双曲线的渐近线及离心率问题

1、完美.格式.编辑第30练 双曲线的渐近线和离心率问题题型分析 高考展望双曲线作为圆锥曲线三大题型之一，也是高考热点，其性质是考查的重点，尤其是离心率与渐近线.考查形式除常考的解答题外，也会在填空题中考查，一般为中等难度.熟练掌握两种性质的求法、用法是此类问题的解题之本常考题型精析题型一双曲线的渐近线问题2 2X y例1 (1)(2015重庆)设双曲线孑b2= 1(a 0, b 0)的右焦点是F,左，右顶点分别是 Ai,A2,过F作A1A2的垂线与双曲线交于 B, C两点，若AiB丄A2C,则该双曲线的渐近线的斜率为.2X2(2014江西)如图，已知双曲线 C: T y2= 1(a0)的右焦点为

2、F.点A, B分别在C的两条a渐近线上，AF丄x轴，AB丄OB, BF/ OA(O为坐标原点).专业.资料.整理.由y=bx?ab2 2予bS 1（a0，b0）中的 “1用(2)已知双曲线渐近线方程：bx2 2y = ，可设双曲线方程为 字器=X(疋Q)求出入即得双曲线所以可以把标准方程0替换即可得出渐近线方程方程. 求双曲线C的方程；X0x3 过C上一点P(X0, y)(y0M 0的直线I :孑y0y= 1与直线AF相交于点M,与直线x = ?相MF 交于点N.证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值.NF点评(1)在求双曲线的渐近线方程时要掌握其简易求法变式训练12 2 Xy(201

3、4 山东改编)已知ab0,椭圆Ci的方程为孑+=1,双曲线C2的方程为2 2 令1 a b，Ci与C2的离心率之积为 習，则C2的渐近线方程为.题型二双曲线的离心率问题例2 (1)(2015湖北改编)将离心率为ei的双曲线G的实半轴长a和虚半轴长b(a曲)同时增加m(m0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2,则下列命题正确的是 . 对任意的a， b， eie2； 当 ab 时，eie2;当 ab 时，eie2； 对任意的a， b， ei b 时，eie2；当 ae2.2 2x y已知O为坐标原点，双曲线 孑一2= i(a0, b0)的右焦点为F,以OF为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点

4、的两点点评在研究双曲线的性质时,A、B,若(AO+ AF) OF= 0,则双曲线的离心率 e为实半轴、虚半轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要c内容；双曲线的离心率涉及的也比较多.由于e = c是一个比值，故只需根据条件得到关于 a、ao o ob、c的一个关系式，利用b2= c2- a2消去b，然后变形求e,并且需注意 ei.同时注意双 曲线方程中x, y的范围问题.J2 2 变式训练2 (20i4湖南)如图，O为坐标原点，椭圆 G : %+ 2 a b=i(ab0)的左、右焦点分别为Fi、F2,离心率为 ei;双曲线2 2X yC2： r 2= i的左、右焦点分别为F3、F4,离心率为

5、e2.已知eie2 a b=于，且 F2F4= , 3 i.(i)求Ci, C2的方程;过Fi作Ci的不垂直于y轴的弦AB,M为AB的中点，当直线OM与C2交于P, Q两点时, 求四边形APBQ面积的最小值.题型三双曲线的渐近线与离心率的综合问题例3(2014福建)已知双曲线E:为 li: y= 2x, I2： y=- 2x.(1) 求双曲线E的离心率；(2) 如图，O为坐标原点，动直线2 2分别在第一、四象限)，且厶OAB的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线I有且只有一个 公共点的双曲线 E?若存在，求出双曲线 E的方程；若不存在，请说明理由点评 解决此类问题：一是利用离心率公式，渐近线方

6、程，斜率关系等列方程组.二是数形结合，由图形中的位置关系，确定相关参数的范围2 2变式训练3 (2014浙江)设直线x 3y+ m = 0(m丰0与双曲线X2 占=1(a0, b0)的两条渐a b近线分别交于点 A, B.若点P(m, 0)满足PA= PB,则该双曲线的离心率是 .高考题型精练2X 21. (2015课标全国I改编)已知M(X0, y。)是双曲线C: 2 y = 1上的一点，F1, F2是C的两个焦点，若MF1 MF20,则y0的取值范围是 .2 2 2 22. (2。15镇江模拟)已知0e0, b0)的两条渐近线均和圆 C： x + y 6x + 5 = 0相切，且双曲线的右

