(完整word版)24.1.4圆周角教学设计.doc

1、24.1.4圆周角（ 1）杨柳青三中纪洪生、24.1.4圆周角一、内容和内容解析1. 内容圆周角概念，圆周角定理及其推论2. 内容解析与圆心角一样，圆周角也是研究圆时重点研究的一类角 . 顶点在圆上 并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，圆周角定理（即一条弧所对的圆周角等于他所对的圆心角的一半）揭示了一条弧所对的圆周角与圆心角之间的数量关系， 从而把圆周角与相对应的弧、 弦联系起来 . 圆周角定理及其推论为与圆有关的角的计算，证明角相等的数学问题提供了十分便捷的方法和思路，即是圆心角、弧、弦之间关系的继续，又是后续研究员与其他平面图形的桥梁和纽带 .圆周角定理的证明，采用完全归纳法。通过分类讨论，

2、把一般问题转化为特殊情况来证明， 参透了分类讨论和化一般为特殊的化归思想.基于以上分析 , 确定本节课的教学重点是：圆周角定理.二、目标和目标解析1. 目标（1）了解圆周角的概念，会证明圆周角定理及其推论.（ 2）结合圆周角定理的探索与证明的过程，进一步体会分类讨论、化归的思想方法 .2. 目标解析、达成目标（ 1）的标志是：能在具体的图形中正确识别一条弧所对的圆周角；知道一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，知道同弧或等弧所对的圆周角相等，能够正确识别直径所对的圆周角，并会结合具体问题构造直径所对的圆周角； 能够应用定理或推论解决简单问题 .达成目标（ 2）的标志是：能通过画图、观

3、察、度量、归纳等方式发现一条弧对应的圆周角与圆心之间的关系； 能根据圆心与圆周角的位置关系对同弧所对的圆周角进行分类， 理解证明圆周角定理需要分三种情况的必要性； 理解证明圆周角定理时， 可以把圆心在圆周角的内部和外部两种情况转化成特殊情况，从而证明定理 . 三、教学问题诊断分析圆心与圆周角具有三种不同的位置关系 : 圆心在圆周角的一边上，圆心在圆周角的内部，圆心在圆周角的外部 . 所以，圆周角定理的证明要采用完全归纳法，分情况证明 . 学习本节课内容时，学生已经具备一定的逻辑推理能力， 但对于一个几何命题要分情况证明的经验还很缺乏 . 因此，教学的关键是 : 在学生明确圆周角的概念后， 让学

4、生动手画圆周角， 一方面让学生深入了解圆周角， 另一方面让学生在动手操作中体会圆心与圆周角具有三种不同的位置关系， 为后面证明中的分类讨论做好铺垫 . 学生合作交流，通过度量事先画的一条弧所对的圆周角与圆心角的度数， 探究并猜想他们之间的数量关系， 然后教师再利用几何画板来验证， 让学生进一步明确它们之间的关系， 从而得到命题：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 从、特殊的位置关系 - 圆心在圆周角一边上的情形入手，先证明猜想，再将其他两种情形转化为圆心在圆周角一边上的情形 .基于以上分析， 本节课的教学难点是： 分情况证明圆周角的定理 . 四、教学过程设计1. 了解圆周角的概念问题

5、 1 如图，类比圆心角，当角的顶点运动到圆上，ACB 的顶点和边有哪些特点？COAB师生活动： 学生观察图形，教师引导学生结合图形认识到： ACB 的顶点在 O 上，角的两边分别交于 O 于 A，B 两点 .教师进而指出：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角，叫做圆周角 .圆周角和圆心角都是与圆有关的角 .设计意图： 类比圆心角，获得圆周角定义，理解圆周角的概念.练习 教科书第 88 页练习第 1 题.设计意图：同时呈现有关圆周角的正例和反例， 有利于学生对圆周角概念的本质属性与非本质属性进行比较，巩固对概念的理解 .2.探索圆周角定理C问题 2 在图 2 中， ACB 是圆周角，作出 弧 AB

