2021-2021学年高中数学第一章直线、多边形、圆2.2圆的切线的判定和性质学案北师大版选修4-1

1、2. 2圆的切线的判定和性质对应学生用书 P15自主学习1.切线的判定定理文字语言付号语言图形语言切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线0A是圆0的半径.直 线1丄0A且 A l，贝U l是圆0的切线r3.切线长定理过圆外一点作圆的两条切线，这两条切线长相等._ 合作探究 怎样求圆的切线长？ 提示：禾U用圆外的点、圆心、切点构成的直角三角形求长.对应学生用书P16把握 fit 审口切线的判定定理的应用例1 如图，在 ABC中，/ 890, BE是角平分线，DEL BE交AB于D O O是厶BDE的外接圆.求证： AC是O O的切线.思路点拨此题主要考查切线的判定问题，解

2、此题时只需证明ACL OE即可.精解详析连接OE/ OE= OB/ OEB=Z OBE又 BE平分/ CBD:丄 CBE=Z DBE/ OEB=Z CBE EO/ CB/ C= 90,./ AEO 90,即卩 ACL OE/ E为OO半径OE的外端， AC是O O的切线.育逹规律卜结证明直线与圆相切一般有以下几种方法：(1)直线与圆只有一个公共点；圆心到直线的距离等于圆的半径；(3)切线的判定定理.几何证明问题常用方法(3).k.11如图，AB是O O的直径，BC交O O于点D, DEL AC于点E,要使DE是 O O的切线, 还需补充一个条件，那么补充的条件不正确的选项是()B. AB= A

3、CA. DE= DO解析：选A当AB= AC时，如图:连接AD因为AB是O 0的直径，所以ADL BC所以CD= BD因为A0= BQ所以00是厶ABC的中位线，所以OD/ AC,因为DEL AC,所以DEL OD所以DE是O 0的切线所以B正确.当 CD= BD时，AO= BQ同B,所以C正确.当AC/ OD时,因为DEL AC所以DEL OD所以DE是O O的切线.所以D正确.2.D是厶ABC的边AC上的一点,AD： DC= 2 : 1 , / C= 45 , / ADB= 60 ,求证:AB是 BCD勺外接圆的切线.证明：如图，连接OB OC OD/ DCB是BD所对的圆周角,/ BOD

4、1险所对的圆心角，/ BC= 45, / BOD= 90/BCD勺一个外角，/ DB(=Z ADB-Z ACB= 60 45= 15c Z DO= 2Z DB= 30,从而Z BO= 120/ OB= OC / OBC=Z OCR 30. 在厶 OEC中/ EOC=/ ECO 30, OE= EC在厶BOE中/ BOE= 90,/ EBO= 30,CE CD 1 BE= 2OE= 2EC 二 BE= DAT 2， AB/ ODABO 90,故AB BCD勺外接圆的切线| 切线的性质定理的应用例2 如图，/ Cr 90，点 O在AC上，CD为O O的直径，O O切AB于 E,假设BC=5, AC

5、= 12.求O O的半径./思路点拨OO切AB于点E,由圆的切线的性质，易联想到连接OE构造Rt OAEO的半径. AB= 13,再利用相似三角形的性质，求出O 精解详析连接OE AB与O O切于点 E, OEL AB即/ OET 90./ 0= 90,/ A=/ A, Rt ACB Rt AEOOE AO bCT Ab v BC= 5, AC= 12,OE 12 OE5 =13， OE= 103即O O的半径为罟.方逹规律卜结1其中连接圆心和切点利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算有时需添加辅助线,的半径是常用辅助线，从而可以构造直角三角形，利用直角三角形边角关系求解，或利用勾股定理求解

6、，或利用三角形相似求解等.3.如图，AB切O 0于点B,延长AO交O 0于点C,连接BC假设/ A= 40,那么/ C=()A. 20C. 40B. 25D. 50解析：选B连接OB因为AB切OO于点B,所以 OBL AB,即/ ABO= 90,所以/ AOB= 50,又因为点C在AO的延长线上，且在O O上,1 所以/ C= 2/ AOB= 25.4. AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB延长线于点 C,假设DA= DC求证：AB= 2BC证明：连接OD那么ODL DC又 OA= OD DA= DC所以/ DAOZ ODA=Z DCO/ DOZ DAG-Z ODA= 2/

7、 DCO所以/ DCO= 30, Z DOG 60 ,所以 OC= 2OD 即 OB= BC= OD= OA所以AB= 2BC例3 如图，在厶ABC中 , AB= AC以AB为直径的O O交BC于 D, 过D作O O的切线交 AC于 E求证：DEL AC思路点拨 此题主要考查切线性质定理的应用解题时由于DE是O O的切线，贝U ODL DE故要证 DEL AC只需证明 OD/ AC即可.精解详析连接OD AD如图./ AB为O O直径， ADL BC AB= AC即厶ABC为等腰三角形, AD为BC边上的中线，a即 BD= DC又 OA= OB OD ABC的中位线. OD/ ACDE切O O

8、于 D OD-DE DEL AC方沬规律小结这是解决圆的切与圆的切线有关问题往往连接圆心与切点添加辅助线后出现垂直关系, 线问题的一个关键点.L15.如图，PA PB是O O的切线，A, B是切点，AC是O O的直径，/ BAC= 20，求/ P解：如图，连接BC与 O O的度数./ OAP=Z OB2 90,/ OAB=Z OBA 又/ BAC= 20,/ OBA= 20,/ BAP= 90-/ BAC= 70,/ ABP= 90-/ OBA= 70. / P= 180/ BAP- / ABP= 406.如图， AD为O O的直径，B为AD延长线上一点, 切于C点，/ A= 30.求证：BD

