四种命题与充要条件

1、常用逻辑用语与充要条件【高考考情解读】1本讲在高考中主要考查集合的运算、充要条件的判定、含有一个量词的命题的真假判断与否认，常与函数、不等式、三角函数、立体几何、解析几何、数列等知识综 合在一起考查 2试题以选择题、填空题方式呈现，考查的根底知识和根本技能，题目难度中等 偏下.1. 命题的定义用语言、符号或式子表达的， 可以 判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题.2四种命题及其关系(1) 原命题为“假设p那么q，那么它的逆命题为假设一q那么p ;否命题为 一p那么q ;逆否命题为二q贝归P 原命题与它的逆否命题等价；逆命题与它的否命题等价四种命题中原命题

2、与逆否命题同真 同假，逆命题与否命题同真同假，遇到复杂问题正面解决困难的，采用转化为反面情况处理， 即，可以转化为判断它的逆否命题的真假.命题真假判断的方法：对于一些简单命题，假设判断其为真命题需推理证明假设判断其为假命题只需举出一个反例.(2) 对于复合命题的真假判断应利用真值表.(3) 也可以利用 互为逆否命题的等价性，判断其逆否命题的真假.3. 充分条件与必要条件的定义(1) 假设p? q且q p，那么p是q的充分非必要条件.(2) 假设q? p且p土 q，那么p是q的必要非充分条件.(3) 假设p? q且q? p，那么p是q的充要条件.(4) 假设p-q且q-*p,那么p是q的非充分非

3、必要条件.设集合A=x|x满足条件p, B= x|x满足条件q，那么有(1)假设A? B,那么p是q的充分条件，假设 A B,那么p是q的充分不必要条件；假设B? A,那么p是q的必要条件，假设 B A那么p是q的必要不充分条件； 假设A= B,那么p是q的充要条件；(4) 假设A? B,且B? A,那么p是q的既不充分也不必要条件.2充分、必要条件的判定方法(1)定义法，直接判断假设 p那么q、假设q那么p的真假.传递法. 集合法：假设p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A= x| p( x) , B= x| q(x), 那么假设A? B,那么p是q的充分条件；假设 B? A那么p

4、是q的必要条件；假设 A= B,那么p是q 的充要条件.等价命题法：利用 A? B与B? n A, B? A与A? n B, A? B 与n B? n A的等价关系，对 于条件或结论是否认式的命题，一般运用等价法，利用原命题和逆否命题是等价的这个结论， 有时可以准确快捷地得出结果，是反证法的理论根底.1. 简单的逻辑联结词(1) 命题中的“且、“或“非凹作逻辑联结词.(2) 简单复合命题的真值表：pqn pn qp或qp且 qn p 或 qn p且 qn p或n qn p且n q真真假假真真假假假假真假假真真假假真真假假真真假真假假真夏假假假真真假假真真真真2. 全称量词与存在量词(1) 常见

5、的全称量词有“任意一个 “一切“每一个 “任给“所有的(2) 常见的存在量词有“存在一个“至少有一个 “有些“有一个 “某个“有的等.3. 全称命题与特称命题(1) 含有全称量词的命题叫全称命题.(2) 含有存在量词的命题叫特称命题.4. 命题的否认(1) 全称命题的否认是特称命题；特称命题的否认是全称命题.(2) p或q的否认：非 p且非 q； p且 q的否认:非 p或非 q.注：1. 逻辑联结词“或的含义逻辑联结词中的“或的含义，与并集概念中的“或的含义相同.如 “x A或x B ,是指：x A且x?B; x?A且x B； x A且x B三种情况.再如 “ p真或q真是指：p真且q假；p假

6、且q真；p真且q真三种情况.2. 命题的否认与否命题“否命题是对原命题“假设p,那么q的条件和结论分别加以否认而得到的命题，它既否认其条件，又否认其结论；“命题的否认即“非p，只是否认命题p的结论.命题的否认与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题 的真假无必然联系.3. 含一个量词的命题的否认全称命题的否认是特称命题，特称命题的否认是全称命题.1. 2021皖南八校命题“假设一个数是负数，那么它的平方是正数的逆命题是A .“假设一个数是负数，那么它的平方不是正数B .“假设一个数的平方是正数，那么它是负数C. “假设一个数不是负数，那么它的平方不是正数D .“假设

