2021-2021学年高中数学第一章坐标系三1圆的极坐标方程教学案新人教A版选修4-4

1、1.圆的极坐标方程对应学生用书P61. 曲线的极坐标方程f( p , e )=o叫做曲(1) 在极坐标系中，如果曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程=0，并且坐标适合方程 f( p，e)= o的点都在曲线 c上，那么方程f( p , e 线c的极坐标方程.(2) 建立曲线的极坐标方程的方法步骤是： 建立适当的极坐标系，设R p, e)是曲线上任意一点. 列出曲线上任意一点的极径与极角之间的关系式. 将列出的关系式整理、化简. 证明所得方程就是曲线的极坐标方程.2. 圆的极坐标方程(1) 圆心在C(a,O)( a 0)，半径为a的圆的极坐标方程为p = 2acos_ e .(2) 圆心在

2、极点，半径为 r的圆的极坐标方程为p = r.n 圆心在点(a, y)处且过极点的圆的方程为p = 2asin e (0 e n ).对应学生用书P6圆的极坐标方程例1求圆心在(p 0, eo)，半径为r的圆的方程.思路点拨 结合圆的定义求其极坐标方程.解在圆周上任取一点 P(如图) 设其极坐标为(p, e).由余弦定理知：CP= OP + oC 2OP- O(Cos / COP故其极坐标方程为2 2r = p o+ p22 pp ocos( 9方沬规律小结几种特殊情形下的圆的极坐标方程. 2 2 2, ,当圆心在极轴上即 9 0 = 0时，方程为r = p卄p 2 pp ocos 9，右再有

3、p 0 = r，那么 其方程为 p = 2 p ocos 9 = 2r cos 9,假设 p 0= r, 9 0 丰 0,那么方程为 p = 2r cos( 9 9 o), 这几个方程经常用来判断图形的形状和位置.1 .求圆心在C 2,，半径为1的圆的极坐标方程.OCM解：设圆 C上任意一点的极坐标为 M p , 9 )，如图，在 中，由余弦定理，得|OM2+ IOC2 2| OM 丨 OC cos / COM | CM2,2tn即 p 2 :2 p cos 9 + 1 = 0.n当O, C, M三点共线时，点 M的极坐标，：2土 1,-也适合上式,所以圆的极坐标方程为p 2 2 2 p co

4、s 9 4 + 1 = 0.2.求圆心在 A2,琴 处并且过极点的圆的极坐标方程.OM MB 那么解：设M p , 9 )为圆上除O B外的任意一点，连结有 OB= 4, OM= p ,3/ MOB 9 2 n./ BMO 90,从而 BOM为直角三角形.有 |OM = I OBcos / MOB3即 p= 4cos 9 2 n =4sin 9 .tLHII极坐标方程与直角坐标方程的互化例2进行直角坐标方程与极坐标方程的互化:2 2 2(1) y = 4x； (2) x + y -2x 1 = 0;1 p =.2 cos 0思路点拨 将方程的互化转化为点的互化:x =p cos0 ,2p =2

5、 1 2x + y ,y=p sin0 ,tany0 = - x 工0 .x解(1)将x=p cos 02,y= p sin 0 代入 y = 4x,2得(p sin 0 ) = 4 p cos 0 .化简，得 p sin 2 0 = 4cos 0 .22(2)将 x= p cos 0 , y = p sin 0 代入 y + x 2x 1 = 0,2 2得(p sin 0 ) + ( p cos 0 ) 2 p cos 0 1 = 0,化简，得 p 2 2 p cos 0 1 = 0.1p = 2cos 0，2 p p cos 0 = 1. 2 x2+ y2 x = 1.化简，得 3x2+

6、4y2 2x 1 = 0.方沬规律小结在进行两种坐标方程间的互化时，要注意：(1) 互化公式是有三个前提条件的，即极点与直角坐标系的原点重合、极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合，两种坐标系的单位长度相同.(2) 由直角坐标求极坐标时，理论上不是惟一的，但这里约定只在 OW 0V2n范围内求值.(3) 由直角坐标方程化为极坐标方程，最后要注意化简.(4) 由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常总要用p去乘方程的两端，应该检查极点是否在曲线上，假设在，是等价变形，否那么，不是等价变形.r.13. 把以下直角坐标方程化为极坐标方程.(1) y = 3x； (2) x2 y2= 1.解