7、焦点为圆 C的圆心，则该双曲线的方程为 .2 2 2 24. 以椭圆169+44 = 1的右焦点为圆心，且与双曲线 6= 1的渐近线相切的圆的方程是2 2 2 25. 已知双曲线器=1(a0, b0)以及双曲线 字一餌1的渐近线将第一象限三等分，则双2 2曲线x2 = 1的离心率为a b2 26. (2015镇江模拟)已知双曲线C:字一= 1 (a0, b0)的左，右焦点分别为 F1, F2,过F2作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若F2H的中点M在双曲线C上，则双曲线 C的离心率为.2 22XV7. 已知抛物线y= 8x的准线过双曲线 孑一b2= 1(a0, b0)的一个焦点，且双曲线

8、的离心率为2，则该双曲线的方程为 .8. 已知双曲线C的中心在原点，且左，右焦点分别为Fi, F2,以F1F2为底边作正三角形，若双曲线C与该正三角形两腰的交点恰为两腰的中点，则双曲线C的离心率为.2 2x y9. 已知Fi, F2分别是双曲线 孑一b= 1 (a0 , b0)的左，右焦点，过点 F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是 X 2 y12. (2015盐城模拟)已知双曲线x2 b= 1 (a0, b0)的右焦点为F(c,0).22 1 2、10. 过双曲线 孑一孑=1 (a0, b0)的左焦点F作

9、圆x + y = 4a的切线，切点为 E,直线EF交双曲线右支于点 p,若OE= |(Of+Op)，则双曲线的离心率是 .2 211. 已知双曲线02 X(1)若双曲线的一条渐近线方程为y = x且c= 2,求双曲线的方程；= 1 (a0, b0)的一条渐近线方程为 2x + y= 0,且顶点到渐近线的距离为25以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A,过A作圆的切线，斜率为一.3，求双曲线的离心率.-(1) 求此双曲线的方程；(2) 设P为双曲线上一点，A, B两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若 AP=鬲，求厶AOB的面积.答案精析第30练 双曲线的渐近

10、线和离心率问题常考题型典例剖析2 2x yA1（ a, 0）, A2（a,0），易求解析 双曲线孑一詁=1的右焦点F(c,O)，左，右顶点分别为心C a，C2b_akA2C=,a ca 厂kAiB=arc，又AiB 与A2C 垂直，a a则有 kAiB kA2C= 1，即 = 1 ,a + c a cb42a2222 = 1, /. a = b，即 a = b,c a渐近线斜率k=a =1- 解 设F(c,0)，因为b = 1，所以c= .a2+ 1,1直线OB的方程为y= x,1直线BF的方程为y = (x c),a解得b(2 ,舊).1又直线OA的方程为y=-x,ac_c_小ca2a 3则

11、 A(c, a), kAB=c = jc 231又因为AB丄OB,所以一(一一)=1 ,a、 a，解得a2 = 3,2x 2故双曲线C的方程为y2= 1.由知a = .3,则直线I的方程为X0Xyoy= l(yo 丰 0,即 y=X0X 33yo因为直线AF的方程为x= 2,所以直线1与AF的交点为2xo 3M(2，3yo)；3“、3xo-332直线1与直线x=的交点为Ng亍）.X02MF2 叵xo-3 2 则 NF=32 9y2 9212xo十 + 4 xo 24+ L4xo =3 乔X -2X02因为P(xo, yo)是C上一点，则yo= 1,代入上式得MF2 4xo-3 2NF2 = 3

12、 X2 3 +X024xo 3 2 43 4xo 12xo + 9 3， 即所求定值为第=23 =罕 变式训练1 x 2y= o 解析由题意知e! = C1, e2= C2,aa:eie2 = a aci C2C1C22 aa2 b22 2CiC2 4a又 a2 = b2 + c2，c2= a2+ b2,444=1（；）a b4 a即 1 (b)4= 3a丿4” m b2解得a = r，2 2令字-*=,解得bx旬=o, x 2y = o.例 2(1)(2) 2解析(1)由题意ei =22a + b2 -ai + b 2；双曲线C2的实半轴长为a+ m，虚半轴长为 b + m,离心率e2 =-

13、2 2 a+ m + b + ma + ma0, b0,因为中b = 1，且 a+ m a a a + m所以当ab时，九肾0,b + m b即arm订又o, ao, a+ m a 所以由不等式的性质依次可得詈2 ab + ma+ m21+ I?，ib + mi + a+ m即e2ei;同理，当ab时,m a b a a + m0,可推得 e2b时，ei e2;当ae2. = my i, 由恰y2= i22得（m + 2）y 2my i = 0.(2)如图，设OF的中点为T,由(AO+ AF) OF= 0可知AT丄OF, 又A在以OF为直径的圆上， A |, | ,b又A在直线y = -x 上

