高中数学会考复习资料基本概念和公式

1、高中数学会考基础知识汇总第一章集合与简易逻辑:|v|1图象观察法：y 0.2|x|；单调函数法：y 10g2 (3x 1),x - ,35、交集与并集.集合1、集合的有关概念和运算(1)集合的特性：确定性、互异性和无序性；(2)元素a和集合a之间的关系：ac a,或a a；2、子集定义：a中的任何元素都属于 b,则a叫b的子集；记作：a b, 注意：a b时，a有两种情况：a=(f)与aw。3、真子集定义：a是b的子集，且b中至少有一个元素不属于 a;记作：a b；4、补集定义：cu a x|x u,且 x a；交集：a b x|x a且x b；并集：a b x|x a或x b6、集合中元素的

2、个数的计算：若集合a中有n个元素，则集合a的所有不同的子集个数为 所有真子集的个数是,所有非空真子集的个数是 。二.简易逻辑：1.复合命题：三种形式：p或q、p且q、非p；判断复合命题真假：二次函数配方法：y x2 4x,x 1,5), y , x2 2x 2“一次”分式反函数法：y 一x 换元法：y x 10a10a y=axy=axyyyiy=log ax 厂一一oj1xoy=loglxj11o xox性质定义域(-oo, +oo)(-oo, +oo)(0, +)(0, +00)值域(0, +)(-oo, +oo)单调性在（-oo, +oo） 上是增函数在（-oo, +oo） 上是减函数在

3、（0, +8） 上是增函数在（0, +0） 上是减函数函数值 变化1,x 0ax1,x 01,x 01,x 0ax 1,x 01,x 00,x 1loga x 0, x 10,0 x 1loga x0,x 10, x 10,0 x 1图定点a01,过定点（0, 1）loga 10,过定点(1,0)三.等比数列：1.定义：a_! an三.指数函数和对数函数的图象性质（2）若数列an是等差数列,数列。如下图所示:3.前n项和:说明：sn4.等比中项:q(qsna1 (1sn是其前n项的和，ks3k* _n，则 sk，s2ksk ， s3ks2k成等差a1a2a3skakak1s2 ka2 ka2k

4、sk1s3 ka3ks2k0);a12.通项公式:anq1 qnai,(qa1(1an1)qn)naq, (q1 一（其中：首项是a1，公比是q）八（推导方法：乘公比，错位相减）1）n uq 1)；b 2不，即g2gabsn(或ga11）; 当q 1时为常数列，sn等比中项有两个）na1 。5.等比数列的主要性质：（1）等比数列an，若n ma n amau ava1 an也就是：a1 ana2 an 1a3 an 2o如图所示:a1,a2, a3, an 2, an 1, ana2 an 1（2）若数列an是等比数列，sn是前n项的和，k* . n，则sk , s2ksk ,s3ks2k成等

5、比数列。s3kc() ： cos(a ) cos cos sin sinc() ： cos(a ) cos cos sin sin如下图所示：a1 a2 a3skakak 1s2ksk四.求数列的前 n项和的常用方法：分析通项，寻求解法1.公式法：等差等比数列 ；2.分部求和法：如一一，13.裂项相消法：如 an=; 4.错位相减法:n(n 1)第四章三角函数1、角：与 终边相同的角的集合为|a2ka2k 1s3k s2knan=2n+3“差比之积”a3kt() ： tan(tan tan1 tantant()： tan(tan tan1 tan tan的数列：如an=(2n-1)2 n7、辅

6、助角公式：asin x bcosx.a2 b2 (sinx coscosx sin).a2b2 sin(x(其中称为辅助角,的终边过点(a,b)tan - ak 360 ,k z8、二倍角公式：(1)、s2 :sin 22sincos(2)、降次公式:2、弧度制：(1)定义：等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用弧度做单位叫弧度制。(2)度数与弧度数的换算:180180 o弧度，1弧度()c2cos 22cos2sinsincos -sin22i |r3、三角函数定义：(如图)sinyyrtansecrxxxcotxrcoscscryy是角的弧度数)(4、同角三角函数基本关系式平方关系:商

7、数关系:(3)弧长公式：l(1)(2)2sin2cossintan cos(3t2 :2sin22 cos22sin1 cos25、诱导公式(理解记忆方法：奇变偶不变,符号看象限)公式一：sin( k 360 ) sin cos( k 360 ) costan(k 360 ) tan公式二：sin(180) sincos(80 ) cos tanq80 ) tan公式二：sin(180)sincos(80)cos:anq80 ) tan公式四：sin( )sincos( ) cos tan()tan公式五：sin360)sincos360 ) costan360)tansin(2)cossin

