度量空间C(Rn)中集合列紧性的判定条件及证明

1、Hans汉斯Advances in Applied Mathematics 应用数学进展，2019, 8(4), 589-594Published Online April 2019 in Hans. http:/www.hanspub.orE/iournal/aarrhttps:/doi.orfi/10.12677/aam.2019.84065Judgment Conditions and Proof of Set Sequence Compactness in Metric SpaceMingze Zhao, Baoqiang YanShandong Normal University,

2、Jinan ShandongEmail: 976113325Received: Mar. 18th# 2019; accepted: Apr. 2nd# 2019; published: Apr. 2019AbstractSet sequence compactness is an important concept in functional analysis. Using the sequence compactness, one can turn inHnite dimensional problems to finite dimensional problems. In this pa

3、per, we give a necessary and sufficient condition for set sequence compactness on metric space g).KeywordsSequence Compactness, C(A?n), eNet, Uniform Boundedness, Equicontinuity度量空间CS)中集合列紧性的判定条件及证明赵明泽，闰宝强山东师范大学，山东济南Email: 976113325收稿日期：2019年3月18日；录用日期：2019年4月2日：发布日期：2019年4月9日摘要集合列紧在泛函分析中是一个重要的概念.可以

4、将无限问题化为有限情形进行讨论.本文给出了距离空 间C(肥)中集合列紧的充分必要条件.关键词列紧性，网，一致有界，等度违续文章引用：赵明泽，冃宝强.度昴空间C(“)中集介列紧性的判定条件及证明【几应用数学进展,2019, 8(4): 589-594. DOI: 10.12677/aam.2019.84065赵明泽.冃宝强赵明泽.冃宝强Copyright 2019 by authors and Hans Publishers Inc.This work is lice nsed under the Creative Commons Attribution Inter national Licen

5、se (CC BY).http:/creativecomm on /lice nses/by/4.0/Open Access1. 引言设C(圧)空间是疋上全体连续函数构成的空间。则对任意“(x)wC(jr),令总1台 2* l + max|w(x)|其中2N,才=(勺*2,.x”)，乂 =加十电+十#。集合的列紧性在泛函分析的学习中是一个基本且 重婆的槪念，它还在拓扑学、偏微分方程等领域中有着广泛的应用。对于具体的距离空间上的紧性问题， 常用构造e网和一致有界且等度连续來讨论。本文通过集合列紧性的性质，构适相应的列紧条件证明了 C(2f)空间的列紧性。2. 预备知识首先回忆一下在泛函

6、分析中所学的关于紧性的一些常用定义与性质。定义1.1 1设(X,p)是一个距离空间，为其一个子集，如果2中的任何点列在X中有一个收敛 的子列，称/是列紧的。若这个子列还收敛到/中的点，则称川是自列紧的。如果空间X是列紧的，那 么成X为列紧空间。定理1.1 1设(X。)是一个距离空间，为了其子集M是紧的当且仅当M是自列紧的。定义1.2 2设(X,p)是距离空间，H是X的一个子集，Bud,如果有0,使得以E中各点为 心，以为半径的开球全体覆盖则称BA的网，如果B是有限集，则称E是/的 有限网。定义131 C(M)空间：设M是一个紧的距离空间，带有距离p, C(M)表示MtF的一切连续 映射的全体。

7、定义max In“M I通过验证可知(C(M),d)是完备的距离空间。定理1.2 1 (Arzela-Ascoli)为了 FuC(M)是一个列紧集，当且仅当F是一致有界且等度连续的函数 族。定义14 1设(X/)是距离空间，是E的子集，如果0,都存在着/的一个有瞅e网，则 称集合d是完全有界的。3.主要结论定理2.1 c(/r)空间的子集列紧的充要条件是1) 对任意A属于C,当卜卜上时，存在C；0,使得s|/(x)|0, w()|uei7在卜卜A上是等度连续的。证明：首先证c(r)空间是完备的。令“”(是c(/r)中的基本列，则X 1 麻X”，(刃-心(別心小)空幵評齐而TOgf由此知对任意的

8、m.neN . ma和刚(x)-心(x)| T 0 , (w,w-0)o事实上对每一个固定的jeN.对0. BNj,使得Z1 带台2 1 + * 劃心(X)“(x)| 2取第丿项它不会超过所有项的总和.故DOI: 10.12677/aam.2019.84065591应用数学进展赵明泽.冃宝强DOI: 10.12677/aam.2019.84065#应用数学进展赵明泽.冃宝强这说明对任意的|卜冷在何|x|“上收敛,并且存在ui(x)eC(Rn)，使得 un(x) 0 (n oo) , |x| k。定义/】(x),*E(0.1);w2(x),xe 5(0,2);u (x) = 0,存在N,当”N时