14、,a- a = b , - e = - , m ),m + 2 m + 2 八故直线PQ的斜率为一罗,PQ的方程为y= Tx.y =-，由2得(2 m* 2)x2 = 4,所以2 m m2 m 0,且x2 24 2 mPQ= 2 x2+ y2从而2d =m +2 I yi y2|从而 设点A到直线PQ的距离为d , 则点B到直线PQ的距离也为d ,所以2d =| mxi + 2yi | + | mx2 + 2y2|m2+ 4因为点A, B在直线mx + 2y = 0的异侧, 所以(mxi+ 2yi)(mx2+ 2y2)0 ,于是 | mx i + 2yi| + | mx2+ 2y?| =| m

15、xi+ 2yi mx2 2y2| ,又因为 |yi y2| = . yi + y2 4yiy22 ;2 1 + m= 2 . 2 ,m + 2所以2d =1故四边形APBQ的面积S=322 m 而02 m22 或 k 2,贝U C( , 0).记 A(X1, y1), B(x2, y2).,ry = kx + m , 由|y = 2x,得y1 =2m2 k,同理，得2my2=.由 oab= | OC| I y1 y2|，得1 m 2m 2m2| k | “ k 2 + k| = 8,即 m2= 4|4 kj = 4(k2 4).y = kx + m , 由卜16 = 1, 得(4 k2)x2

16、2kmx m2 16= 0.因为 4 k20,所以= 4k2m2+ 4(4 k2)(m2 + 16)2 2=16(4k m 16).又因为 m2= 4(k2 4),所以= 0,即I与双曲线E有且只有一个公共点.因此，存在总与2 2l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的万程为4 - 16= 1.2 2方法二 由(1)知，双曲线E的方程为九=1.a 4a设直线 I 的方程为 x= my +1, A(x1, y1), B(x2, y2).1 1依题意得1m1；.得y1 =2t1 2mrx = my +1 , 由ty = 2x,2t 同理，得y2= E.设直线I与x轴相交于点C,则C(t, 0).1由

17、 Saoab= 2 OC y1 y2| = 8，得12it|2t2t1 2m 1 + 2m所以 t2= 4|1 4m2| = 4(1 4m2).x = my +1 ,亠t丿22由x_卫一42 2= 1.a 4a ， 得(4m2 1)y2+ 8mty + 4(t2 a2) = 0.因为4m2 10 ,直线I与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当= 64m2t2 16(4m2 1)(t2a2) = 0,即 4m2a2 +12 a2= 0,即 4m2a2 + 4(1 4m2) a2= 0,即(1 - 4m2)(a2 4) = 0,所以a2 = 4,因此，存在总与I有且只有一个公共点的双曲线E,2 2且

18、E的方程为-花=1.变式训练3三52X解析双曲线弋a2話=1的渐近线方程为y=b x.af b,y = x,由ax 3y + m = 0am得A匸bm3b a)，r =b由 y= aX，x 3y + m = 0am得B(冇bma+ 3b)，23b m2a m所以AB的中点C的坐标为（ 一， 一）.9b a 9b a 八设直线 I: x 3y+ m = 0(m 丰 0)因为PA= PB,所以PCX I, 所以kpc= 3,化简得a2= 4b2. 在双曲线中，c2= a2+ b2= 5b2, 所以e=乙专.a 21.-.3.33，3解析由题意知a=話2, b = 1, c= 3,常考题型精练-F1

19、( .3, 0), F2( 3, 0),MF 1 =(岑3 X。，一 y), MF2= C,3 x。，一 y).T MF1 MF20, ( 3 xo)(V3 xo) + y00, 即 x 3 + y0.点M(X0, y0)在双曲线上，2 x2 y0 = 1，即 卩 x2 = 2 + 2yo, 2 + 2y94. x + y 10x + 9= 0 3+ yo0, b0)的渐近线方程为y =，设直线方程为y = b(x c)，与a baay= ?x联立求得M, bc j,因为M在圆外，所以满足MF1 MF20,可得一3c2 +詹f0,c解得e=-2.a10.解析 设双曲线的右焦点为 F1,连结PF1. 1 -由OE= 2(OF+ OP)知，E是FP的中点.又O是FF1的中点， OE/ PF1,且 OE= 1PF1，易知 OE 丄 FP, PR 丄 FP, PF2+ 卩冃=FFi, PF1 = a , PF= 2a + PF1 = 3a,JQ2c 22、2 9a + a = (2c),解得严2,b = 1 ,代=2,11 .解(1)依题意得|2