第8周文科数学测试.doc

1、高 2019 届高一下期第 8 周数学测试一 .选择题1.在 ABC 中 ,若 sinC=,c=3,则 ABC 外接圆的半径为（）A.5 B. C.D .252.已知在 ABC 中 ,若 sinA ：sinB： sinC=2： 3：4,则 cosB=（）A. B.C.D .3. 如图，在正六边形 ABCDEF 中， + +等于（）ABCD 4 已知ABC 的三边长分别为 a, b,c ，且面积 S ABC1 (b2c2a2 ) ，则 A=（）24A、B、C、46D、3125.在 ABC 中 ,A=,BC=6,AB=2,则 C=（）A.或B.或C.D.6.在 ABC 中 ,a,b,c 分别为角A

2、,B,C 的对边 ,若（ a+b+c）（ a+bc）=3ab,且 sinC=2sinAcosB,则 ABC 是（）A.等边三角形 B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形7.如图所示：给出函数 f（ x）=Asin（ x+）（A 0，0，| | ）的图象的一段，则 f（ x）的表达式为（）A.y=2sin（ x+）B.y=2sin（ x） C.y= 2sin（ 2x+）D .y=2sin（ 2x+）8.如图 ,四边形 ABCD 是正方形 ,延长 CD 至 E,使得 DE=CD,若点 P 为 CD 的中点 ,且,则 +=（）A.3B.C.2D.19、设=（）ABCD 或10、在边长为1 的

3、正ABC 中，设 BC2BD ,CA3CE , ADBE =()1111A、B、C、D、4242第 1 页11.已知锐角 ABC 中 ,A=2B,AC=2,则 BC 的范围为（）A.（ 2 ,2）B.（ ,） C.（,）D.2,212.定义平面向量之间的一种运算 “ ”如下：对任意的，令下面说法错误的是（）A若共线，则BCD对任意的二 .填空题13.在锐角 ABC 中 ,角 A、 B 所对的边长分别为a、b,若 2asinB=b,则角 A 等于.14.已知向量，满足，|=1，| |=， |2 |=，则 |+ | =15.计算： tan20=16.如图，在 ABC 中，点 D 在边 AB 上，B

4、CD =60 ，AC=，CD=2，BD =2AD，则AD=三 .解答题17. 已知平面内三个向量：=（ 3，2）=（ 1， 2）=（ 4，1）（ 1）若（ + ）（ 2 ），求实数；（ 2）若（ +）（ 2 ），求实数 18、在锐角三角形ABC中，内角A， B， C 的对边分别为a, b,c ，且 2a sin B3b(1)求角 A 的大小；（ 2）若 a6, bc8 ，求ABC 的面积。第 2 页19.ABC 的内角 A，B， C 所对的边分别为a,b,c ，向量 m(a,3b)与 n(cos A,sin B) 平行。（ 1）求 A；（2 ）若 a7, b2, 求ABC 的面积。20、已知

5、f ( x)cos2 x3 sinx 的图像上两相邻对称轴间的距离为（0）222（ 1）求 f ( x) 的单调减区间；（ 2）在ABC 中，a, b,c 分别是角 A，B，C 的对边，若 f ( A)1, c 3, ABC2的面积是 3 3 ，求 a 的值。第 3 页21. 已知函数 f（ x）=22sinxcosx sin x+ cos2x+ ， x R（ 1）求函数 f （x）在 ， 上的最值；（ 2）若将函数 f（ x）的图象向右平移个单位，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，得到 g（ x）的图象，已知g（ ） = ， （，），求 cos（）的值22.如图 ,某

6、市拟在长为8km 的道路 OP 的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段OSM,该曲线段为函数y=Asin x（ A 0, 0） x 0,4 的图象 ,且图象的最高点为；赛道的后一部分为折线段MNP ,为保证参赛运动员的安全,限定 MNP =120 （ 1）求 A,的值和 M,P 两点间的距离； （ 2）应如何设计,才能使折线段赛道MNP 最长？第 4 页2017 年 03 月 31 日 285325810 的高中数学组卷参考答案与试题解析一 .选择题（共12 小题）1.在 ABC 中 ,若 sinC=,c=3,则 ABC 外接圆的半径为（）A.5B.C.D .25【分析】 根据题意和正