8、(-)cos户 sin(2)cos. /3 sin(-y)coscos( )sincos(一)sin,3 cos()sincos()sin2222tan(tan(-)cottan(二)cot,3 tan()cot)cot22226、两角和与差的正弦、余弦、正切s(): sin( ) sin cos cos sins(): sin( ) sin cos cos sintan22 tan1 tan22cos21 cos21cos221 c cos22j2129、三角函数的图象性质(1)函数的周期性：定义：对于函数f (x),若存在一个非零常数 f (x),那么函数f (x)叫周期函数，非零常数t,

9、当x取定义域内的每一个值时，都有: t叫这个函数的周期；如果函数f (x)的所有周期中存在一个最小的正数，这个最小的正数叫(2)函数的奇偶性：(x+t)=f (x)的最小正周期。函数定义域值域周期性奇偶性递增区间递减区间y sin xx r-1, 1t 2奇函数2kl 2k223一 2kl 2k22y cosxx r-1, 1t 2偶函数(2k 1) ,2k2k ,(2k 1)y tanxx| x 一 k 2(-oo,+ oo)t奇函数 k , k 22定义：对于函数f (x)的定义域内白任意一个 x,都有：f (-x) = - f (x),则称f (x)是奇函数, f (-x) = f (x

10、),则称f (x)是偶函数奇偶函数的定义域关于原点对称；奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；(3)正弦、余弦、正切函数的性质( k z ) 3y sinx图象的五个关键点：(0, 0), (一,1), ( , 0),(，-d, (2 , 0);22 3y cosx 图象的五个关键点：(0, 1), (一 , 0), ( , -1),(，0), (2 , 1)；22向量的加法三角形法则向量的减法指向被减向量(2)实数与向量的积：定义：实数与向量a的积是一个向量，记作： a ；(4)、函数 y asin( x)(a 0,0)的相关概念:它的长度：| a| | | |a|；：它的方向

11、：当 0, a与a的方向相同；当0, a与a的方向相反；当 0时，a =0 ；3 .平面向量基本定理：如果 6,6是同一平面内的两个不共线的向量，那么对平面内的任一向量a,有且只有一对实数1, 2,使a 1 e2e2 ；4 .平面向量的坐标运算：(1)坐标运算：设 a x1,y1 ,b x2, y2 ，则 a b x1 x2,y1 y2函数定义域值域振幅周期频率相位y asin( x )x r-a, aat 2-f 1t 2xy asin( x )的图象与y sinx的关系：当a 1时，图象上各点的纵坐标伸长到原来的a倍-振幅变换：y s1nx当0 a 1时，图象上各点的纵坐标缩短到原来的a倍

12、与asin x初相图象设a、b两点的坐标分别为(xi, y。，(x2, y2),则ab x2x1, y2y1五点法(2)实数与向量的积的运算律：设a x, y ,则入ax, yx, y ,(3)平向向量的数量积：定义：a b a b cos a 0, b 0,001800 , 0 a 0. .一 1当 1时，图象上各点的纵坐标缩短到原来的，倍周期变换：y sin xl y sin x当01时，图象上各点的纵坐标伸长到原来的倍当 0时，图象上的各点向左平移个单位倍、 .相位变换：y sinx 当0时，图象上的各点向右平移| |个单位倍 y sin(x )平面向量的数量积的几何意义：向量、坐标运算

13、：设ax1, y1 ,ba的长度| a |与b在a的方向上的投影| b | cos的乘积;x2, y2，则 a bxx2yy2 ；向量 a 的模 | a | ： |a |2 a a x2 y2 ；模 | a | &2y10.反三角函数：第五章平面向量1.向量的有关概念：向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。、设是向量a x1, y1 , bx2,y2的夹角，则cosjy22。, xy1 x2y22.向量的运算：(1)、向量的加减法:5、重要结论:(1)两个向量平行的充要条件:设 ax1 , yi , b x2, y2，则 a/ /b(2)两个非零向量垂直的充要条

14、件：bx1y2 x2yl 0(r)设 ax1, y1 , bx2, y2 ，则 aa b 0x1x2y1y 2 03.基本应用：求函数最值：注意：一正二定三取等；积定和小，和定积大。91常用的万法为：拆、凑、平万；如：函数 y 4x - (x )的最小值2 4x211右正数 x, y ?两足x 2 y 1,则一 一的最小值 ox y(3)两点 a x1, y1 , b x2, y2 的距离:|ab|22.(x1 x2)(y1 y2)三、绝对值不等式：|a| |b| |a b| |a| 1bl_.违邕：上述等号“=”成立的条件;(4) p (x, y)分线段p1p2的定比满足pfpp2 ,且 p

