线性代数第一章复习ppt课件

1、第一章第一章 行列式行列式1.1 二阶、三阶行列式1.2 n阶行列式1.3 行列式的性质1.4 行列式按行列展开1.5 克莱姆法那么1.1二阶、三阶行列式历史点滴: 行列式来源于线性方程组的求解 1683年,日本数学家关孝和(Seki Takazu,1642-1768) 在其专著中提出了行列式的概念与算法 1750年,瑞士数学家克拉默(G.Cramer,1704-1752) 提出了线性方程组的行列式解法 “克拉默法那么 1772年,法国数学家范德蒙德(A.T.Vandermrede,1735 -1851)首先将行列式实际系统化,被誉为行列式实际的奠基人 现行的行列式的记号是由英国数学家凯莱(A

2、.Cayley, 1821-1895)于1841年引进的. .1112112212212122aaa aa aaa 记号表示代数和，称为二阶行列式，即.aaaaaaaa211222112221121111a12a22a21a即实线衔接的元之积减去即实线衔接的元之积减去虚线衔接的元之积虚线衔接的元之积 三阶行列式111213212223313233112233122331132132112332122133132231,aaaaaaaaaa a aa a aa a aa a aa a aa a a记号表示代数和 称为三阶行列式，即112233122331132132112332122133132

3、231,a a aa a aa a aa a aa a aa a a333231232221131211aaaaaaaaa列标列标行标行标三阶行列式的对角线法那么333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa .322311aaa 322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa . .例题与讲解 例2：计算三阶行列式：2-43-122-4-21D D4)2()4()3(12)2(21 )3(2)4()2()2(2411 24843264 .14 . .1.2 n阶行列式 陈列：由自然数1，2，n 组成的一个有序数组称为一个n 级(元)陈

4、列。 自然陈列：n级陈列123n 称为自然陈列。2141314不是陈列不是陈列543215级陈列31424级陈列 逆序与逆序数：在一个n级陈列中，假设某个较大的数排在某个较小的数前面，就称这两个数构成一个逆序；一个陈列中出现的逆序的总数，称为这个陈列的逆序数，通常记为N(i1i2in)。 陈列的逆序数为偶数的称偶陈列，陈列的逆序数为奇数的称奇陈列。. . 逆序数计算 ：从最左面的数开场算，计算每个数的左边比它大的数的个数，全部加起来。如陈列 32514 的逆序数为N32514=2+1+2+0+0=5 对换：在一个n级陈列j1 j2 ji jkjn 中，假设仅将其中两个数ji、 jk对调,其他不

5、动，可得一个新的陈列j1 j2 jk jijn , 这样的变换称为一次对换。 定理：一次对换改动陈列的奇偶性。即nkijjjjj21那么nkijjjjj21与nikjjjjj21假设 kijj,nikjjjjj21对换性质的证明 思绪:先证相邻元素的对换,再证明普通情况。mlbbabaa11对换对换 与与abmlbbbaaa11abba除除 外，其它元素的逆序数不改动外，其它元素的逆序数不改动.b,a当当ab时时,经对换后经对换后b的逆序数不变的逆序数不变, a的逆序数减少的逆序数减少1;设陈列为设陈列为nmlcbcbabaa111nmlccbbbaaa111ab次相邻对换次相邻对换mnmlc

6、cbbabaa111ab次相邻对换次相邻对换1 mnmlccabbbaa111ab. .奇、偶陈列个数相等 定理2：在一切的n 级陈列中n1,共有n !个n级陈列，奇陈列与偶陈列的个数相等,各为n!/2。 证明:设在n!个n级陈列中n1,奇陈列共有p个,偶陈列共有q个,那么 p+q= n !现对每一个奇陈列施行一次对换，即kijj,nkijjjjj21nikjjjjj21. . 二阶、三阶行列式共性 n 阶行列式的定义111212122212nnnnnnaaaaaaaaa定义定义1.2 n阶行列式阶行列式是一切取自不同行是一切取自不同行, ,不同列的不同列的n n个数的乘积个数的乘积12njj