7、弦定理求出ABC 外接圆的半径.【解答】 解：由题意得 ,sinC =,c=3,则 2R=,所以 ABC 外接圆的半径R=,故选： B.【点评】 本题考查正弦定理的应用,属于基础题 .2.已知在 ABC 中 ,若 sinA ：sinB： sinC=2： 3：4,则 cosB=（）A. B.C.D .【分析】 由题意利用正弦定理,推出 a,b,c 的关系 ,然后利用余弦定理求出cosB 的值 .【解答】 解：因为在 ABC 中 ,若 sinA： sinB： sinC=2： 3： 4,由正弦定理：,所以 a： b： c=2： 3： 4,所以不妨令a=2x,b=3x,c=4x,所以由余弦定理：b2=

8、a2+c2 2accosB,所以 cosB=,故选： A.【点评】 本题是基础题 ,考查正弦定理 ,余弦定理的应用,考查计算能力 ,常考题型 .3.（ 2017?自贡模拟） 已知直角坐标系中点A（0,1）,向量,则点 C 的坐标为（）A.（ 11,8）B.（3,2）C.（ 11,6）D.（ 3,0）【分析】 设 C（ x,y） ,利用平面向量坐标运算法则能求出点C 的坐标 .第 5 页【解答】 解：设 C（ x,y） ,直角坐标系中点A（ 0,1） ,向量, =（ 11, 7）,解得 x= 11,y= 6.故 C（ 11, 6） .故选： C.【点评】 本题考查点的坐标的求法,是基础题 ,解题

9、时要认真审题,注意平面向量坐标运算法则的合理运用.4.在 ABC 中 ,A=,BC=6,AB=2,则 C=（）A. 或B.或C.D.【分析】 直接利用正弦定理求解C 的大小即可 .【解答】 解：在 ABC 中 ,A=,BC=6,AB=2,由正弦定理,可得： sinC=,因为 BC AB,所以 A C,C=.故选： C.【点评】 本题考查正弦定理的应用,注意三角形的边角关系,是基础题 ,易错题 .5.在 ABC 中 ,a,b,c 分别为角A,B,C 的对边 ,若（ a+b+c）（ a+bc）=3ab,且 sinC=2sinAcosB,则 ABC 是（）A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形

10、D.等腰直角三角形【分析】 由条件利用余弦定理求得cosC=,可得C=.再根据诱导公式可得sin（ A+B）=2sinAcosB,再利用两角和差的正弦公式求得sin（A B） =0,可得 A=B=,从而得出结论.【解答】 解： ABC 中 ,由（ a+b+c）（ a+bc） =3ab,可得 a2+b2 c2=ab, cosC=, C=.第 6 页由 sinC=2sinAsinB,可得 sin（ A+B）=2sinAsinB,即 sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB,即 sin（ A B） =0.再根据 A B ,可得 A B=0, A=B=,故 ABC 是等边三角形,故选：

11、A.【点评】 本题主要考查余弦定理、诱导公式、两角和差的正弦公式的应用,属于基础题 .6.（2017?广安模拟）如图,四边形ABCD 是正方形 ,延长 CD 至 E,使得 DE =CD,若点 P 为 CD 的中点 ,且,则 +=（）A.3B.C.2 D.1【分析】 建立如图所示的直角坐标系,设正方形的边长为1,可以得到的坐标表示 ,进而得到答案 .【解答】 解：由题意 ,设正方形的边长为1,建立坐标系如图,则 B（ 1,0） ,E（ 1,1） ,=（1,0） ,=（ 1,1） ,=（ ,）,又P是BC的中点时 , =（1, ） , =,=, +=2,故选： C第 7 页【点评】 本题考查的知识

12、点是向量在几何中的应用,向量加减的几何意义,数形结合思想 ,难度中档 .7.（2016?荆州一模）已知函数f（ x）=sin（ x+）（0） ,若 f（ x）的图象向左平移个单位所得的图象与 f（ x）的图象右平移个单位所得的图象重合,则 的最小值为（）A.2B.3 C.4 D.5【分析】 由题意将f（ x）的图象向左平移个单位所得的图象与f（ x）的图象右平移个单位所得的图象重合 ,说明两个函数相位差是2的整数倍 ,求出 的值即可 .【解答】解：将函数 （fx）=sin（ x+）的图象向左平移个单位 ,所得的图象解析式为：y=sin（x+）,将函数 f（ x）的图象右平移个单位所得的图象解析