7、一个数的平方不是正数，那么它不是负数解析 依题意得原命题的逆命题是：假设一个数的平方是正数，那么它是负数选B.2. 2021湖北命题“存在一个无理数，它的平方是有理数的否认是A 任意一个有理数，它的平方是有理数B 任意一个无理数，它的平方不是有理数C.存在一个有理数，它的平方是有理数D 存在一个无理数，它的平方不是有理数答案 B解析 这是一个特称命题，特称命题的否认不仅仅要否认结论而且要将相应的存在量词“存在 一个改为全称量词“任意一个，应选B。2. a, b, c R，命题“假设a+ b + c= 3,贝U a2 + b2 + c23的否命题是A .假设 a+ b + cm 3,贝U a2+

8、 b2+ c23B .假设 a+ b + c= 3,那么 a2 + b2+ c2y,那么x|y|的逆命题B .命题“假设x1，那么x21 的否命题C.命题“假设x= 1,贝V x2 + x 2= 0的否命题D .命题“假设x20,那么x1的逆否命题答案 Ay y 0解析 对于A ,其逆命题：假设x|y|，贝U xy,是真命题，这是因为x|y|=,必有xy;y y0对于B,否命题：假设xw 1,贝U x21;对于C,其否命题：假设xm 1，贝U x2 + x 2丰0,因为x= 2时，x2 + x 2= 0,所以是假命题；对于D，假设x20，那么x0或x1，因此原命题的逆否命题是假命题，应选A.2

9、. 命题 p： ? n N,2n 1 000，那么p 为().A. ? n N,2n 1 000C. ? n N,2nw 1 000D. ? n N,2nv 1 000解析 特称命题的否认是全称命题.即p： ? x M p(x)，那么p： ? x M n p(x).应选A.答案 A4. (2021湖北改编)命题“存在X0 ?rQ, x0 Q的否认是()A .存在 X0D /?rQ , x0 QB .存在 xo ?rQ, x3D /QC.任意 xD /?rQ , x3 QD .任意 x ?rQ , x3D /Q答案 D解析 “存在的否认是“任意，x3 Q的否认是x3D /Q.命题 “存在x0?R

10、Q，x03Q的否认是 “任意 x?RQ，x3D/Q，故应选 D.1. (2021安徽)命题“所有能被2整除的整数都是偶数的否认.是()A .所有不能被2整除的整数都是偶数B .所有能被2整除的整数都不是偶数C.存在一个不能被 2整除的整数是偶数D .存在一个能被2整除的整数不是偶数 答案 D解析 由于全称命题的否认是特称命题， 此题“所有能被 2整除的整数都是偶数 是全称命题， 其否认为特称命题 “存在一个能被 2 整除的整数不是偶数 2. (2021 辽宁改编)命题 p:对任意 X1, x2 R, (f(X2) f(x)(X2 X1)0，那么n p 是()A .存在 X1 , x2 R ,

11、(f(x2) f(X1)(X2 X1)w 0B .对任意 X1 , X2 R , (f(X2) f(X1)(X2 X1) 0C.存在 X1 , X2 R , (f(X2) f(X1)(X2 X1)0D .对任意 X1, X2 R , (f(X2) f(X1)(X2 X1)0答案 C解析 n p：存在 X1, X2 R, (f(x2) f(X1)(X2 X1)1 的否认是()A .对任意实数x,都有x1B. 不存在实数x,使x 1C. 对任意实数x ,都有xw 1D. 存在实数x,使x1 的否认是“对任意实数x,都有XW 1.应选C.11. 给出以下三个命题： 假设 abw 0,贝U a0 或

12、b 0; 在 ABC 中，假设 sin A= sin B,贝U A= B; 在一元二次方程 ax2 + bx+ c= 0中，假设b2 4ac0的解集为x x?或x2? 2x2+ x 10 ,但2x2 + x110D? /x2,应选 A.在 ABC中，由正弦定理得 sin A= sin B? a= b? A= B.应选B.6. 以下结论： 假设命题p：存在x R , tan x= 1;命题q：对任意x R , x2 x+ 10.那么命题p且q是假 命题；a 直线丨1： ax+ 3y 1 = 0, I2： x+ by+ 1 = 0,那么h丄12的充要条件是匚=3; 命题“假设x2 3x+ 2= 0

13、,那么x = 1的逆否命题：“假设 xm 1,那么x2 3x+ 2丰0.其中正确结论的序号为 .答案解析 中命题p为真命题，命题q为真命题，所以p且q为假命题，故 正确； 当b= a= 0时，有11丄|2，故不正确；正确.所以正确结论的序号为.5. 以下命题中正确命题的序号是 . 假设 ac2bc2，那么 ab; 假设 sin a= sin 3 贝a= B; “实数a= 0是“直线x 2ay= 1和直线2x 2ay= 1平行的充要条件； 假设f(x)= log2x,那么f(|x|)是偶函数.答案解析 对于，ac2bc2, c20, ab 正确；对于 ，sin 30 = sin 150 D /3

