《飞行管理问题》ppt课件

1、v在约在约10000m高空的某边长高空的某边长160km的正方形区域的正方形区域内，经常有假设干架飞机作程度飞行。区域内每内，经常有假设干架飞机作程度飞行。区域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其数据，架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其数据，以便进展飞行管理。当一架欲进入该区域的飞机以便进展飞行管理。当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘时，记录其数据后，要立刻计算并到达区域边缘时，记录其数据后，要立刻计算并判别能否会与区域内的飞机发生碰撞。假设会碰判别能否会与区域内的飞机发生碰撞。假设会碰撞，那么应计算如何调整各架包括新进入的撞，那么应计算如何调整各架包括新进入的飞机飞行的方向角，以

2、防止碰撞。现假设条件如飞机飞行的方向角，以防止碰撞。现假设条件如下：下：(1)不碰撞的规范为恣意两架飞机的间隔大于不碰撞的规范为恣意两架飞机的间隔大于8km；(2)飞机飞行方向角调整的幅度不应超越飞机飞行方向角调整的幅度不应超越30；(3)一切飞机飞行速度均为一切飞机飞行速度均为800km/h；(4)进入该区域的飞机在到达区域边缘时，与区域内进入该区域的飞机在到达区域边缘时，与区域内飞机的间隔应在飞机的间隔应在60km以上；以上；(5)最多需思索最多需思索6架飞机；架飞机；(6)不用思索飞机分开此区域后的情况。不用思索飞机分开此区域后的情况。v请他对这个防止碰撞的飞行管理问题建立数学请他对这个

3、防止碰撞的飞行管理问题建立数学模型，列出计算步骤，对以下数据进展计算模型，列出计算步骤，对以下数据进展计算方向角误差不超越方向角误差不超越0.01v设该区域设该区域4个顶个顶点的坐标为点的坐标为(0,0)，(160,0)，(160,160)，(0,160)。记录。记录数据如表所示：数据如表所示：飞机编号飞机编号 横坐标横坐标X 纵坐标纵坐标Y 方向角方向角()1150140243285852363150155220.54145501595130150230新进入新进入0052VIIIIIIIVIV160km160km飞行位置表示图飞行位置表示图这外表上是一个有这外表上是一个有6个控制对象的最优

4、控制个控制对象的最优控制问题，控制方案太多，似乎很难寻优。问题，控制方案太多，似乎很难寻优。但仔细分析这并不是空间优化问题，只思索但仔细分析这并不是空间优化问题，只思索1000010000米高空的面包片；因此是平面问题。而米高空的面包片；因此是平面问题。而实践上对每架飞机而言是一维问题，由于只实践上对每架飞机而言是一维问题，由于只需旋转角度问题，故有能够简化。需旋转角度问题，故有能够简化。 这个有六个控制对象的最优控制问题可以利用平面几何的知识证明两个简单结论,从而转化为非线性优化问题。 早调整一定优于晚调整。这样第六架飞机刚进入正方形时就调整，由于时辰确定，问题就简化为优化问题。结论一：AF

5、DBEC证：飞机处于A，飞行方向AB，到达B会与另一架飞机相撞，至少调整到AC才能够防止相撞。假设飞行至D再调整，仍需飞向C才能够防止相撞，幅度为BDFBAC，实践幅度为EDBBDF。因此早调整一定优于晚调整。 一次调整到位，优于多次调整。结论二：结论二：证：分两次调整，幅度证：分两次调整，幅度BAD+ODC BAO+DAC= BAC。进一步可以用数学归纳法证进一步可以用数学归纳法证明一次调整到位优于多次调明一次调整到位优于多次调整。整。AFDOECB这样原问题的调整时辰确定，无须思索时间要这样原问题的调整时辰确定，无须思索时间要素，问题转化为普通优化问题。素，问题转化为普通优化问题。 普通优

6、化问题的数学模型都是由两部分组成，即优化的目的函数和必需满足的约束条件。 目的函数可以根据实践问题作出多种选择。幅度最小用数学言语准确表示，至少有四种函数幅度最小用数学言语准确表示，至少有四种函数611.miniisign61minii612.minii163.minmaxii 6214.miniii表示第表示第i架飞机的调整方向角。架飞机的调整方向角。其中，其中， 2264ijijx tx ty ty t,0,min,ijij tT T /6,1,2,.,6ii 0800cosiiix txt 0800siniiiy tytiT表示第表示第i i架飞机飞出正方形区域的时辰。架飞机飞出正方形区

7、域的时辰。其中，其中，6 , 1,)0(iiii 这个非线性优化问题可以利用物理上的相对运动原理化为一族线性优化问题，即把一个物体看成不动，另一物体对它作相对运动。 由于目的函数是分段线性 的，约束条件是关于坐标的平方，并不是 的非线性函数，因此有能够转化为线性优化问题。iPiijPjiVjVijV相对运动及相对速度表示图利用相对运动原理可以将坐标的非线性约束等价转换为飞行方向角的线性约束。 任给两架飞机 和 ，让坐标系固定在 上， 在新坐标系下的运动即 对 的相对运动，显然， 与 在相撞不思索正方形区域限制的充要条件是 的方向见上图，其中相对速度方向不落在这个扇形内，就一定是平安的。相对速度

8、方向 ()22ijijijsign0tiPjPiPiPiPjPjPjP88arcsin,arcsinijijijijijdd1222( (0)(0)(0)(0) ijijijdxxyyijV当当Pj的飞行方向不变时，由于的飞行方向不变时，由于Vi=Vj=800km/h，所以相对速度所以相对速度Vij方向由方向由Pi的飞行方向角的飞行方向角i独一决独一决议，且根据矢量法那么是议，且根据矢量法那么是i的线性函数的线性函数(0)(0),(0)(0)22(0)(0),(0)(0)(1)22(0)(0)iijjiijjiijjiijjijiijj 无方向因此原来关于坐标的非线性约束转化为飞行方向角增量的