13、式为：y=y=sin （ x+） ,若所得图象重合,+=2k,k Z,解得 =4k,k Z, 0,可解得 的最小值为4.故选： C.【点评】 本题考查三角函数的周期、图象变换等基础知识,相位差是函数周期的整数倍,是本题解题关键.8.（2017?武昌区模拟）在平行四边形ABCD 中 ,点 M ,N 分别在边BC,CD 上 ,且满足BC=3MC,DC=4NC,若AB=4,AD=3,则=（）A.B.0C.D .7【分析】 由题意画出图形,把向量转化为向量求解 .【解答】 解：如图 ,第 8 页 BC=3MC ,DC =4NC ,且 AB=4,AD =3,则=.故选： B.【点评】 本题考查平面向量的

14、数量积运算,考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法,是中档题 .9.（ 2016 春 ?湖北校级期中）某游轮在A 处看灯塔B 在 A 的北偏东 75,距离为 12海里 ,灯塔 C 在 A 的北偏西 30,距离为 8海里 ,游轮由 A 向正北方向航行到D 处时再看灯塔B 在南偏东60则 C 与 D 的距离为（）A.20 海里B.8海里C.23海里D .24 海里【分析】利用方位角求出B 的大小 ,利用正弦定理直接求解AD 的距离 ,直接利用余弦定理求出CD 的距离即可 .【解答】 解：如图 ,在 ABD 中,因为在 A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75的方向上 ,距离为海里 ,货轮由 A 处

15、向正北航行到D 处时 ,再看灯塔B 在南偏东60方向上 ,所以 B=1807560=45,由正弦定理,所以 AD =24 海里；在 ACD 中 ,AD=24,AC=8, CAD =30,由余弦定理可得：CD 2=AD2+AC2 2?AD ?ACcos30=242+（ 8） 2 2 24 8=192,所以 CD =8海里；故选： B.第 9 页【点评】 本题考查正弦定理与余弦定理的应用,注意方位角的应用,考查计算能力.属于中档题 .10.已知锐角 ABC 中 ,A=2B,AC=2,则 BC 的范围为（）A.（ 2,2 ） B.（, ）C.（,）D.2,2【分析】 根据正弦定理和A=2B 及二倍角

16、的正弦公式化简得到BC=4cosB,根据锐角 ABC 和 A=2B 求出 B的范围 ,即可得到结论 .【解答】 解： ABC 是锐角三角形 ,C 为锐角 , A+B,由 A=2B 得到 B+2B,且 A=2B,解得： B, cosB,根据正弦定理=,A=2B,得到,即 BC=4cosB（ 2,2） ,则 BC 的取值范围为（ 2,2 ）.故选： A.【点评】 本题主要考查考查了正弦定理,以及二倍角的正弦公式化简求值,利用正弦定理是解决本题的关键 .11.（ 2017?普陀区一模）设是两个非零向量、的夹角 ,若对任意实数t,|+t| 的最小值为1,则下列判断正确的是（）A.若 | 确定 ,则 唯

17、一确定 B.若 | 确定 ,则 唯一确定C.若 确定 ,则 | 唯一确定 D .若 确定 ,则 | 唯一确定【分析】令 （g t）=+2t+,可得 0,恒成立 .当且仅当 t=时 ,g第10页（ t）取得最小值1,代入即可得出.【解答】 解：令 g（ t） =+2t+, =440,恒成立 .当且仅当t=时 ,g（ t）取得最小值1,2+=1,化为：sin2=1. 确定 ,则 | | 唯一确定 .故选： D.【点评】 本题考查了向量数量积运算性质、二次函数的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题 .12.（ 2005?安徽）在 ABC 中 ,已知 tan=sinC,给出以下四个论断： tan

18、A?cotB=1, 1 sinA+sinB, sin2A+cos2B=1, cos2 A+cos2B=sin2 C,其中正确的是（）A.B.C.D .【分析】 先利用同角三角函数的基本关系和二倍角公式化简整理题设等式求得cos=进而求得A+B=90 进而求得 tanA?cotB=tanA?tanA 等式不一定成立 ,排除；利用两角和公式化简,利用正弦函数的性质求得其范围符合 ,正确；222不一定等于 1,排除；利用同角三角函数的基本关系可知 sin A+cos B=2sin Acos2A+cos2 B=cos2A+sin2A=1,进而根据 C=90 可知 sinC =1,进而可知二者相等 .正