6、 所对的O圆周角 AOB，分别测量 ACB 和 AOB 的度数，AB他们之间有什么关系？师生活动： 学生画图，连接 OA，OB，得到圆心角 AOB.教师指出 ACB 和 AOB 都对着弧 AB，提出以下问题 .教师追问 1：图中 ACB 和 AOB 有怎样的关系？、师生活动： 学生通过观察、度量，猜想ACB= 1 AOB.即一条弧所2对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.教师追问 2：在 O 上任取一条弧，作出这条弧所对的圆周角和圆心角，测量出他们的度数，你能得出同样的结论吗？师生活动：除学生动手画图，度量并验证猜想外， 教师也可以利用几何画板软件的动态功能和度量功能进行演示， 从更广泛的角度验

7、证猜想：拖动圆周角的顶点在优弧弧 AB 上运动；改变弧的大小；改变圆的大小后分别进行和的演示 .引导学生发现，在演示过程中， ACB 和 AOB 度数的比值保持不变 .设计意图： 引导学生经历观察、猜想、操作、分析、验证、交流等基本数学活动，探索圆周角的性质： 一条弧所对的圆周角等于他所对的圆心角的一半 .教师使用几何画板做进一步演示与验证，在动态环境中研究圆周角和圆心角的关系， 即在某些量变化的过程中让学生观察不变的数量关系，帮助学生更好地理解一条弧所对的圆周角与圆心角的数量关系.3.证明圆周角定理问题 3 如何证明一条弧所对的圆周角等于他所对的圆心角的一半？教师追问 1：在圆上任取 弧 A

8、B，画出圆心角 AOB 和圆周角 ACB,圆心与圆周角有几种位置关系？师生活动： 学生动手画图，交流，思考，得到圆心与圆周角的三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心、在圆周角的外部 .CCCOOOABABAB设计意图：把直观操作与逻辑推理有机结合， 使得推理论证成为学生观察，实验，探究得出结论的自然延续，同时进一步明确证明的必要性和证明的方法 .教师追问 2：在第种情况下，如何证明一条弧所对的圆周角等于他所对的圆心角的一半？师生活动：学生结合三种位置的图形，认识到：第种情况属于特殊情况，另外两种情况比第种情况复杂 . 研究数学问题一般从特殊情况开始，在考虑其他情况能否转化

9、成特殊情况 . 师生结合图形，分析第种情况，得到OA=OCA=C1BOC=A+A=2BOCC设计意图： 从特殊情况入手，证明猜想，既便于学生的学习，又为其他两种情况提供转化的方向 .教师追问 3：在 23 种情况下，如何证明一条弧所对的圆周角等于它C所对的圆心角的一半？师生活动： 学生思考，尝试解决，如果学生有困难，O教师可提示学生：将23 种情况转化第 1 种情况 .AB根据学生的情况 . 师生可提示是学生： 将第 23 种情况转化成第1 种情D况. 根据学生的情况，师生共同完成第2 种情况的证明 .、证明：如图 4，连接 AO并延长交 O 于点 D。学生独立完成第3 种情况的证明 . 从而

10、得到定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.设计意图：将一般的情况化为特殊情况，体现了化归的数学思想. 学生通过三种情况，感受分类证明的必要性，有利于逻辑推理能力的提升.4. 探究特殊情况，获得推论问题 4 我们知道一条弧可以对着不同的圆周角，这些圆周角之间有什么关系？也就是说，同弧或者等弧所对的圆角之间有什么关系？师生活动：学生画出 BC所对的几个圆周角和圆心角（图5），先观察、猜想，根据定理得到结论：一条弧所对的圆周角相等，在思考同弧或者等弧的情况 . 如果学生遇到困难，教师可根据情况提示学生：考虑圆周角与圆心角之间的关系、弧与圆心角之间的关系，通过弧相等得到结论。设计意图 :

11、让学生经历观察、猜想、证明得出推论得探索过程，得到圆周角的定理得推论，进一步认识与圆有关的角和弧之间的关系 .问题 5 半圆（或直径）所对的圆周角是直角 . 教师进一步引导学生得出： 90得圆周角所对的弦是直径 .设计意图：由一般到特殊进一步认识定理，加深对定理得理解，获得推论.5. 应用圆周角定理与推论例如图 7，O于 D，求 BC，AD， BD的长.师生活动：师生共同分析已知条件、 所求和解题思路 . 如图 8，欲求 BC的长。由 BC 所在的 ABC 中, 由勾股定理可求 BC 的长 . 由 CD 平分 ACB 得 ACD= BCD,连接 OD，可得 AOD= BOD=90 ，进而由勾股

