第2节等差数列及其前n项和

1、第五章第二节等差数列及其前n项和题组一等差数列的判定与证明1设命题甲为a b, c成等差数列”，命题乙为“半+卡二2”，那么（）A甲是乙的充分不必要条件B甲是乙的必要不充分条件C甲是乙的充要条件D甲是乙的既不充分也不必要条件解析：由？+ 7二2，可得a+ c二2b，但a、b、c均为零时，a、b、c成等差数列，但* + bbb工2.b答案：B2. 在数列an中，a二 1, an+i= 2an+ 2n.（1）设，二强，证明：数列bn是等差数列；求数列an的前n项和Sn.解：（1）证明：由已知an+1二2an+ N得an +1 2 an 4- 2n anbn+ 1 =2八=2a =+ 1 = bn+

2、 1.又bi二a仁1,因此 bn）是首项为1 ,公差为1的等差数列.（2）由（1）知二 n,即 an= n2n1.Sn= 1 + 2X 21 + 3X 22+ + nX 2叮,两边乘以2得，2Sn= 2+ 2X，+ nX 2n.两式相减得Sn二1 21-222n-1+ nN（2n 1） + nN二（n- 1） 2n+ 1. （2009福建高考）等差数列an的前n项和为Sm且S3二6,33= 4，则公差d等于（题组二等差数列的基本运算C. 2 D 3解 . S3 (a1+ 23)x3 = 6,而 as 4, ai 析：0.S3 ai二 2.答案：c4. (2010广州模拟)已知数列an的前n项和

3、3= nJ 9n，第k项满足5vay8,则k等于()A. 9B. 8C. 7D. 6解析:an =Si(n = 1)Si 一 Si(n 2)8(n= 1)二 2n 10,10+ 2n (n 2)5v akv 8, 5v 2k 10v 8,15k9，又 / k N,.k二 8.答案：B5. 已知等差数列解析：由6+ 30an中，购二6 , 35= 15,若bn二a2n,则数列bn的前5项和等于.a2= ai + d二 6,ai = 3,- - an= 3+ 3(n一 I)二 3n, bn = a2n二 6n, Ssa5二 ai + 4d = 15, d= 3, bn成立.解：(1) / 2an+

4、i二an+ an+2,(an!是等差数列，设an的首项为31，公差为d,ai + 2d二 5由 a3 二 5. S6= 36 得 6ai+ 5d 二 36，解得 丨，d 二 2-an=2 n 1.(2)由知bn二6n+ (- 1)2X2勿，要使得对任意N嘟有bn+1bn恒成立，二 bn+i bn二 6叩 + ( 1)n 入 2勿+1 6n- (- 1)n-1 A22n-1 = 5 6n- 5 入(一 1)n-1 22n-1 0即 2A(1)n-1v(|)n.当n为奇数时，333即疋2即，而(2) n的最小值为2 ,疋3.当n为偶数时X-2(2)n,而一 2(2)的最大值为一9,9.由上式可得一

5、 2V入V3,而入为正整数,匸1或匸2.题绢二等差数列的性质7设等差数列(an)的前n项和为Sn,若Ss二9, Se= 36,则的+ as+ ag等于A. 63B. 45C. 36D. 27解析：由an是等差数列，贝y S3, Se- S3, S9- S6成等差数列.由 2(Ss- S3)二 S3+ (S9- S6)得到S9 S6二 2S6 3S3二 45,即 a7+ as+ ax 45.答案：B&在等差数列 an)中，已知Iog2(35 4- 39)二3,则等差数列an的前1 3项的和Si3二解析：Tlog2 (a54- a9) = 3, as+ a9= 23= 8.13 x (ai + a

6、i3) 13 x (a5+ Q9)13X 8 “Si3=小二 52.2 2 2答案:529.(2009辽宁高考)等差数列an的前n项和为3,且6Ss- 5S3二5,贝Ua4=.解析：设等差数列(an)的首项为&，公差为d,则由6S5- 5S3二5，得6 (ai+ 3d)二2,1所以a仁1题组四等差数列的刖n项和及最值问题10.设数列an是等差数列，且a4二一4, 39= 4, Sn是数列(an)的前n项和，贝U ()A . SsV SeB. S5= SoC S7= S5D. S7= So解析：因为 a4= 4, 29二 4，所以 a4+ a9= 0,即卩 a6+ a7= 0、所以 S7= Ss

7、+ a6+ a7= Ss.答 案：c11 (文)在等差数列an中，若avO, S9二S%则当n等于时，Sn取得最小值.解析：设数列(an)的公差为d,则由题意得1 19a + 2X 9X (9 1)d = 12ai+12X(12 1 )d,即 3ai= 30d, ai= 10d. ai 0.1 1 221.Sn= n ai + 门一1)d = qdn1 由二次函数图象的对称性可设f(x)二a(x -)2-H. gdnd 21 2441d二2 T 8.*Sn有最小值，又N ,n二10,或n二11时，Sn取最小值.答案：10或11健)若数列an是等差数列，数列bnl满足bn二Hn 3n+1 3n+

8、2 (n N*), bn的前fl项和用Sn表示，若处满足3a5二8ai2 0,则当n等于时，Sn取得最大值.解析：(先判断数列(an)中正的项与负的项) 3a5= 8ai2 0, /. 3as= 8(as+ 7d) 0,解得 as 二 ， dvo, a 76d,55故(an)是首项为正数的递减数76Ad+ (n一 1)d 011an0由？an+ 1 W 076d+ ndw 0515 1 1 w5nw 1615 n 二 16.答案:16112. (2010 株州模拟)已知二次函数 f(x)二 ax2 + bx+ c(x R)，满足 f(0)二 f()二 0,且 f(x)1的最小值是一 8.设数列

9、an的前n项和为Sn,对一切N ，点(n, Sn)在函数f(x啲 图象 上.(1)求数列 an)的通项公式；通过bn二n+;构造一个新的数列，是否存在非零常数C,使得bn)为等差数列；令Cn二，设数列(Cn2Cn的前门项和为Tn,求Tn.110+ 2i解：因为f(0)二f)二0,所以f(x)的对称轴为x二二寸，又因为f(x)的最小值是一?1 1 又 f(0)二 0,所以 a 二 2,所以 f(x)二 2(x- -)2二 2x2-x.48因为点(n, Sn)在函数f(x)的图象上，所以Sn= 2n2- n.当n二1时，ai二Si二1 ;当n2时二Sn Sn-i二 4n 3(n = 1 时也成立)，所以 an= 4n 3(n N ).1Sn 2n2- n2n(n 2)人1因为 bn二 Me 二 n+ c 二 n + C，令 J- 2(cM 0)，即得 bn二此时数列bn1为等差数列，所以存在非零常数C二一，使得 bn)为等差数列.(3)Cn二二 2n= 2n,贝 yCn2cn= 2n X 22n= nX 2叽1所以 Tn= 1