变上限定积分及微积分基本定理ppt课件

1、如如果果函函数数)(xf在在闭闭区区间间,ba上上连连续续，证证Mdxxfabmba )(1)()()(abMdxxfabmba 由闭区间上延续函数的介值定理知由闭区间上延续函数的介值定理知则则在在积积分分区区间间,ba上上至至少少存存在在一一个个点点 ，使使dxxfba )()(abf . . )(ba 定理定理1 1定积分中值定理定积分中值定理积分中值公式积分中值公式在在 区区 间间,ba上上 至至 少少 存存 在在 一一 个个 点点 ，使使,)(1)( badxxfabfdxxfba )()(abf .)(ba 在在区区间间,ba上上至至少少存存在在一一个个点点 ，即即积分中值公式的几何

2、解释：积分中值公式的几何解释：xyoab )( f使使得得以以区区间间,ba为为以以曲曲线线)(xfy 底底边边，为曲边的曲边梯形的面积为曲边的曲边梯形的面积等等于于同同一一底底边边而而高高为为)( f的的一一个个矩矩形形的的面面积积。 设设函函数数)(xf在在区区间间,ba上上连连续续，并并且且设设x为为,ba上上的的一一点点，调查定积分调查定积分( )xaf t dt 记记.)()( xadttfx变上限积分积分上限函数变上限积分积分上限函数 如如果果上上限限x在在区区间间,ba上上任任意意变变动动，则则对对于于每每一一个个取取定定的的x值值，定定积积分分有有一一个个对对应应值值，所所以以

3、它它在在,ba上上定定义义了了一一个个函函数数，二、变上限积分abxyoxx 证证dttfxxxxa )()()()(xxx dttfdttfxaxxa )()()(x x微积分学第一根本定理原函数存在定理微积分学第一根本定理原函数存在定理 延续函数的原函数一定存在延续函数的原函数一定存在 dttfdttfdttfxaxxxxa )()()(,)( xxxdttf由积分中值定理得由积分中值定理得xf )( ,xxx xx , 0),( fx )(limlim00 fxxx ).()(xfx abxyoxx )( x x21xdx dxdx xdttdxd122x xtdttdxd12sinxx

4、 sin2 xtdtxdxd12sinxx sin2 ?21xdx dtdx 2x xdxxdxd12 xdtxdxd12 xdtxdxd12x2 xdt12x 1 题型题型1：积分上限函数求导：积分上限函数求导 xtdtxdxd12sin xtdtxdxd12sinx2 xtdt1sin2x xsin xdttftxdxd1)()( xdttxfdxd1)( xdtttfdxd1)( xdttfxdxd1)( xdtttfdxd1)( xdttf1)()(xxf )(xxf xdttf1)( 推推广广1 1： ( ), ( )f xx 若若连连续续可可导导( )( )xadf t dtdx

5、则则 ( )( )fxx )()()(xxdttfdxd )(xf )(x )(xf )(x 原理：原理： )()()(xxdttf cxdttf)()( )()(xcdttf )()(xcdttf )()(xcdttf 推推广广2 2：推导：推导： )( x 设设 )()(xadttf ( )( )xuuaf t dt dxd dxdudud )(uf )(x )(xf )(x xxxdxdxdln34arctan xln4arctanx1 34arctan x23x21cos02limxdtextx 0)00(lim xxe2cos )sin(x x212e xtxtxdtedte0220

6、22)(lim2xe 22xe xlim)( xtdte022 xlim)(22xe2xex20 题型题型2：洛必答法那么求极限及分段函数的延续性和可导性：洛必答法那么求极限及分段函数的延续性和可导性定理定理1 1p119p119微积分根本定理微积分根本定理又又 dttfxxa )()(也也是是)(xf的的一一个个原原函函数数, 已已知知)(xF是是)(xf的的一一个个原原函函数数，( )( )F xxc,bax 证证微积分学第二根本定理微积分学第二根本定理Newton-Leibniz 公式公式 不定积分和定积分的关系不定积分和定积分的关系若若( ) , ,f xC a b )()(xfxF

7、( )baf x dx 则则( )baF x ( )( )F bF a令令ax ( )( ),F aac ( )( )0aaaf t dt 又又( ),F ac ),()()(aFxFdttfxa ( )( ),xaF xf t dtc 令令 bx).()()(aFbFdxxfba )()()(aFbFdxxfba 微积分根本公式本质：微积分根本公式本质： baxF)( 一个连续函数在区间一个连续函数在区间,ba上的定积分等于上的定积分等于它的任意一个原函数在区间它的任意一个原函数在区间,ba上的增量上的增量.留意留意当当ba 时，时，)()()(aFbFdxxfba 仍成立仍成立.求定积分问题转化为求原函数的问题求定积分问题转化为求原函数的问题.例例 求求 .)1sincos2(20 dxxx原式原式 20cossin2 xxx .23 解解70|-2|xdx 例27270202|2|2|(2)(2)xdxxdxx dxxdx 原原式式= =例例 求求 解解.112dxx 当当0 x时时，x1的的一一个个原原函函数数是是|ln x,dxx 121 12|ln x. 2ln2ln1ln 解解 面积面积xyo 0sin xdxA 0cos x. 2 例例设设 f (x)是延续函数是