15、1(x1p2(x2, y2)则定比分点坐标公式(5)平移公式：如果点6、解三角形:(1)三角形的面积公式:(2)正，余弦定理一a正弦定理：p(xsin a sin b2a余弦定理：b22cb22a2a2c2cb2b2求角： cos a 一2c2bcx1x21yy21v)按向量a1 .一 absinc2中点坐标公式h,k 平移至px1x22yy22)，则xh,k.11 .acsin b bcsinac2r,或 asinc2bc cosa2ac cosb2abcosc (acosb2rsin a,b)2 2ab(12,2c b2acb 2rsin b,cocc)cosc2rsin,22b c2ab

16、第六章不等式一、不等式的基本性质：1,特值法是判断不等式命题是否成立的一种方法，此法尤其适用于不成立的命题。2.中间值比较法：先把要比较的代数式与“0”比，与“ 1”比，然后再比较它们的大小二.均值不等式：1.内容：两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。即：若a b a,b 0 ,则 b jab 2(当且仅当a b时取等号)2.基本变形：a b；若 a,b r,则 a2 b2 2ab五、不等式的解法:1.一元二次不等式的图解法：(二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系)(1)当 a 0时，|x| a 的解集是x|x a,x a , | x | a 的解集是x| a x a(2)当 c

17、 0 时，|ax b | c ax b c, ax b c, | ax b | c c ax b c4分式丕等式.的解法二通解变形为整式不等式； f) 0; (2) -f()0;g(x)g(x)5.高次不等式组的解法：数轴标根法。第七章 直线和圆的方程一、直线1 .直线的倾斜角和斜率(1)直线的倾斜角a e 0,兀).(2)直线的斜率，即k tan (900)3.距离型：形如z (x a)2 (y b)2时，可把z看作是动点p(x, y)与定点q(a,b)距离的平方，这(3)斜率公式：经过两点 pi(xiyi)、p2(x 2, y2)的直线的斜率为y(x2 xi 0)乂2 x12.直线的方程(

18、1)点斜式:y yo=k(x xo)(2)斜截式：y=kx + b样目标函数的最值就转化为pq距离平方的最值。二、曲线和方程：求曲线方程的步骤：建系，设点；列式；代入化简;三、圆1.圆的方程：(1)标准方程(x a) 2+(y b) 2=r2. (a , b)为圆心，r为半径.证明.两点式:yyix xiy2 yix2 xi(4)(2)圆的一般方程:22dx ey f 0( d e 4f 0.)(5) 一般式ax +by+ c=0 (a、b不同日为 0).(3)圆的参数方程:rcos (为参数). r sin3.两条直线的位置关系(1)平行：当直线11和12有斜截式方程时，k1=k2且b1wb

19、2；(2)重合：当1 1和1 2有斜截式方程时，k1=k2且b1=b2；(3)相交：当1 1, 12是斜截式方程时，k1wk2(4)垂直：设两条直线1i和12的斜率分别为ki和k2,则有1i2 点和圆的位置关系:给定点(x0kik21(x0般式方程时，1 i 1 2a1 a2bi b 2 0 (优点：对斜率是否存在不讨论)3.直线和圆的位置关系:(5)到角：直线li到12的角，是指直线的范围是(0,)，当 90时tan1 1绕交点依逆时针方向旋转到与1 2重合时所转动的角k1设圆圆 c : (x a)2 (y b)1 kik2(6)夹角：两条相交直线11与12的夹角,是指由li与12相交所成的

20、四个角中最小的正角,又称为1i圆心c(a,b)到直线1的距离d和12所成的角，它的取值范围是0，-，当 90 ,则有tank 2 ki1 kik2(7)交点：求两直线交点，即解方程组axa?xbiy c 1b2y c 24 .点到直线的距离：设点p(x0 ,y。),直线 1 : axby c 0,p至ij 1的距离为dax0by2 5.两条平行线间的距离公式:设两条平行直线11: ax by c1 0,12：ax by c20(ci c2),它们之间的距离为d ,则有dcic2a2 b26.关于点对称和关于某直线对称：利用直线垂直，平行等解决7.简单的线性规划线性规划的三种类型:1 .截距型：