12、定理可求 AD， BD的长 .学生解答，一名学生板书，教师组织学生交流 .设计意图：应用圆周角定理及推论解决问题，巩固所学的内容.、6. 小结教师与学生一起回顾本节课的主要内容，并请学生回答以下问题：（1）本节课学习了那些主要内容？（2）我们是如何证明圆周角定理的？在证明过程中用到了那些思想方法？设计意图：通过小结使学生归纳、梳理总结本节的知识、技能、方法，将本节课所学的知识与以前所学的知识进行紧密联系，有利于学生认识数学思想、 数学方法，积累数学活动的经验.教学任务分析1了解圆周角与圆心角的关系知识技能2探索圆周角的性质和直径所对圆周角的特征3能运用圆周角的性质解决问题1通过观察、比较，分析

13、圆周角与圆心角的关系，发展学生教合情推理能力和演绎推理能力数学思考2通过观察图形，提高学生的识图能力学目3通过引导学生添加合理的辅助线，培养学生的创造力标学生在探索圆周角与圆心角的关系的过程中，学会运用分类讨解决问题论的数学思想、转化的数学思想解决问题引导学生对图形的观察发现，激发学生的好奇心和求知欲，并情感态度在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心重探索圆周角与圆心角的关系，发现圆周角的性质和直径所对圆周角的特征点难发现并论证圆周角定理点教学流程安排活动流程图活动内容和目的活动 1 创设情境，提出问题从实例出发提出问题，给出圆周角的定义、活动 2探索同弧所对的圆心角通

14、过实例观察、发现圆周角的特点， 利用度量与圆周角的关系，同弧所对的圆周工具，探索同弧所对的圆心角与圆周角的关角之间的关系系，同弧所对的圆周角之间的关系活动 3发现并证明圆周角定理探索圆心与圆周角的位置关系， 利用分类讨论的数学思想证明圆周角定理活动 4圆周角定理应用反馈练习，加深对圆周角定理的理解和应用活动 5 小结，布置作业回顾梳理，从知识和能力方面总结本节课所学到的内容教学过程设计问题与情境师生行为设计意图活动1从生活中的实际演示课件：教师演示课件： 展示问题入手，使学生认识一个圆柱形的海洋馆到数学总是与现实问教师解释：在这个海题密不可分，人们的需洋馆里，人们可以通过其要产生了数学中的圆弧

15、形玻璃窗弧 AB将实际问题数学观看窗内的海洋动物化，让学生从一些简单教师出示海洋馆的的实例中，不断体会从横截面示意图，提出问现实世界中寻找数学题模型、建立数学关系的教师结合示意图， 给方法出圆周角的定义 利用练引导学生对图形习，让学生辨析圆周角，的观察，发现，激发学并引导学生将问题 1、问生的好奇心和求知欲，题 2中的实际问题转化成并在运用数学知识解数学问题：即研究同弧答问题的活动中获取（弧 AB ）所对的圆心角成功的体验，建立学习（AOB）与圆周角的自信心（ACB ）、同弧所对的、问题 1圆周角（ACB 、 ADB 、如图：同学甲站在圆心OAEB 等）之间的大小关的位置，同学乙站在正对着玻系

16、教师引导学生进行探璃窗的靠墙的位置C，他们的究视角（AOB 和ACB ）有什教师关注：么关系？1问题的提出是否问题 2引起了学生的兴趣；如果同学丙、丁分别站在2学生是否理解了其他靠墙的位置D 和 E，他们示意图；的视角（ADB 和AEB ）和3学生是否理解了同学乙的视角相同吗？圆周角的定义；4学生是否清楚了要研究的数学问题活动 2活动 2 的设计是为教师提出问题，引问题 1导学生利用度量工具 （量引导学生发现 让学生同弧（弧 AB ）所对的圆角器）动手实验，进行度亲自动手，利用度量工周角ACB 与圆周角量，发现结论具半圆仪进行实验、 探ADB 、 AEB 的大小关系是在活动中，教师应究，得出结

