2021年江苏省海安高级中学2021-2021学年高一上学期期中考试数学试题

1、2021 2021 学年度第一学期期中考试高一年级数学（创新试验班）试卷一、填空题：本大题共14 小题，每道题 5 分，共计 70 分请把答案填写在答题纸相应位 置上1 已知集合 axx23x20，就 cr a2 如幂函数fxx的图象经过点2,14,就 f13.3 已知扇形的面积为2平方厘米，弧长为323厘米，就扇形的半径r 为厘米4 函数 fx1x2的单调递减区间为5 已知等比数列an中，a3a 2 ， a4a616 ，就 7a3a9a516.函数 ylnx1的定义域为7 已知 sin 2 x2sinxcosx3cos2x0 ，就 cos2x.8.已知奇函数fx 在,0上单调递减, 且 f2

2、0 , 就不等式fxx10 的解集为uuur9 在 abc 中， d 是 bc的中点， ad 8， bc 20，就 abuuurac 的值10 已 知 数 列an，bn满 足 a11，2anbn1 ，bn 11an1nn*， 就b1b2b2021 11如关于 x 的方程 10lg xa0 有两个不同的实数解，就实数 a 的取值范畴是.12 如图，在uuuruuuruuuruuurabc 中，边 bc 的四等分点依次为d，e， f. 如 abac2， adaf5 ，就 ae 的长为abdefc13. 设 abc 的内角a, b,c 的对边分别是a, b, c , d 为 ab 的中点 , 如 b

3、acosccsina 且cd2 , 就abc 面积的最大值是.14 已知函数fxsinx , 如 对任意 的实数5 ,662, 都存 在唯独的实数0, m , 使 ff0 , 就实数 m 的最小值是 二、解答题 ： 本大题共 5 小题，共计90 分请在答题纸指定的区域内作答 ，解答时应写出文字说明，求证过程或演算步骤15（ 此题满分 14 分）已知集合 ax3x5 , bx m1x2m1,cxz xa或xb(1) 当 m3 时，用列举法表示出集合c；(2) 如 a ibb ，求实数 m 的取值范畴 .16. （此题满分 14 分）已知函数 fx2cosxcosx3, xr .6(1) 求函数

4、fx的最小正周期；(2) 在abc 中，角求abc 的面积 .a, b,c 的对边分别为a, b, c . 如锐角 a 满意 fa1 ， c且 c2 ，2617（ 此题满分 14 分）已知数列an的前 n 项和为sn ，且 sn4 an3nn * n1nn1n（1） 证明：数列an是等比数列n（2） 如数列b满意babnn * ，且 b2 ，求数列b的通项公式18（ 此题满分 16 分）某市将建一个制药厂，但该厂投产后估计每天要排放大约80 吨工业废气，这将造成极大的环境污染 . 为了爱护环境，市政府打算支持该厂贷款引进废气处理设备来削减废气的排放，该设备可以将废气转化为某种化工产品和符合排放

5、要求的气体，经测算， 制药厂每天利用设备处理废气的综合成本y （元）与废气处理量x （吨）之间的函数关系可近似地表示为40x1200，0x40y2x2100x5000， 40, 且每处理 1 吨工业废气可得价值为80 元的某种化工产x80品并将之利润全部用来补贴废气处理.（1）如该制药厂每天废气处理量方案定为x 吨，且工厂不用投入废气处理资金就能完成方案的处理量，求 x 的取值范畴；（ 2）如该制药厂每天废气处理量方案定为x 40x80 吨，且市政府打算为处理每吨废气至少补贴制药厂a 元以确保该厂完成方案的处理量总是不用投入废气处理资金，求a 的值.19.（ 此题满分 16 分）设 a 为实数

6、，函数f x2x xaa, xr .（1） 求证： f x 不是 r 上的奇函数；（2） 如f x是 r 上的单调函数，求实数a 的值；（3） 如函数 f x 在区间2, 2 上恰有 3 个不同的零点，求实数a 的取值范畴 .20 本小题满分 16 分已知数列an中，a13 ，前 n 项和sn 满意an 12sn3 （ n* ）（1） 求数列an的通项公式；（2） 记 ban，求数列b的前 n 项和 t ；nnna1a1nn 1（3） 是否存在整数对m, n （其中 mz ， n* ）满意 a 2m2 a7m50 ？如存nn在，求出全部的满意题意的整数对m, n；如不存在，请说明理由【填空题答