7、j1212njjnja aa即即 n n阶行列式的普通项为阶行列式的普通项为1212N121nnj jjjjn jaaa其中其中构成一个构成一个n n级陈列，当级陈列，当的代数和的代数和. .各项的符号是：当此项中元的行标按自然数顺序陈列后，各项的符号是：当此项中元的行标按自然数顺序陈列后，对应的列标构成的陈列为奇陈列时为负对应的列标构成的陈列为奇陈列时为负, 为偶陈列时为正。为偶陈列时为正。12nj jj取遍一切n级陈列，那么的行列式表示的代数和中一切的项。阐明阐明1、 阶行列式是阶行列式是 项的代数和项的代数和;n!n2、 阶行列式的每项都是位于不同行、不同阶行列式的每项都是位于不同行、不

8、同列列 个元素的乘积个元素的乘积;nn4、 一阶行列式一阶行列式aa 3、 的符号为的符号为nnpppaaa212112()( 1)nN p pp00200100000320104321432143214321)() 1(jjjjjjjjjjjjaaaa12)1()1(441342213)3241(aaaa 定理：n阶行列式D=|aij|的普通项可记为：nnnnjijijijjjiiiaaa.)1(22112121).().(12nj jj1 2i i,ni其中12nj jj均为n级陈列。行列式定义的等价表示方式nnnnnnaaaaaaaaa212222111211nnnnjjjjjjjjja

9、aa212121211niiiiiiiiinnnaaa212121211. .特殊行列式 上三角行列式nnnnnaaaaaaaaaa.000.00.0.333223221131211nnaaa.2211 下三角行列式nnnnnaaaaaaaaaa.0.0.00.00321333231222111nnaaa.2211 对角行列式nnaaaa.000.0.000.000.00332211nnaaa.2211 左三角行列式0.000.00.12) 1(1 ) 1(3)3(2)3(1 )3(1131211nnnnnnnaaaaaaaaaa1)1(212)1(.) 1(nnnnnaaa 右三角行列式nn

10、nnnnnnnnnnnaaaaaaaaaa.0.00.000321) 1(3) 1(2) 1()2(3)3(11)1(212)1(.) 1(nnnnnaaa. .练习 用行列式的定义计算下面的行列式 0100000020001 .;00000100000nn 11111222113344552 .000 .000000abcdeabcdeababab!) 1(.21) 1() 1 (1)1.23(nnDnn1 2 3 4 5123451 2 3 4 5()12345(2)( 1)0j j j j jjjjjjj j j j jDa aaaa. .1.3 行列式的性质 如何有效地计算普通行列式？

11、 两条根本思绪： 经恒等变形先将普通行列式化为(含大量零元素的)特殊行列式,再按定义计算。 经恒等变形先将普通行列式化为二、三阶行列式,再用对角线法那么展开计算。 要到达上述目的, 先对行列式根本性质进展研讨。. .转置行列式 转置行列式定义：nnnnnnaaaaaaaaa212221212111DnnnnnnaaaaaaaaaD212222111211D. .行列式性质1 性质1：行列式D与其转置行列式D相等,即D=D。nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211那么nnnnnnaaaaaaaaaD212221212111设nnnnnnbbbbbbbbb212222111211j

12、iijabnnnnjjjjjjjjjbbb21212121)()1(njjjjjjjjjnnnaaa21)(221121)1(nnnnnnbbbbbbbbb212222111211D. .行列式性质2 性质2：互换行列式的某两行(列),行列式的值变号。即nnnntnttknkknaaaaaaaaaaaa21212111211第t行nnnnknkktnttnaaaaaaaaaaaa21212111211第k行DD1. .行列式性质2的证明 证：nnnnknkktnttnaaaaaaaaaaaa21212111211第k行第t行D1=nnnntnttknkknbbbbbbbbbbbb2121211