21、形如z=ax+by,把z看作是y轴上的截距，目标函数的最值就转化为y轴上的截距的最值。2.斜率型：形如 z 幺上 时，把z看作是动点p(x,y)与定点q(b,a)连线的斜率，目标函数的最值 x b就转化为pq连线斜率的最值。222m (x0,y)及圆 c : (x a) (y b) ra)2a)2,、22_ .一 .(y0 b) r2 .r (r0)； 直线 1 : ax byaa ii a2bb,222d (x0 a) (y0 b) r2_ 20(a2 b2 0);几何法：d r时，1与c相切；dr时，1与c相离.代数法：2方程组(x a) (y b)22r用代入法，得关于x (或y)的,兀

22、一次方程，其判别式为ax bx c 0则：01与c相切；01与c相交；01与c相离.b2注意：几何法优于代数法4 .求圆的切线方法若已知切点(x。，y。)在圆上，则切线只有一条。利用相切条件求k值即可。若已知切线过圆外一点(x 0, y0),则设切线方程为 y - y0=k(x - x0),再利用相切条件求 k,这时 必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线.5 .圆与圆的位置关系：已知两圆圆心分别为。、。，半径分别为r1、r2,则(i)两圆外切(2)两圆内切(3)两圆相交|。1。2 |=1 +2 ；|oio2|=|ri ；|ri2|。1。2尸1+。第八章圆锥曲线a平囿内与两个定点fi、f2

23、的距离的和等于常数(大于| f1f21 )的点的轨.椭圆的定义标准方程及其几何性质定义定义迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦 距.若m为椭圆上任意一点，则有|mf1| |mf2| 2a.第二 定义一一 ,., _ .一、 a2c平面内与定点f(c,0)的距离和它到定直线l：x 的距离比是常数 一 ca(a c 0)的轨迹叫椭圆.定点 f是椭圆的一个焦点，定直线 l是椭 圆的一条准线，常数 e椭圆的离心率方程22a2b2-1(a b 0)22a2 b i(a b 0)图像vikx =c1匚aa,b,c关系22,2cab住日 八、八、(c,0)(0, c)范围|x| a,

24、| y| b|x| b,| y| a对称 性坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心顶点(a,0),(0, b)(b,0),(0, a)轴aa2 2a,b1b2 2b离心 率ce -(0e1)准线2 a x - c2 a yc渐近线b y - x a22为 w 0 y - x) a baa y - xb三.抛物线定义标准方程及其简单几何性质准线px 2p x 2p y - 2p y 一2范围x 0,y rx 0,y rx r,y 0x r, y 0对称轴x轴y轴顶点(0, 0)离心率e 1三.直线和圆锥曲线的位置关系1.直线和椭圆的位置关系的判断方法(1)代数法：直线l: ax+by+c=0和圆锥

25、曲线c: f(x, y)=0的位置关系可分为：相交、相切、相离.一八一八,ax by c 0 , t设直线l: ax+by+c=0,圆锥曲线c： f(x,y)=0 ;由消去y (或x)得：f(x,y) 022ax+bx+c=0 ( aw0);令 a=b-4ac,贝u a 0?相父；a =0?相切；a 0?相离.(2)几何法：求大致位置和满足条件的直线时可用，精确计算时不可用。2.弦长的计算：弦长公式ab ji k(1)平面的斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线与平面所成的角 一条直线垂直于平面，定义这直线与平面所成的角是直角 一条直线和平面平行，或在平面内，定义它和平面所成的角是 |

26、 xx211k%/(x1x2)24x1x2.第九章立体几何1 .平面的基本性质：三个公理及推论。2 .空间两条直线的位置关系：平行、相交、异面;3 .直线与平面位置夫系直线和平 面平行直线与平 面所成的 角(1)直线在平面内一一有无数个公共点。(2)直线和平面相交一一有且只有一个公共判定定理性质定理bb性质定理直线与平 面垂直判定定理0的角点(3)直线和平面平行一一没有公共点三垂线定理在平囿内的一条直线，如果和这个平囿的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直。三垂线逆 定理在平囿内的一条直线，如果和这个平囿的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。4.平面与平面位置关系：平行、相交(垂直是

27、相交的一种特殊情况)空 间 两 个 平 面两个 平面 平行判定性质(1)如果一个平囿内有两条相父直线平 行于另一个平面，那么这两个平面平行(2)垂直十同一直线的两个平面平行(1)两个平囿平行， 其中一个平囿内的直线 必平行于另一个平面(2)如果两个平行平囿同时和第三个平囿相 交，那么它们的交线平行(3) 一条直线垂直十阴个平行平囿中的一个 平囿，它也垂直于另一个平囿相交 的两 平面二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫二面角的线，这两个小十曲叫二面角的面二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点， 在两个面内分另作垂直棱的两条射线， 这两条射线所成的角叫一面角的平

