2， x 1分别看成一组，此时的六 项式变成三项式， 提取公因式后再 进行分解。解一：原式 (x5 x4 x3) (x2 x 1) x3(x2 x 1) (x2 x 1) (x31)(x2 x 1)(x 1)(x2 x 1)(x2 x 1) 解二：原式 =(x5 x4) (x3 x2) (x 1) x4(x 1) x2 (x 1) (x 1) (x 1)( x 4 x 1) (x 1)( x4 2x2 1) x2 (x 1

15、)( x2 x 1)(x 2 x 1)2. 通过变形达到分解的目的例 1. 分解因式 x3 3x2 4解一：将3x2拆成2x2 x2，则有 原式 x3 2x2 (x24)x2(x 2) (x 2)(x2)2(x 2)(x2 x 2)2(x 1)(x2)2解二：将常数 4拆成 1 3，则有 原式 x3 1 (3x 2 3)(x 1)(x 2 x 1) (x 1)(3x 3)(x 1)(x 2 4x 4)(x 1)(x 2)23. 在证明题中的应用 例：求证：多项式 (x2 4)(x2 10x 21) 100的值一定是非负数 分析：现阶段我们学习了两 个非负数， 它们是完全平方数、 绝 对值。本题

16、要证明这个多项式是非 负数，需要变形成完全平方数。证明： (x2 4)(x2 10x 21) 100 (x 2)(x 2)(x 3)(x 7) 100 (x 2)(x 7)(x 2)(x 3) 10022(x2 5x 14)(x2 5x 6) 100设 y x2 5x ，则原式 (y 14)(y 6) 100 y2 8y 16 (y 4)2无论y取何值都有(y 4)20(x 2 4)(x2 10x 21) 100的值一定是非负数4. 因式分解中的转化思想例：分解因式：(a 2b c)3 (a b)3 (b c)3 分析：本题若直接用公式法 分解，过程很复杂， 观察 a+b，b+c与 a+2b+

17、c 的关系，努力寻找一种 代换的方法。解 ： 设 a+b=A ， b+c=B ， a+2b+c=A+B333原式 (A B)3 A 3 B3A 3 3A 2 B 3AB 2 B 3 A 3 B 3 223A 2 B 3AB 23AB (A B )3(a b)( b c)(a 2b c)在分解因式时，灵活运用公 式，对原式进行 “代换”是很重要 的。2 2 2a 2 16b 2 c2 6ab 10bc 0例 1. 在 ABC 中，三边 a,b,c 满足求证：a c 2b2 2 22 2 2a2 16b 2 c2 6ab 10bc 02222a 26ab9b 2c210bc25b20即(a3b)2

18、(c5b)20(a 8b c)(a 2b c) 0 abca 8b c,即 a 8b c 0于是有 a 2b c 0即 a c 2 b说明：此题是代数、几何的 综合题，难度不大，学生应掌握这 类题不能丢分。例 2. 已 知：x 2，贝V x3 丄xx 解：X3 A (x )(x2 1 丄)xxx(x 如)2 212 12说明：利用x2 4 (x F 2等式化xx繁为易。题型展示1.若x为任意整数，求证： (7 x)(3 x)(4 x2) 的值不大于100。解： (7 x)(3 x)(4 x2) 100(x 7)(x2)(x3)(x2)10022(x 5x 14)(x 5x 6) 10022(x 5x) 8(