9、线性约束：ij(0)(0)(0)(0)8arcsin(0)(0)22iijjiijjjjiiijd(0)(0)1,2,1, ,iijjinnji 或者或者jjiijjiijjiiijijd)0()0()0()0(22)0()0(8arcsin目的函数可以从前三个任选一个。这样线性规划模型其中一个如下：61min|.|,1,2,66(0)(0)8arcsin2( (0)(0)21,2,5;1,6iiiiijjijijiijjstidsigniji 惋惜的是，这样的线性规划太多了，有215个虽然很多一定无解，可以不讨论。或问题的解或问题的解一定不能落在这个区间中一定不能落在这个区间中由这5个不等式

10、可以定出五个禁飞方向角区间，可在数轴上表示如下：禁飞方向角度区间表示图55.6295IIIIIIIVVIV18.581126.363127.519242.631943.551547.507352.790953.071665.0308,66,6,6682()(0) 2arcsin82()(0) 2arcsiniiiiijiiiijsigndsignd 1,5i 第一种目的函数下一定要进展调整，由于不调整，第6架飞机与第3、5架飞机相撞,因此至少调整一架且只需调整第6架,否那么第6架仍与其中一架飞机相撞,假设调整第6架仅有两个方向：逆时针需求调整13.04度,顺时针需求调整8.45度,因此第一种目

11、的函数下最优解为:调整架次和调整幅度都到达最少。第二种目的函数为： 61min|ii约束条件可改写为：6563645252.7909VIV5252.6295VIIII5253.0716VIIV与与与其中恣意两架飞机不相撞时的最小调整幅度是六架飞机调整到不撞的调整幅度的下界。仅讨论第6、3架飞机不相撞，以下不等式必需满足：所以3.63是6架飞机不相撞的调整幅度的下界。63633.6295| 3.63 ，因此有，调整幅度3.63时也可以实现6架飞机不相撞，详细调整方案如下：VI5253IVVIII55.629552.9995VIIII,第 架与第 架飞机不相撞，则第 架与第 架飞机也不相撞因此，六

12、架飞机都不相撞，最小调整幅度为356| | | =3.631.下界 同第二种目的函数 仅讨论第三架和第六架飞机 由于所以，二者当中最大的一个取一半时，到达最小，即16minmax |ii 63| | 3.63 ，631.8152.最大幅度为1.815也可以使飞机都平安，由于此时第六架飞机的飞行方向角为53.815，不在第五架飞机的禁飞方向区间中，所以与第五架也不相撞，同时第四架飞机从53.0716调整到53.825，与第六架也不相撞，因此都是平安的。第三种目的函数：第三种目的函数：6365643.630.801.072621minii第四种目的函数：利用禁飞方向角度表示图可得以下不等式：这是一

13、个非线性规划问题，可以转化为等式条件下的求极值问题。由于第三个目的函数的最优解也是这个问题的可行解，因此平方和的最小值不超越21.8152+0.74342=2.6752 由于最优解中，每架飞机的调整幅度不超越2.675，因此，第三架和第六架飞机的调整方向一定相反，所以二个调整幅度的和一定等于3.63，否那么目的函数将变大,故第一个不等式一定成为等式。由于第六架飞机的调整幅度一定大于0.955，所以第五架飞机不调整时，第二个不等式一定成立，这样目的函数是最小的。这时，原问题化为在第三个不等式约束下的二次函数的极值问题，由于驻点不满足约束条件，所以最小值一定在边境到达，即第三个不等式也成为等式。目

14、的函数变为：226662663.6339.404143.332525 2（） （-1.072）显然获得最小值61.567342.0630.488 ，SSPiVjxty思索区域限制加上时间轴的假想飞行轨迹图 以时间轴为数轴，飞机的运动轨迹是一根一端位于底面，与底面成一定角度的射线，角度为每小时前进80公里。与一架飞机相撞的区域是一个以这个飞机的运动轨迹为中心线，每个程度截面都是半径为8公里的圆生成的椭圆柱。一架飞机调整后的轨迹一定在以地面一点为锥顶，角度与上述射线角度一样的圆锥面的1/6，这个锥面与椭圆柱相交的部分就是相撞的区域，其在底面的投影s，与锥顶生成的扇形就是禁飞方向扇形。 根据禁飞方向

15、扇形的讨论，因此，S一定是一个连通区域，假设思索正方形区域的限制，无非是再加上一个长方体的约束，如上图所示。可以证明，加上长方体的约束后，相撞的区域依然是连通的，与锥顶的连线仍生成一个扇形，至多角度小一些，或坚持不变，详细见下表。禁飞方向区间对比表不思索正方形限制时禁飞方向角区间思索正方形限制时禁飞方向角区间118.5811，27.519218.5811，27.5192226.3681，41.631926.3712，41.6279347.1273，55.629547.3712，55.6295453.0716，65.030853.0716，65.0308543.5515，52.790943.5615，52.78996PjP6PSSLW 为了证明，加上长方体的约束，禁飞方向依然构成一个扇形，只需证明S是一个凸集。在 S的边境任取两点与过这两点的竖直线生成的平面，与椭圆柱的交，应该是一个封锁的区域W，或者是两条平行线构成的无限长的带子。平面与圆锥面的交，应该是S中的一条二次曲线L。假设这条曲线L超出了上述区域W，那么超出的部分应该不属于相撞区域，与前面曾经证明的禁飞方向构成扇形，是连通的相矛盾。此题简化有三大步： 第一步，最优控制转化为非线性优化问题，这