2.1知识回顾-概率论与数理统计ppt课件

1、数理统计基础数理统计基础u 求和运算及相关性质求和运算及相关性质u 随机变量及其数值特征随机变量及其数值特征u 从总体到样本从总体到样本u 几个重要的抽样分布几个重要的抽样分布内容提要内容提要数学期望数学期望定义定义1离散型随机变量数学期望的定义离散型随机变量数学期望的定义假定有一个离散型随机变量假定有一个离散型随机变量X有有n个不同的可能取值个不同的可能取值x1,x2,xn，而，而p1,p2,pn是是X取这些值相应的概取这些值相应的概率，则这个随机变量率，则这个随机变量X的数学期望定义如下：的数学期望定义如下： 数学期望描述的是随机变量总体的一般水平。数学期望描述的是随机变量总体的一般水平。

2、定义定义2连续型随机变量数学期望的定义连续型随机变量数学期望的定义 Xxxx dxE xxx dxX 若若连连续续型型随随机机变变量量 有有分分布布密密度度函函数数，若若积积分分绝绝对对收收敛敛，则则称称为为 的的数数学学期期望望。 12121nniniiE xE XXppppxxxx 实实际际上上，是是随随机机变变量量 的的所所有有可可能能取取值值的的加加权权平平均均数数。期望的性质期望的性质（1如果如果a、b为常数，那么为常数，那么 E(aX+b)=aE(X)+b（2如果如果X、Y为两个随机变量，那么为两个随机变量，那么 E(X+Y)=E(X)+E(Y)（3如果如果g(x)和和f(x)分别

3、为分别为X的两个函数，那么的两个函数，那么 Eg(X)+f(X)=Eg(X)+Ef(X)（4如果如果X、Y是两个独立的随机变量，那么是两个独立的随机变量，那么 E(X.Y)=E(X).E(Y) 方差反映随机变量的离散程度。方差反映随机变量的离散程度。 对于随机变量对于随机变量X，若，若EX-EX2存在，则称存在，则称EX-EX2为随机变量为随机变量X的方差，记为的方差，记为D(X)或或Var(X)，即即D(X)=EX-EX2 称为随机变量称为随机变量X的均方差或标准差。的均方差或标准差。)()(XDX 方差方差由方差的定义可知，由方差的定义可知，D(X)0。 当当X为离散型随机变量时，且分布律

4、为为离散型随机变量时，且分布律为 P(X=xk)=pk，那么，那么12)()(kkkpXExXD当当X为连续型随机变量时，且密度函数为为连续型随机变量时，且密度函数为f(x)，那么，那么dxxfXEXXD)()()(2在实际计算中，通常使用如下公式在实际计算中，通常使用如下公式222)()(2)()(XEXXEXEXEXEXD22)()()(2)(XEXEXEXE22)()(XEXE即方差是即方差是“随机变量平方的期望减去随机变量期望的随机变量平方的期望减去随机变量期望的平方平方”。方差的性质方差的性质（a a、b b、c c为常数；为常数；x x、y y为随机变量）为随机变量）（1Var(c

5、 )=0（2Var(c+x)=Var(x )（3Var(cx)=c2Var(x)（4） Var(x-y)= Var(x )+Var(y )-2cov(x,y) Var(x+y)= Var(x )+Var(y )+2cov(x,y) 若若x，y独立，那么：独立，那么：Var(x+y)= Var(x )+Var(y )（5Var(a+bx)=b2Var(x)（6a,b为常数，为常数，x,y为两个相互独立的随机变量，为两个相互独立的随机变量，则则Var(ax+by)=a2Var(x)+b2Var(y)（7Var(x)=E(x2)-(E(x)2证明:22)()()(YXEYXEYXD)()()( 2)

6、(22222YEYEXEXEYXYXE)()(2)(2)()(YEXEXYEYDXD= D(x )+D(y ) +2cov(x,y)证明：D(x+y)= D(x )+D(y )+2cov(x,y) 协方差协方差 A.协方差定义协方差定义 随机变量随机变量X 和和Y，假设，假设 X的期望的期望E(X)和和Y的期望的期望E(Y)存在存在, 则称则称COV(X, Y)=EXE(X)YE(Y).为为X与与Y的协方差的协方差, 易见易见 COV(X, Y)=E(XY）-E(X)E(Y). 12121(1)cov( , )var( )(2)cov( , )cov( , )(3)cov(,)cov( , )

7、(4)cov(, )cov(, )cov(, )(5)cov(,)cov( , )ababac bdab 协协方方差差的的性性质质：111221222111221222( , )() ()()()()() cccccEEcEEEcEEEcEE 的的协协方方差差矩矩阵阵：B.相关系数相关系数 A. 定义定义 若随机变量若随机变量 X，Y的方差和协方的方差和协方差均存在差均存在, 且且DX0,DY0，那么，那么DYDX)Y,Xcov(XY 称为称为X与与Y的相关系数的相关系数. B. 相关系数的性质相关系数的性质 (1) |XY|1； (2) |XY|=1存在常数存在常数a, b 使使PY= aX