19、确 .【解答】 解： tan=sinC=2sincos第11页整理求得cos（A+B） =0 A+B=90. tanA?cotB=tanA?tanA 不一定等于 1,不正确 . sinA+sinB=sinA+cosA=sin（ A+45）45 A+45 135 , sin（A+45） 1, 1 sinA+sinB,所以正确2222cos A+cos B=cos A+sin A=1,sin2C=sin290=1,所以 cos2A+cos2B=sin2C.所以正确 .22222sin A+cos B=sin A+sin A=2sin A=1 不一定成立 ,故不正确 .故选 B.【点评】 本题主要考

20、查了三角函数的化简求值.考查了学生综合分析问题和推理的能力,基本的运算能力.二 .填空题（共3 小题）13（. 2017?海淀区模拟）在锐角 ABC 中 ,角 A、B 所对的边长分别为a、b,若 2asinB=b,则角 A 等于60 .【分析】 已知等式利用正弦定理化简,根据 sinB 不为 0 求出 sinA 的值 ,再由 A 为锐角 ,利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数.【解答】 解：利用正弦定理化简已知等式得：2sinAsinB=sinB, sinB 0, sinA=,A 为锐角 , A=60.故答案为： 60.【点评】 此题考查了正弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握正弦定理是

21、解本题的关键,属于基础题 .14（. 2014?四川）如图 ,从气球 A 上测得正前方的河流的两岸B,C 的俯角分别为67,30 ,此时气球的高是46m,第12页则河流的宽度BC 约等于60m.（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：sin67 0.92,cos670.39,sin370.60,cos37 0.80, 1.73）【分析】 过 A 点作 AD 垂直于 CB 的延长线 ,垂足为 D,分别在 RtACD 、 RtABD 中利用三角函数的定义 , 算出 CD 、 BD 的长 ,从而可得 BC,即为河流在 B、 C 两地的宽度 . 【解答】 解：过 A 点作 AD 垂直于 CB 的延长

22、线 ,垂足为 D ,则 Rt ACD 中 , C=30,AD =46m,AB=,根据正弦定理,得 BC=60m.故答案为： 60m.【点评】 本题给出实际应用问题,求河流在B、C 两地的宽度 ,着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识 ,属于中档题 .15.（ 2015?宜宾模拟）已知两个不相等的非零向量,两组向量、和、,均由 2 个和 3 个排列而成 .记 S=?+?+?+?+?,Smin 表示 S 所有可能取值中的最小值.则下列所给4 个命题中 ,所有正确的命题的序号是. S 有 3 个不同的值；若,则 Smin| 无关；若,则 Smin 与 | 无关；若 | =2| ,Smin

23、=8| 2,则与的夹角为.【分析】 由题意分别讨论S中含有的对数 ,得到 S 的本题值 ,然后分析最小值,得到选项 .第13页【解答】 解：有零对时 ,S1=2；有两对时 ,S2=；有四对时 ,S3=； S 有 3 个不同的值；又 S1 S2=,S2 S3 =（2, S1 S2 S3；Smin=；当,则 Smin 与无关； Smin 与有关；设与的夹角为 ,当时 ,Smin=S3=；,即.故答案为：.【点评】 本题考查了对新定义问题的理解、平面向量的数量积的运用；属于难题.三 .解答题（共7 小题）16.（ 2013?北京校级模拟）计算：.【分析】 要求的式子即,再利用两角和差的正弦、余弦公式

24、求得结果 .【解答】 解：=2+.【点评】 本题主要考查两角和差的正弦、余弦公式的应用,属于中档题 .17.（ 2014?四川）已知函数f（ x） =sin（ 3x+） .（ 1）求 f（ x）的单调递增区间；（ 2）若 是第二象限角 ,f（） =cos（ +） cos2,求 cos sin 的值 .第14页【分析】（1）令 2k 3x+ 2k+,k z,求得 x 的范围 ,可得函数的增区间 .（ 2）由函数的解析式可得f（）=sin（ +）,又 f（）=cos（ +）cos2,可得 sin（ +）= cos（ +）cos2,化简可得（ cos sin ）2=.再由 是第二象限角 ,cos s

25、in 0,从而求得 cos sin 的值 .【解答】 解：（ 1）函数 f（ x） =sin（ 3x+） ,令 2k3x+ 2k+ ,k Z,求得 x+,故函数的增区间为 ,+ ,k Z.（ 2）由函数的解析式可得f（） =sin（ +） ,又 f（） = cos（ +）cos2, sin（ +） =cos（ +） cos2,即 sin（ +） =cos（+）（ cos2 sin2） , sin cos+cossin =（ coscossin sin）（ cos sin ）（ cos+sin ）即 （ sin +cos）= ?（ cos sin ） 2（ cos+sin ） ,又 是第二象限角