28、囿角。平囿角是直角的一间角叫做直一面角。两平面垂直判定性质如果一个平囿经过另一个平囿的一条垂 线，那么这两个平向互相垂直(1)若一平囿垂直，那么在一个平囿内垂直 于它们的交线的直线垂直于另一个平面(2)如果两个平囿垂直， 那么经过 a个平 面内一点垂直于第二个平面的直线，在a 个平面内5.常用证明方法：(1)判断线线平行的常用方法：a / b,b / c, = a / c;a / a ,a c 3 , a a 3 = b = a h b a_l a ,b _l a n a/b;a/3, any = a, 3y = b a / b(2)判定线线垂直的常用方法.a, a , b 匚 a =a，b;

29、bc,a，caba, a , b / a = ab;三垂线定理及逆定理(3)判定线面平行的常用方法：定义a仁“力匚a且a/b =a/a.a/3,a 仁3 = a/3；(4)判定线面垂直的常用方法c，a,c且 a 匚 a ,b 匚 a ,a , b 无公共点 =c，a; ab 且 a,a b a(5)判定面面平行的常用方法:a、b 匚 3 ,a ci b= a,若 a / a ,b / a = a / 3(6)判定面面垂直的常用方法a，a ,a 匚 3a ”3, bra, 3,aa6 .棱柱(1)棱柱的定义、分类，直棱柱、正棱柱的性质;(2)长方体的性质。(3)平行六面体一直平行六面体一长方体一

30、正四棱柱一正方体这些几何体之间的联系和区别，以 及它们的特有性质。(4) s侧=各侧面的面积和；(5) v=sh7 .棱锥1 .棱锥的定义、正棱锥的定义(底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面的中心)2 .相关计算：s侧=各侧面的面积和248 .球的相关概念：(1) s球=4兀4 v球=1 cv=- sh3r r339 .计算问题：计算步骤：一作、二证、三算(1)异面直线所成的角范围：o e 90(2)直线与平面所成的角范围：o e 90(3)二面角方法：定义法；射影面积法：其中二面角的平面角的作法定义法：由二面角平面角的定义做出平面角;(2)球面距离的概念方法：平移法；向量法. 方法：关键

31、是作垂线，找射影=scos 0三垂线法；向量法.s三垂线法：一般要求平面的垂线好找，一般在计算时要解一个直角三角形。 (4)两点之间的距离.(5)点到直线的距离.(6)(8)(9)点到平面的距离：(1)直接法，即直接由点作垂线，求垂线段的长.(2)等体积法.(3) 向量法两条平行线间的距离.两异面直线间的距离(1)定义法，即求公垂线段的长.(2)转化成求直线与平面的距离.(3)向量法平面的平行直线与平面之间的距离.(10)两个平行平面之间的距离.(11)球面距离第十章排列组合与二项式定理概率一.排列组合1 .计数原理分类原理： n=n+n2+n3+nm (分类) 分步原理： n=n - 112

32、 , 113 , nm (分步)2 .排列(有序)与组合(无序)mn!nan =n(n 1)(n 2)(n 3) (n m+1)= a n =n!(n m)!gm = n(n 1)(n 2) (n m 1) n! c nm= cnn mgm+ g 1= cn+1m+1 k?k!=(k+1)! k!m!(n m)!m!三.排列、组合问题几大解法：总原则：先选后排，先分再排1、多排问题直排法：把n个元素排成若干排的问题，若没其他的特殊要求，可用统一排成一排的方法来处理.2、特殊元素优先法：对于特殊元素的排列组合问题，一般先考虑特殊元素，再考虑其他元素的安排。 在操作时，针对实际问题，有时“元素优先

33、”，有时“位置优先”。3、相邻问题捆绑法：对于某些元素要求相邻排列的问题，可先将相邻元素捆绑成整体并看作一个元素再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。4、不相邻问题插空法：对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入即可(有时候两端的空隙的插法是不符合题意的)5、正难则反排除法(或淘汰法)：对于含有否定词语“至多”，“至少”类的问题，从正面解决不容易，可以考虑从其反面来解决。即总体中把不符合要求的除去，应注意既不能多减也不能少减。6、元素重复问题住店法(或映射法)：解决“允许重复排列”的问题要注意区分两类元素：一类元素可重复，另一类元素不能重复。把不能重复的元素看着“客”，能重复的元素看着“店”，再利