【数学】初高中数学衔接教材共28页.doc

1、初高中数学连接教材8引 入 乘法公式第一讲因式分解 其次讲函数与方程第三讲三角形的 “四心”我们在中学已经学习过了以下一些乘法公式：乘法公式（1） ）平方差公式ab aba 2b 2 ；（2） ）完全平方公式ab2a 22abb 2 我们仍可以通过证明得到以下一些乘法公式：（1） ）立方和公式（2） ）立方差公式ab a 2ab a 2abb2 abb2 a3b3 ；a3b 3 ；（3） ）三数和平方公式abc2a 2b 2c22abbcac ；（4） ）两数和立方公式（5） ）两数差立方公式ab3ab3a 33a 2ba 33a 2b3ab23ab2b3 ； b3 对上面列出的五个公式，有爱

2、好的同学可以自己去证明例 1运算： x1 x1 x2x1 x2x1 解法一： 原式= x2= x21 x21x412x2x21= x61解法二： 原式= x= x31x21x3x1x11x2x1= x61例 2已知abc4 ， abbcac4 ，求 a 2b2c2 的值解： a 2b 2c2练习abc 22 abbcac8 1. 填空：121211（ 1）abba （）；9423（ 2） 4 m216m24 m ；3 a2bc 2a 24b 2c2 2. 挑选题：21（ 1）如xmxk 是一个完全平方式，就k 等于（）2（ a） m2（b ） 1 m24（c） 1 m23（ d）1 m216（

3、 2）不论 a ， b 为何实数， a 2b 22a4b8 的值（）（ a）总是正数（ b ）总是负数（ c）可以是零（d ）可以是正数也可以是负数第一讲因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外仍应明白求根法及待定系数法1. 十字相乘法 例 1分解因式：（1）x23x2；（2）x2 4x12；2（3） x ab xyaby 2 ；（ 4） xy1xy 说明：（2）x24x12 x2x6（ 3）x2abxyaby 2 xay xbyx 1y1（ 4） xy1xy xy xy1图 1 1 5x 1 y+1 （如图 115 所示）课堂练习一、填空题：1、把以下

4、各式分解因式：（ 1） x 25x6 ；（ 2） x 2a1 xa ；（ 3） x 2（ 4） 6 x211x7 x18 ；2 ；（ 5） 4 m212 m9 ；（ 6） 57x6 x2 ；（ 7） 12x22xy6 y ；22、 x4 xx3 x23、如 xaxbx2x4 就 a， b；二、挑选题： （每道题四个答案中只有一个是正确的）1、如多项式 x23 xa 可分解为x5xb ，就 a 、 b 的值是（）a 、 a10 ， b2b、 a10 ， b2c、 a10 ， b2d、 a10 ， b22、如 x 2mx10xaxb 其中 a 、 b 为整数，就 m的值为（）a 、 3 或 9b

5、、 3c、 9d、 3 或 9 2提取公因式法3例 2分解因式：（1）a 2 b5a 5b（2） x93 x23x解： （ 1） a 2 b5a 5b= ab5 a1（ 2） x393 x23x = x33 x2 3 x9 = x2 x33x3= x3 x23 或x393 x23x x33 x23x18 x138 x1323222 x3：公式法12 x1x122 x3 x3例 3分解因式：（ 1）a 416（ 2） 3 x2 y 2xy 22解： 1a 416 = 42a 22 4a2 4a 2 4a 2 2a 2a23 x课堂练习2 y 2xy= 3 x2 yxy3 x2 yxy4 xy 2

6、 x3 y一、 a 22 abb 2 ， a 2b 2 ， a 3b 3 的公因式是；4分组分解法例 4（ 1） x2xy3 y3 x（2） 2 x2xyy24 x5 y6 2（ 2） 2 xxyy 24 x5 y6 = 2x2 y4 xy25 y6= 2 x2或 y4 x y2 y3 = 2 xy2 xy3 2x2xyy24x5 y6 = 2 x2xyy2 4 x5 y6= 2 xy xy4 x5 y6= 2 xy2 xy3 其次讲函数与方程2.1.2根与系数的关系（韦达定理）假如 ax2bxc 0（ a0）的两根分别是 x1，x2，那么 x1x2 bac，x1x2a这一关系也被称为 韦达定