17、论激发学怎样的？再变动点 C 在圆周关注：生的求知欲望， 调动学上的位置，看看圆周角的度数1学生是否积极参生学习的积极性 教师有没有变化 . 你发现其中有与活动；利用几何画板从动态什么规律吗 ?2学生是否度量准的角度进行演示， 目的问题 2 同弧（弧 AB）所确，观察、发现的结论是是用运动变化的观点对的圆心角 AOB 与圆周角否正确来研究问题，从运动变 ACB 的大小关系是怎样由学生总结发现的化的过程中寻找不变的？规律：同圆中，同弧所对的关系的圆周角的度数没有变、COEDAB活动 3问题 1在圆上任取一个圆周角，观察圆心与圆周角的位置关系有几种情况？ (课件：折痕与圆周角的关系 )问题 2当圆

18、心在圆周角的一边上时，如何证明活动 2 中所发化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半教师利用几何画板课件“圆周角定理” ，从动态的角度进行演示， 验证学生的发现 教师可从以下几个方面演示， 让学生观察圆周角的度数是否发生改变，同弧所对的圆周角与圆心角的关系有无变化1拖动圆周角的顶点使其在圆周上运动；2改变圆心角的度数.教师引导学生， 利用数学教学是在教准备好的圆，采取小组合师的引导下，进行的再作的学习方式，前后四人创造、再发现的教一组，分组讨论学通过数学活动，教教师关注：给学生一种科学研究1学生是否会与人的方法，学会发现问合作，并能与他人交流思题、提出问题、分析问维的过程和结果

19、；题，并能解决问题活2学生能否发现圆动 3 的安排是让学生对心与圆周角的三种位置所发现的结论进行证关系明培养学生严谨的治教师巡视，请学生回学态度答问题回答不全面时，问题 1 的设计是让、现的结论？请其他同学给予补充学生通过合作探索， 学教师演示圆心与圆周角会运用分类讨论的数的三种位置关系学思想研究问题 培养教师引导学生从特学生思维的深刻性殊情况入手证明所发现问题 2、3 的提出的结论是让学生学会一种分学生说出已知、求析问题、解决问题的方证，完成证明教师板书。式方法：从特殊到一教师关注：般学会运用化归思想1学生能否用准确将问题转化并启发培的数学符号语言表述已养学生创造性的解决知和求证；问题2学生

20、能否证明出结论学生采取小组合作的学习方式进行探索发现，教师观察指导小组活问题 3动启发并引导学生，通另外两种情况如何证过添加辅助线，将问题进明，可否转化成第一种情况行转化呢？教师关注：1学生是否会想到添加辅助线，将另外两种情况进行转化；2学生添加辅助线的合理性；3学生是否会利用问题 2 的结论进行证明教师讲评学生的证、明，板书圆周角定理活动 41.如图 ,AB 是 O 直径 , 则 C、 D、 E 的度数是多少度？为什么？2. 反过来，如果圆周角C=90，弦 AB 经过圆心吗？C 2为什么？C1C3BAO学生独立思考，回答问题，教师讲评活动 4 的设计是圆问题 1 提出后，教师周角定理的应用

21、通过关注：4 个问题层层深入，考学生是否能由半圆察学生对定理的理解（或直径）所对的圆心角和应用的度数得出圆周角的度问题 1、2 是定理数的推论，也是定理在特问题 2 提出后，教师殊条件下得出的结论关注：学生是否能由903.在半径不等的 O 和 O，的圆周角推出同弧所对中，若 C= C ， , 则的圆心角度数是180，AB=A,B, 吗 ?从而得出所对的弦是直BB径AC问题 3 提出后，教师关注： 问题 3 的设计目的是通A学生能否得出正确过举反例，让学生明确C思考：添加什么条件， 就能使的结论，并能说明理由定理使用的条件并引它成立呢？教师提醒学生： 在使用圆申，将本节课的内容与结论 :在同圆或等圆中，如果周角定理时一定要注意所学过的知识紧密结两个圆周角相等，它们所对的定理的条件合起来，使学生很好地弧一定相等