9、，使得DOI: 10.12677/aam.2019.84065#应用数学进展赵明泽.冃宝强DOI: 10.12677/aam.2019.84065#应用数学进展赵明泽.冃宝强要对无穷多项进行评佔，常用“分段论证法”，这里在”。项处分段，其中”0充分大，使得 y y o1 + max 心(x)-/ (x 呻IDOI: 10.12677/aam.2019.84065#应用数学进展赵明泽.冃宝强彳制川)-叫* 1汕-)-2,幫”“(x)-(x)r，w 席 ”“(x)一/(X)为了角限项小于彳，对任意的”%,存在N”，使得DOI: 10.12677/aam.2019.84065#应用数学进展赵明泽.闫

10、宝强赵明泽.冃宝强x|Mb(x)-/(x)|N时，二1訥-讪2丁1 +带 |“”(刃-/列 Vniaxlz/ (x)_“.(x)| V 幺2悴J八幺2* 22-1无穷项小于 y _21 l + inax Hn(x)-w* (x)|2r 2干是，当“N时,f 喇”-讪 “ 2 1 + 1熔|”(刃冷(*)|成立。故（C仏）是完备的度量空间。必要性：证明uueU在|卜|“上有上确界。因cC（r）是列紧集，从而子集C7是完全有界集, （士T卜UMuU，并且UuE：片才召）卫=12*）。当=1 时,有S则存在u的一个有限的卡r网N对Pk 沁 存在“訂| “：.,当二1时，有皿血上右，即 制心）V 1,

11、-1 2* l + max|z（x）-H*（x）|2*11踽咛丿一5丄_” * 斛2max|n(x)-Wf(x)|l.当 n = 2时，即喇（xK）| 11+弗”七广河当i取第上项.DOI: 10.12677/aam.2019.84065593应用数学进展赵明泽.闫宝强1訓一临訓w 1z 2* 1+圖|m(x)-”：(x)2当i取第上项,max|n(x)-M：(x)|0 , z/(x)et/ ,.2*(-L使得L(x)-M,(x)|0时，其中03送13丿31亠於33 一。(心)缶鏗INP12 1 +需4心)-q(x)|3整体小于亍则取第上项同样小于亍得DOI: 10.12677/aam.201

12、9.84065#应用数学进展赵明泽.闫宝强DOI: 10.12677/aam.2019.84065#应用数学进展赵明泽.闫宝强小于号两边同乘以2*得訓-气|孑17莎云冏v亍 再同乘以 l + max|/(x)-M.(A)|SJmax|M(x)-Wj(x)|y-2*.(H-max w(x)-w, (x) I.所以最厉计算得兰2，Emax|.(x)-W,(x)|-J-0,DOI: 10.12677/aam.2019.84065#应用数学进展赵明泽.闫宝强赵明泽.冃宝强西(e)0,当 /?匕宀) Q(g)时，有 |i/j (xj-z/, (x2)|y , (/ = 1.2,- -.w)故对 W0,取

13、 4()= min(),52(),(),使得对任总的 z/(x)eLr , xtk ,当 p(xpx2) J 时，有DOI: 10.12677/aam.2019.84065595应用数学进展赵明泽.闫宝强+k（兀）-耳也）|+”（心）-旳（七）|0上，何在B（O.k）上是一政有界且等度连续的。fh（Arzela-Ascoli）定理知 CB0,k）是列紧的。只须证U存在有限的网。所以对任意的0,取“0。使得工;补占詣。 又通过何是一致有界且等度连续的可知存在一个有限彳网，记片彳卜仙宀,“邮辄。取 N（g） = 则对 0 Vw e,曲（j = 12 .k）使得 -”占円 sf,即这就证明对任意的 0 ,任意子集U u C（Rn）在卜卜*上是自列紧的。參考文献1 张恭庆，林源渠泛函分析讲义M.北京：北京大学出版It 2004: 1-157.2 夏道行,吴卓人,严绍宗,等.实变函数与泛函分析M.北京：高等教育出版H. 1985: 1-119.HansXWr知网检索的两种方式：1. 打开知网页向 http: kns cnki net kns