13、1211第k行第t行ntkntknjtjkjjjjjjbbbb111)() 1(nktntknjtjkjjjjjjaaaa111)() 1(nktnktnjtjkjjjjjjaaaa111)() 1(D1的普通项为111)() 1(jjjjjantk的一般项D因此ktjatkjannja1DD. .性质2的推论 推论：行列式中有两行(列)完全一样,那么其值为零。即nnnnknkkknkknaaaaaaaaaaaa21212111211DD0D. . 性质3：行列式中某一行(列)的公因子可提到行列式符号的前面。即nnnniniinaaakakakaaaa212111211nnnniniinaaa

14、aaaaaak212111211 证：左边=ninininjijjjjjjjjakaa)(11111ninininjijjjjjjjjaaak11111. .性质3的推论 推论1：假设行列式的某一行(列)中一切元素全为零,那么此行列式的值为零。 推论2：假设行列式的某两行(列)的对应元素成比例,那么此行列式的值为零。即nnnnknkkknkknaaalalalaaaaaaa21212111211. . 性质4：假设行列式的某一行(列)中一切元素都是两个元素的和，那么 此行列式等于两个行列式的和。即nnnnininiiiinaaabababaaaa21221111211=nnnniniinaaa

15、aaaaaa212111211+nnnniniinaaabbbaaa212111211niinininjijijjjjjjjjabaa)() 1(1111)(ninininjijjjjjjjjaaa1111)() 1(ninininjijjjjjjjjaba1111)() 1(. . 例1计算行列式101121111101121111=1012111101011111+11010010. . 性质5：把行列式的某一行(列)一切元素乘以k加到另一行(列)对应元素上,行列式的值不变。即nnnntnttsnssnaaaaaaaaaaaa21212111211k+nnnntntttnsntstsnaa

16、aaaakaakaakaaaaa2121221111211=. .性质回想 性质1：行列式D与其转置行列式D相等,即D=D。 性质2：互换行列式的某两行(列),行列式的值变号。 性质3：行列式中某一行(列)的公因子可提到行列式符号外。 性质4：假设行列式的某一行(列)中一切元素都是两个元素的和，那么 此行列式等于两个行列式的和。 性质5：把行列式的某一行(列)一切元素乘以k加到另一行(列)对应元素上,行列式的值不变。例例2101044614753124025973313211 D二、运用举例计算行列式常用方法：利用运算把行列式计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列

17、式的值化为上三角形行列式，从而算得行列式的值jikrr 3 2101044614753124025973313211 D3 解解2101044614753124022010013211312 rr2101044614753140202010013211 2101044614753124022010013211312 rr 2 3 132rr 4 42rr 2220020100140203512013211 2220035120140202010013211 154rr 143rr 2220001000211003512013211 34rr 2220020100211003512013211

18、23rr 2 6000001000211003512013211 612 454rr .12 6400001000211003512013211 352rr 4 例例2 计算计算 阶行列式阶行列式nabbbbabbbbabbbbaD 解解 abbbnababbnabbabnabbbbna1111 D将第将第 都加到第一列得都加到第一列得n, 3 , 2 abbbabbbabbbbna1111) 1( babababbbbna 1) 1(00 .)() 1(1 nbabna例3xaaaaaaaxaaaaaaaxaaaaaaaxaaaaaaaaDnnnnnnnnnnnn11121113332332

19、2221211111xaaxaaxaaxaaannnn12123121000000000000000)()(1211xaxaxaan112211,nnaxaxax. .例4123111111111111111,1111 1nnaaDaa0,.1,2,.iain(-1)(-1)(-1)(-1)n n (-1)(-1)11213111111000000000naaaaaaa12123131111111111000000000000000000000nnaaaaaaaaaa naaa.32naaaa0.001.00.0100.0111.11132121 a31 a n n 1nanniinaaaaa

20、aa.00.0.01.1/11.22132123111.nniia a aaa. .小结 一、为了协助同窗们记忆行列式的性质,归纳如下： 1.两个翻：全翻(转置)值不变;部分翻(换交)值变号。 2.三个零：某行(列)元素全为零;两行(列)对应位置的元素相等;两行(列)对应位置的元素成比例。 3.三个可：可提性;可加性;可分性。 二、两种计算方法： 1.定义法；主要用于低阶行列式、特殊行列式。 2.用行列式性质将行列式化为上(下)三角形方法。. .在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的