14、0 150 所以 错误；对于，11/ l2? A1B2= A2B1,即2a = 4a? a = 0且A1C2工A2C1，所以对；对于显 然对.6. p(x) ：x2+ 2x m0,如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，贝U实数m的取值范围为 . 答案3,8)解析 因为p(1)是假命题，所以1 + 2 mW 0,解得m3;又因为p(2)是真命题，所以 4+ 4 m0,解得m8.故实数m的取值范围是3 m3的逆否命题；【解析】对于(4)，只需证明原命题为真，T a + b + c= 3,.(a+ b+ c)2 = 9. a2 + b2 + c2+ 2ab+ 2bc+ 2ca= 9,从而 3(a2

15、+ b2 + c2)?9a2+ b2+ c23 成立.【答案】(3)(4)2. 以下命题中正确的选项是()A .假设命题p为真命题，命题q为假命题，那么命题“ p A q为真命题B. “ sin a= 是“ a=n的充分不必要条件2 6C. l为直线，a, B为两个不同的平面，假设 I丄B, a丄那么I/ aD .命题“ ？ x R,2x0的否认是“ ？ xo R,2xoW 0答案 D解析 对A，只有当p, q全是真命题时，pA q为真；对B , sin a=扌？ a= 2k n+ n或 2k n+聲 k Z ,故“sin a= g是“ a= n的必要不充分条件；对 C, I丄B a丄I /

16、a或l? a；对D ,2 6全称命题的否认是特称命题，应选D.15.给出以下四个命题： 命题“假设a= B,那么cos a= cos B的逆否命题； “ ？ xo R，使得 x2 xoo 的否认是：“ ？ x R，均有 x2 x0的否认应是：“? x R，均有x2 x4x 3均成立； 假设 Iog2x+ Iogx22,贝V x1; “假设ab0且cC的逆否命题；a b 假设p且q为假命题，那么p, q均为假命题.其中真命题是()A .B.C.D .答案 A1解析 中不等式可表示为(x 1)2+ 20,恒成立；中不等式可变为Iog2x+ 2，得x1;Iog2x中由ab0，得,而c1,那么mf 2

17、( nu 1) x +30的解集为R的逆命题.其中真命题是 .(把你认为正确命题的序号都填在横线上)解析：原命题为真，而它的逆命题、否命题不一定为真，互为逆否命题同真同假，故错误，正确.又因为不等式 mf 2(mu 1)x+ nu 30的解集为R,m0n0由2? n1.A = 4 mu 1 4m mu 3 1故正确.答案：3. 设 x, y R，那么“ x2+ y2 9是“ x3 且 y?3的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充分必要条件D .既不充分也不必要条件答案 B解析 结合图形与性质，从充要条件的判定方法入手.如图：x2 + y2 9表示以原点为圆心，3为半径的圆上及圆外

18、的点，当 x2 +寸?9时，x3且y?3并不 一定成立，当x= 2, y= 3时，x2 + y2 9,但x3且y 3不成立；而x3且y?3时，x2 + y2 9 一定成立，应选 B.一个命题的否命题、逆命题、逆否命题是根据原命题适当变更条件和结论后得到的形式上的命题，解这类试题时要注意对于一些关键词的否认，如此题中等于的否认是不等于，而不是单纯 的大于、也不是单纯的小于进行充要条件判断实际上就是判断两个命题的真假，这里要注意 断定一个命题为真需要进行证明，断定一个命题为假只要举一个反例即可.4. ao是aio 的()A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析

19、 因为ai0? a0或a0? |a|0,但|a|0-二，a0,所以a0是|a|0的充分不必要 条件，应选A.5. 0 V XV 5是不等式x 2| 4成立的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件D .既不充分也不必要条件解析由|x 2|4，得一2x6。0 x 5是一2x6的子集，0 x 5是不等式|x 2|2 且 y?2 是“ x2 + y24 的A .充分而不必要条件B.必要而不充分条件C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件解析 因为x2且y?2? x2 + y24易证，所以充分性满足，反之，不成立，如x= y= 7满4足x2 + y2?4,但不满足X?2且y?2,

20、所以X?2且y?2是x2 + y2?4的充分而不必要条件，故选择A.9. a、b是实数，那么3av 3b是logsav Iog3b的A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件D .既不充分也不必要条件解析 由题知，3av 3b? av b, logsav logsb? 0v av b.故 3av 3b 是 logsav logsb 的必要不充分条 件.应选B.110. 2021 天津设 x R，那么“ x2 是“ 2x2 + x 10 的A .充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3. 2021 福建集合 A= 1 , a, B= 1,2,3，那么“ a = 3 是“ A? B 的 A .充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析