9、- CD(2) AOg BDC证明：因为AD为OO的直径，所以/ AC- 90,又因为/ A= 30, OA= OC= OD所以/ ACO 30,/ OD- / OC- 60,又因为BC与OO切于C点，所以/ OCB= 90,所以/ BCt 30，所以/ B= 30,所以/ BCD- / B,所以 BD- CD因为/ A- / AC / BC- / B= 30,所以AC= BC在厶AO和 BDC中,/ A=Z B,AC= BC/ ACO=/ BCD所以 AOCA BDC本节热点椭浙美注L-本课时主要考查圆的切线的性质定理与判定定理的应用，题目难度中档.考题印证ABC= 30,过点A作圆O如图，

10、圆O的半径为1, A, B, C是圆周上的三点，满足/的切线与OC的延长线交于点P,命题立意此题主要考查圆的切线的性质定理和圆周角定理的应用.自主尝试如图，连接OA由/ ABC= 30,得/ AOC= 60,在直角三角形AOF中，OA= 1,于是 PA= OAan 60 = 3.答案：.;3、选择题1 矩形的两邻边长分别为 2.5和5,假设以较长一边为直径作半圆，那么矩形中与半圆相 切的边有A. 1条B. 2条C. 3条D. 0条解析：选C以较长的边为直径作半圆，半径正好与另一边相等，所以由图可知，与半圆相切的边有3条.2.如图，O0内切于 ABC切点分别为/ ACB= 60，连接 OE OF

11、 那么/ EOF=(A. 30C. 100解析：选 C 因为/ ABC= 40, / ACB= 60,所以/ A= 80,那么/ EOF= 180 80=1003.如图，AB是O O的直径，点 P在AB的延长线上,PC与O O相切于点C, PC= AC= 1，那么O O的半径为A.B.D.C.解析：选A 连接OC设/ PAC= e .因为PC= AC所以/ CPA= e,/ cop= 2 e.又因为pc与o o相切于点 c,所以ocl pc所以3 e = 90.所以 e = 30 .设O O 的半径为 r,在 Rt POC中, r = CP- tan30 =3 .4如图，在O O中，AB为直径

12、，AD为弦，过B点的切线与AD的延长线交于 C,假设AD= DC那么sin / AC3 ()A.1010B.10D.C.解析：选A连接BD那么 BDL AC/ AD= DC BA= BC BC是O O的切线，切点为 B,/ OBC= 90, / BCA= 455OcAD=R连接OD由OD/ BC得:5OB sin / BCO=等OBOC ：5OB 5 cos Z BCO= BC- 2OB-/ sin Z AC( sin(45 Z BCO sin45 cos Z BCO- cos45 sin Z BCO= x 1-5 25迟x亘匹2510 、填空题解析：设O O与BC边的切点为D,连接OD以及O

13、C如图，由等边三角形的内切圆的性质可得ODL BCZ OC 30, OD即为圆的半径.又由 BC= 2，那么 CD= 1,所以在 Rt OCDK OD tan30 , CD解得OD=答案：-36.如图， EB是半圆O的直径，A是BE延长线上一点， AC切半圆O于点D BCL? R4，故 AE 10 2F |,OD AO R 10 R15 ?BC AB 6 105.如图，O O是边长为2的等边 ABC的内切圆，那么O O的半径为AC于 C,假设 BC 6, AC 8,贝U AE=解析：据题意设圆的半径为wn丄AD OD中由ACT BC 得 AD= 5.答案：I 57.PA是圆O的切线，切点为 A

14、, PA= 2, AC是圆O的直径，PC与圆O交于B点,PB= 1,那么圆O的半径R=.解析：AB= P_ PB =由 AB= PB- BCBC= 3,Rt ABC中, AC= A扌 + BC= 2 3.R= J3.答案：38.如图，O 0为厶ABC的内切圆，/ C= 90, AO的延长线交BC于点D, AC= 4, CD= 1，那么O O的半径等于 .解析：如下图，设点 E为BC与O O的切点，连接 OE那么OE丄 BC 又/ C= 90, OE/ AC CE= OE= r,DE= 1 r.de_oeDC= AC,4答案：4三、解答题9. 如图，AC是OO的直径，PA是O O的切线，A为切点

15、，连接 PC交O O 于点B,连接AB且PC= 10, PA= 6.求：1 O O的半径.2cos / BAC的值.解：1因为AC是O O的直径，PA是O O的切线,所以 CAL PA 即/ PAC= 90,因为 PC 10, PA= 6,1所以 AG=PC二PA = 8,所以 OA2AC= 4,所以O O的半径为4. 因为AC是O O的直径，PA是O O的切线,所以/ ABO / PAO 90,所以/ P+Z C= 90,/ BAOZ C= 90,所以/ BAC=Z P,亠亠PA 63在 Rt PAC中, cos / P= pc= 10= 5,所以 cos / BA= 3.510.如图， P

16、AB是O O的割线，AB为O O的直径.PC为O O 的切线，C为切点，BDL PC于点D,交O O于点E, PA= AO= O= 1.(1) 求/ P的度数；(2) 求DE的长.解：(1) v C为切点， OCL PC POC为直角三角形./ OC= OA= 1,PO= P阳 AO= 2,OC 1/- sin P= po= 2. / P= 30 . v BDL PD 在 Rt PBD中,3 由/ P= 30, PB= PA+ AOb OB= 3，得 BD=连接 AE 那么/ AE= 90,. AE/ PD / EAB=Z P= 30,. BE= ABsin30 = 1,DE= BD- BE=11如下图，O O的外切四边形 ABCDi直角梯形,B= 90.(1)求证：OCL OD 假设CD= 4 cm, / BC= 60，求O O的半径.解：(1)证明：