7、案】11 ，229324,2 ,2,5. 46.1,2u 2,7 0 或 4582,0u 1,2.9. -36101202113.2114.2【解答题答案】11. a112.615【解】 1 当 m3 时，就bx 4x5 ， 2分所以 c3,2,1,0,1,2,3,4,55分2 如 a ibb ，就 ba 7分当 b时， m12m1 , 解得 m2 ； 9分当 b时，由m12mm132m151, 解得 2m3 12 分综上所述，实数 m 的取值范畴是 m3 .14 分16【解】（ 1）f x2sin2 x3 ， 3分所以周期为.5分（ 2）q fa1 ,2sin2 a1 .232sin2 a1

8、 , 由于 a 为锐角，所以 0a,2 a2.所以， 2 a32，得 a,36423338分由正弦定理，ac,得出 a22.0 1分所以 sinbsinsinasin cacsinacsinacosccosasinc6212 分4所以 s1 acsinb12226213 分1422417【解】（ 1）由 sn4an3 可知当 n1 时 a14a13 ，解得a11 2 分当 n2 时， sn4 an3 ， sn 14an 13 ，两式相减得a4a4a，即 a4 a，nnn 1nn 13n a是首项为 1，公比为 4 的等比数列 6 分（2）由（ 1）可知 an34 n 13，依据题意bn 1bn

9、an4n 13. 8 分所以当 n2 时， bbbb bb lbbn 1341 12 分n12132nn 13当 n1 时上式也满意条件，故数列bn 的通项公式为 bnn 1341 14 分318【解】（1）由题意可知， 当 0x40时， 令 80x40x12000 ，解得 30x40 ； 3 分当 40x80 时，令80 x2 x2100 x50000 ，即2 x2180 x50000 ，此时 v180 24250000 ，无解 . 6 分综上所述，当该制药厂每天废气处理量方案为30，40吨时，工厂可以不用投入废气处理资金就能完成方案的处理量. 8 分（ 2）市政府为处理每吨废气补贴a 元就

10、能确保该厂每天的废气处理不需要投入资金，当40x80 时，不等式80 xax2 x2100 x50000 恒成立，2即 2x180a x50000 对任意 x40，80恒成立，2令 g x2x180a x5000就 g 400a85g 8002. 14 分故市政府只要为处理每吨废气补贴852元就能确保该厂每天的废气处理不需要投入资金. 16 分19【解】（ 1）假设f x是 r 上的奇函数，就对任意的 xr，都有 f xf x（ * ）取 x0 ，得f 00 ，解得 a0 ， 2 分此时 f 13,f 11 ，从而f 1f 1，这与（ * ）冲突，所以假设不成立，所以f x 不是 r上的奇函数

11、；4 分（2）f xx2a22 xa, xaxa2 x3a, xa 当 a2 时，对称轴 xa2a ，所以2f x 在, a22上单调递减，在a2 , a上单2调递增，在 a,上单调递减，不符；6 分 当 a2 时，对称轴 xa2a ，所以2f x 在,a 上单调递减， 在a, a22上单调递增，在a2 ,2上单调递减，不符；8 分当 a2时，对称轴 xa2a ，所以f x 在,2上单调递减， 在 2,上单调递减，2所以 f x 是 r 上的单调减函数综上， a2 10 分（3）当 a2 时，由（ 2）知，f x 是 r 上的单调减函数，至多1 个零点，不符；当 a2时，由（ 2）知， 2xa

12、2a ，所以f x在2,2上单调递减，2所以 f x 在2,2 上至多 1 个零点，不符；12 分当 a2时，由（ 2）知， 2xa22a ，所以f x在,a上单调递减，在a, a22上单调递增，在a2 ,22上单调递减由于 f x 在区间2,2 上恰有 3 个零点，所以 f 20, f a0, f a2 02f 20解得 0a423，综上，实数a 的取值范畴是0,423 16 分20【解】 当 n2 时，an 12sn3 与 an2sn 13 相减，得 an 1an2 snsn 12an ，即 an13an （ n2 ）， 2 分在 an12sn3 中，令 n1 可得，a29 ，即 a23a1 ； 3 分n故 an 13an （ nn），*故数列an 是首项为 3 ，公比也为 3 的等比数列，其通项公式为a3n ； 5 分由 知， bnanan1an 113n3n13n 1111123n13n 11， 8 分1111111111就 tnnn 1n 1 10 分22882