7、理 例 1已知方程5x2kx60 的一个根是 2，求它的另一个根及 k 的值例 2已知关于 x 的方程 x22m2xm24 0 有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大 21，求 m 的值解： 设 x1，x2 是方程的两根，由韦达定理，得x1x2 2m2，x1x2m2 412 x 2x 2 x1x221，x1x223 x1x221，即 2m 223m2 421， 化简，得m216m17 0， 解得 m 1，或 m17当 m 1 时，方程为 x26x50，0，满意题意；当 m17 时，方程为 x230x293 0， 302412930，不合题意，舍去综上， m 172例 3如 x1

8、和 x2 分别是一元二次方程2x 5x30 的两根（1）求| x1 x2|的值；（ 2）求11 的值；x 2x 212（ 3） x13x232解： x1 和 x2 分别是一元二次方程 2x 5x30 的两根， x1x253， x1x22222225 23（1） | x1 x2| x1 + x22 x1x2x1x24 x1x2 422 2546 49 ，47| x1x2| 25 232511x 2x 2 xx 22x x2337（2）12121 2224x 2x 2x 2x 2 x x 23 29912121 22433222（3）x1 x2 x1 x2 x1 x1x2x2 x1x2 x1x2

9、3x1x2 52 522332 215 8例 6如关于 x 的一元二次方程 x2 xa 4 0 的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范畴 解： 设 x1， x2 是方程的两根，就x1x2 a4 0，且 12 4 a 4 0由得a4，4由得a17 a 的取值范畴是 a 4练习1 选 择 题 ： 如 关 于 x的 方 程 mx2 2m 1x m 0有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ， 就 实 数 m的 取 值 范 围 是（）（ a ） m 141（b ） m41（ c） m4，且 m0 （ d） m 14，且 m02填空 :（ 1）如方程 x23x 1 0 的两根分别是 x1 和 x

10、2，就 11 x1x2（ 2）方程 mx2 x 2m 0（m0）的根的情形是22二次函数2.2.1 二次函数 yax2 bx c 的图象和性质二次函数 y ax h2ka0中，a 打算了二次函数图象的开口大小及方向； h 打算了二次函数图象的左右平移，而且 “h 正左移， h 负右移 ”；k 打算了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移， k 负下移 ”例 1已知函数 y x2， 2xa，其中 a 2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量 x 的值分析： 本例中函数自变量的范畴是一个变化的范畴，需要对a 的取值进行争论解：（1）当 a 2 时，函数 yx2 的

11、图象仅仅对应着一个点2， 4，所以，函数的最大值和最小值都是4，此时 x 2；（ 2）当 2a 0 时，由图 22 6可知，当 x 2 时，函数取最大值y4；当 x a 时，函数取最小值y a2；（ 3）当 0a 2 时，由图 2 2 6可知，当 x 2 时，函数取最大值y 4；当 x 0 时，函数取最小值y0；（ 4）当 a2时，由图 2 2 6可知，当 x a 时，函数取最大值ya2；当 x 0 时，函数取最小值y 02.2.2 二次函数的三种表示方式通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：1. 一般式： yax2 bx ca0；2. 顶点式： yaxh2k a0，其

12、中顶点坐标是 h， k3. 交点式： y ax x1 x x2 a0，其中 x 1， x2 是二次函数图象与x 轴交点的例 1已知二次函数的图象过点 3， 0， 1， 0，且顶点到 x 轴的距离等于2，求此二次函数的表达式练习1填空：（ 1 ） 已 知 二 次 函 数 的 图 象 经 过 与 x轴 交 于 点 1 ， 0 和 2 ， 0 ， 就 该 二 次 函 数 的 解 析 式 可 设 为 y a a 0（ 2）二次函数 y x2+23x 1 的函数图象与x 轴两交点之间的距离为第三讲三角形的 “四心 ”三角形是最重要的基本平面图形，许多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.如图 3.2-1 ，在三角形 abc 中，有三条边ab, bc ,ca ，三个顶点a, b, c ，在三角形中，角平分线、中线、高（如图 3.2-2）是三角形中的三种重要线段 .三角形的三条中线相交于一点， 这个交点称为三角形的 重心.三角形的重心在三角形的内部， 恰好是每条中线的三等分点 .三角形的三条角平分图线3.相2-1交于一点，是三角形的图 3内.2-心2三边的距离相等 .（如图 3.2-5）. 三角形