7、：将 x = p cos 9 , y = p sin 9 代入 y= ：3xn得 p sin 9 =春3 p cos 9，从而 9-3.2 2(2)将 x= p cos 9 , y = p sin 9 代入 x y = 1,1得 p 2cos2 9 p ?sin 2 9 = 1,化简，得 p 2= cos 2 9 4. 把以下极坐标方程化为直角坐标方程.2 p cos 2 9 = 1；n p = 2cos( 9 ).解：因为p cos 2 9 = 1,所以 p 2cos2 9 p 2sin 2 9 = 1.所以化为直角坐标方程为x2 y2= 1.(2)因为 p = 2cos 9 cos 4 +

8、 2sin9 sin -4 = 2cos 9 + ：2sin9 ,所以 p 2 =2 p cos 9 + ：2 p sin 9 .所以化为直角坐标方程为x2+ y2 2x .2y = 0.对应学生用书P7、选择题1 .极坐标方程 p =1表示()A.直线B.射线C.圆D.半圆解析：p = 1,. p = 1,. x + y = 1. 表示圆.答案：C解析：如下图.设m p , e)是圆上任意,在 Rt NMOK |0M =|ONSin / ONM即 p= 2rsin e = asin答案：c3.在极坐标系中，方程p = 6cos e表示的曲线是()A.以点(3,0)为圆心,3为半径的圆B.以点

9、(3 , n )为圆心,3为半径的圆C.以点(3,0)为圆心，3为半径的圆D.以点(3 ,n)为圆心，3为半径的圆解析：由p=6cos22e，即 卩 x + y 6x = 0,表示以(3,0)为圆心,半径为3的圆.答案：C4.以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是()A.np=2cos( e B.p = 2si n(C.p = 2cos( e 1) D .p = 2sin(e 1)解析：在极坐标系中，圆心在(p 0,e 0)，半径为r的圆的方程为:2 pp cos( e e 0)，所以可得 p = 2cos(e 1).答案：C、填空题2 25 把圆的普通方程 x + (y 2)

10、 = 4化为极坐标方程为 .解析：将x = p cos 0 , y= p sin 0代入，得 p 2cos2 0 + p 2sin 2 0 4 p sin 0= 0，即 p = 4sin 0 .答案：p = 4sin 06. 曲线C的极坐标方程为p = 3sin 0，那么曲线C的直角坐标方程为 解析：由 p = 3sin 0 ,得 p 2= 3 p sin 0 ,故x2+ y2 = 3y,即所求方程为 x2 + y2 3y = 0.答案：x2+ y2 3y= 07. 在极坐标系中，假设过点A(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线p = 4cos 0于A B两点,贝 y | aei =.解析：由题意

11、知，直线方程为x= 3,曲线方程为(X 2)2+ y2= 4,将x = 3代入圆的方程，得 y = ,3，那么 | AE| = 2 . 3.答案：2 3三、解答题&把以下直角坐标方程与极坐标方程进行互化.2 2(1) x + y 2x = 0;(2) p = cos 0 2sin 0 ;2 2(3) p = cos 0 .22解： x + y 2x= 0,2p 2 p cos 0 = 0.p = 2cos 0 .(2) v p = cos 0 2sin 0 ,/ p = p cos 0 2 p sin 0 .2 2 x + y = x 2y,22即 x + y x + 2y = 0.2 2(3

12、) v p = cos 0 , p = p cos 0 = ( p cos 0 ).,22、 22(X + y ) = x ,即 x2+ y2 = x 或 x2+ y2= x.OP 29从极点O引定圆p = 2cos 0的弦OP延长OP到Q使pQ= 3,求点Q的轨迹方程,并说明所求轨迹是什么图形？解：设 Q p，0 ，P p o，0 o贝 9 0=0 0 ,p 022=Q ,p 0 口 pp 一 p 035T p 0= 2cos20 0. 5 p = 2cos 0,即 p = 5cos 0 它表示一个圆.10.假设圆C的方程是 p = 2asin 0，求：1关于极轴对称的圆的极坐标方程.3 n

13、2关于直线0 =二厂对称的圆的极坐标方程.4解：法一：设所求圆上任意一点M的极坐标为p , 0 .点M p ,0关于极轴对称的点为p , 0 ,代入圆 C 的方程 p = 2asin 0 ,得 p = 2asin 0, 即p= 2asin 0为所求.3 n3 n点M p , 0 关于直线0 =旷对称的点为p , 2 0，代入圆C的方程p = 2asin3 n0,得 p = 2asin 0 ,即p= 2acos 0为所求.2法二：由圆的极坐标方程 p = 2asin 0得p = 2 pasin 0 ,利用公式 x = p cos 0 , y= p sin 0 , p = x + y 化为直角坐标方程为 x2+ y2= 2ay,即x2+ (y a)2= a2,故圆心为 C0 , a)，半径为| a|.(1)关于极轴对称的圆的圆心为 (0， a),圆的方程为x2 + (y+ a)2= a2,即 x + y = 2ay,所以