26、 , cos sin 0,当 sin +cos=0 时 ,tan =1,sin =,cos=,此时 cos sin =.当 sin +cos 0 时 ,此时 cos sin =.综上所述： cos sin =或.【点评】 本题主要考查正弦函数的单调性,三角函数的恒等变换,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题 .18.（ 2015?浙江）在 ABC 中 ,内角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知 tan（+A） =2.（）求的值；（）若 B=,a=3,求 ABC 的面积 .【分析】（）由两角和与差的正切函数公式及已知可得tanA,由倍角公式及同角三角函数关系式即可得解.（）由tanA=,

27、A（ 0,） ,可得 sinA,cosA.又由正弦定理可得b,由 sinC=sin（ A+B）=sin（ A+） ,可得sinC,利用三角形面积公式即可得解.【解答】 解：（）由tan（+A） =2.可得 tanA=,所以=.第15页（）由 tanA= ,A（ 0,） ,可得 sinA=,cosA=.又由 a=3,B=及正弦定理,可得 b=3,由 sinC=sin（ A+B） =sin（ A+） ,可得 sinC =.设 ABC 的面积为 S,则 S=absinC=9.【点评】 本题主要考查了三角函数及其变换、正弦定理和余弦定理等基本知识的应用,同时考查了运算求解能力 ,属于中档题 .19.（

28、 2013?北京）在 ABC 中 ,a=3,b=2, B=2 A.（）求cosA 的值；（）求c 的值 .【分析】（）由条件利用正弦定理和二倍角公式求得cosA 的值 .（）由条件利用余弦定理,解方程求得c 的值 ,再进行检验 ,从而得出结论.【解答】 解：（）由条件在ABC 中 ,a=3, B=2 A,利用正弦定理可得,即=.解得 cosA=.（）由余弦定理可得a2=b2+c2 2bc?cosA,即 9=+c2 2 2 c,即 c2 8c+15=0.解方程求得c=5,或 c=3.当 c=3 时 ,此时 a=c=3,根据 B=2 A,可得 B=90,A=C=45, ABC 是等腰直角三角形,但

29、此时不满足 a2+c2=b2,故舍去 .当 c=5 时 ,求得 cosB= ,cosA=, cos2A=2cos2A1= =cosB, B=2A,满足条件 .综上 ,c=5.【点评】 本题主要考查正弦定理和余弦定理 ,以及二倍角公式的应用 ,注意把 c=3 舍去 ,这是解题的易错点 ,属于中档题 .20.（ 2013 秋 ?黄州区校级月考）如图,A 是单位圆与x 轴正半轴的交点,点 B,P 在单位圆上 ,且 B（,） ,第16页 AOB=, AOP=（ 0 ） ,=.四边形 OAQP 的面积为S,（ 1）求 tan（）；（ 2）求+S 的最大值及此时的值 .【分析】（1）利用两角差的正切公式进

30、行计算即可.（ 2）利用数量积的定义,结合三角函数的图象和性质计算即可.【解答】 解：（ 1） B（,） ,AOB=, tan, tan（） =.（ 2）由已知 A（ 1,0）,P（ cos,sin ） ,则,又 S=sin ,+S=sin +cos+1=,（0 ） . 0 ,当,即时 ,+S 取得最大值1+.【点评】 本题主要考查平面向量数量积的应用以及两角和差的正切公式,以及向量和三角函数的综合问题,考查学生的运算能力.21.（ 2009?福建）如图 ,某市拟在长为8km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段OSM,该曲线段为函数y=Asin x（A 0,0） x 0,4 的图象 ,且图象的最高点为；赛道的后一部分为折线段MNP,为保证参赛运动员的安全,限定 MNP =120（ 1）求 A,的值和 M,P 两点间的距离；（ 2）应如何设计,才能使折线段赛道MNP 最长？第17页【分析】（1）由图得到A 及周期 ,利用三角函数的周期公式求出,将 M 的横坐标代入求出M 的坐标 ,利用两点距离公式求出| MP|（ 2）利用三角形的正弦定理求出 NP,MN ,求出折线段赛道