21、余子式，记作的余子式，记作nijaij1 nija.Mij ，记记ijjiijMA 1叫做元素叫做元素 的代数余子式的代数余子式ija例如例如44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 44424134323114121123aaaaaaaaaM 2332231MA .23M 四、行列式按行列展开定义 ,44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD ,44434134333124232112aaaaaaaaaM 1221121MA .12M ,33323123222113121144a

22、aaaaaaaaM .144444444MMA .行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个代数余子式余子式是比所给行列式低一阶的行列式。引理引理 一个一个 阶行列式，假设其中第阶行列式，假设其中第 行一切行一切元素除元素除 外都为零，那末这行列式等于外都为零，那末这行列式等于 与它的与它的代数余子式的乘积，即代数余子式的乘积，即 ijijAaD niijaija44434241332423222114131211000aaaaaaaaaaaaaD .14442412422211412113333aaaaaaaaaa 例如例如 先思索第一行除 外其他均为零情形，再思索普通行第i 行一切元素除

23、外都为零情形。11aija定理定理 n n阶行列式等于它的任一行列的各阶行列式等于它的任一行列的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即元素与其对应的代数余子式乘积之和，即ininiiiiAaAaAaD 2211 ni, 2 , 1 111211212D=+0+00+00+0+niiinnnnnaaaaaaaaa11121111211112112121212=000000nnniiinnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaininiiiiAaAaAaD 2211例例1 计算行列式计算行列式277010353 D解解27013 D.27 按第一行展开，得按第一行展开，得

24、27005 77103 推论推论 行列式任一行列的元素与另一行列行列式任一行列的元素与另一行列的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即. ji,AaAaAajninjiji 02211,11111111nnnjnjininjnjnjjaaaaaaaaAaAa 证证行行展展开开，有有按按第第把把行行列列式式jaDij)det( ,11111111nnniniininjninjiaaaaaaaaAaAa 可得可得换成换成把把), 1(nkaaikjk 行行第第 j行行第第 i,时时当当ji ).(,02211jiAaAaAajninjiji 同理同理).(,

25、 02211jiAaAaAanjnijiji 一样一样关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质 ;,0,1jijiDDAaijnkkjki当当当当 ;,0,1jijiDDAaijnkjkik当当当当 .,0,1jijiij当当，当当其其中中例例23351110243152113 D03550100131111115 312 cc 34cc 0551111115)1(33 055026115 5526)1(31 5028 .40 12rr 0532004140013202527102135 D例例3 计算行列式计算行列式解解0532004140013202527102135 D66027

26、013210 6627210 .1080124220 53241413252 53204140132021352152 13rr 122 rr 1. 行列式按行列展开法那么是把高阶行列式行列式按行列展开法那么是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具的计算化为低阶行列式计算的重要工具. 2.如某一行列中非零元较少，那么选取该行如某一行列中非零元较少，那么选取该行列来展开。列来展开。三、小结思索题思索题阶行列式阶行列式设设nnnDn00103010021321 求第一行各元素的代数余子式之和求第一行各元素的代数余子式之和.11211nAAA 解解第一行各元素的代数余子式之和可以表示成第一行

27、各元素的代数余子式之和可以表示成nAAA11211 n001030100211111 .11!2 njjn例4 范得蒙(Vandermonde)行列式123222212311111231111nnnnnnnnxxxxDxxxxxxxx1,2 .ijj i nxxn 1ijj i nxx ,ijxxji 213111ijnj i nxxxxxxxx 322nxxxx 1.nnxx. .乘积乘积五、 克莱姆法那么 引入行列式概念时,求解二、三元线性方程组,当系数行列式D0时,方程组有独一解,)3 , 2 , 1( iDDxiinnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111 定理Cramer 法那么上面定义的线性方程组，当的系数行列式定义不等于零，即nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 0 .iiDxDjDDjnnnjnnjnnnjjjaabaaaabaaD1,1,111, 111, 111 .