8、+b=1； (3) X与与Y不相关不相关 XY=0;（一统计量样本均值、样本方差、标准（一统计量样本均值、样本方差、标准差）差）（二抽样分布（二抽样分布 （正态分布、（正态分布、 、t分布、分布、 F分布）分布）（三几个重要的抽样分布定理（三几个重要的抽样分布定理几个重要的抽样分布几个重要的抽样分布分布2 由样本值去推断总体情况，需要对样本由样本值去推断总体情况，需要对样本值进行值进行“加工加工”，这就要构造一些样本的函，这就要构造一些样本的函数，它把样本中所含的某一方面的信数，它把样本中所含的某一方面的信息集中起来息集中起来. 这种不含任何未知参数的样本的函数这种不含任何未知参数的样本的函数

9、称为统计量称为统计量. 它是完全由样本决定的量它是完全由样本决定的量.（一统计量（一统计量 几个常见统计量几个常见统计量样本均值：样本均值：样本方差：样本方差：niiXnX11niiXXnS122)(11它反映了总体均值它反映了总体均值的信息的信息它反映了总体方差它反映了总体方差的信息的信息样本标准差：样本标准差：S 统计量既然是依赖于样本的，统计量既然是依赖于样本的，而后者又是随机变量，故统计量而后者又是随机变量，故统计量也是随机变量，因而就有一定的也是随机变量，因而就有一定的分布，这个分布叫做统计量的分布，这个分布叫做统计量的“抽样分布抽样分布” . （二抽样分布（二抽样分布几种重要分布几

10、种重要分布n正态分布含标准正态分布）正态分布含标准正态分布）n n t分布分布n F分布分布分布2 （1正态分布的定义：正态分布的定义：（2正态分布的数学期望和方差：正态分布的数学期望和方差：（3标准正态分布：标准正态分布： 2222102,xxxxxNe 若若连连续续型型随随机机变变量量 的的概概率率密密度度为为、 为为常常数数，则则称称 服服从从正正态态分分布布，简简记记为为。2,ExVarx 正正态态分分布布的的数数学学期期望望， 方方差差 222010,112xNxxe 当当，的的正正态态分分布布，称称为为标标准准正正态态分分布布，记记作作。密密度度函函数数为为1.正态分布正态分布定理

11、：正态分布标准化定理：正态分布标准化 2X ,0,1XNZZN 如如果果且且，那那么么。根根据据以以上上定定理理，可可以以将将任任何何一一个个正正态态分分布布，化化为为标标准准正正态态分分布布，即即将将其其标标准准化化。定理：如果定理：如果XN0，1），则），则X2 X2 （1），），即服从具有即服从具有1个自由度的分布。个自由度的分布。XN(0,1),01 ,PXZPXZ 上上侧侧分分位位数数：设设 服服从从对对于于给给定定的的 （）满满足足的的 值值，称称为为标标准准正正态态分分布布 水水平平上上上上侧侧分分位位数数，记记作作，这这时时有有Z分位数问题分位数问题2Z2Z222222XN(0

12、,1),01 ,P XZP XZPZXZ1 双双侧侧分分位位数数：设设 服服从从对对于于给给定定的的 （）满满足足的的 值值，称称为为标标准准正正态态分分布布 水水平平上上双双侧侧分分位位数数，一一般般记记作作，这这时时有有即即：22n 记为记为2 分布分布2、定义定义: 设设 相互独立相互独立, 都服从标准都服从标准正态分布正态分布N(0,1), 则称随机变量：则称随机变量： 所服从的分布为自由度为所服从的分布为自由度为 n 的的 分布分布.nXXX,21222212nXXX 22分布是由正态分布派生出来的一种分布分布是由正态分布派生出来的一种分布. .2由由 分布的定义，不难得到：分布的定

13、义，不难得到：),(2N1. 设设 相互独立相互独立, 都服从正态分布都服从正态分布nXXX,21那么那么22121nnXX,222121nnXX2. 设设 且且X1, X2相互独立相互独立，那么，那么这个性质叫这个性质叫 分布的可加性分布的可加性.2 X2分布的和仍然服从X2分布。 222211()( )niiXn22分布的分位数分布的分位数对于对于(0,1)(0,1)给定给定, ,称满足条件称满足条件: :的点的点n2(n2() )为为n2n2分布的上分布的上分位数。分位数。222()( )( )nnnPf x dx所服从的分布为自由度为所服从的分布为自由度为 n的的 t 分布分布. 定义

14、: 设XN(0,1) , Y , 且X与Y相互独立，则称变量2n3、t 分布分布记为记为T T . .nt当当n充分大时，其图形类似于标准正态分充分大时，其图形类似于标准正态分布密度函数的图形布密度函数的图形. XTY n Ttn,对于(0,1)给定,称满足条件: t t分布的分位数分布的分位数的点tn()为t分布的上分位数。 )()()(ntndttftTP4、F分布分布,2221nnYX定义定义: 设设 X与与Y相互独相互独立，则称统计量立，则称统计量服从自由度为服从自由度为n1及及 n2 的的F分布，分布，n1称为称为第一自由度，第一自由度，n2称为第二自由度，记作称为第二自由度，记作

15、F .21,nnF由定义可见，由定义可见，121nXnYF12,nnF12X nFY n FFm,n,对于(0,1)给定,称满足条件:F F分布的分位数分布的分位数 的点Fm,n()为F分布的上分位数。 )(,)()(nmFnmdxxfFFP定理定理 1 (样本均值的分布样本均值的分布)：定理定理 2 (样本方差的分布样本方差的分布)：定理定理 3 （三几个重要的抽样分布定理（三几个重要的抽样分布定理2212(1)nnS ),(2nNX 1nXtSn 定理定理 1 (样本均值的分布样本均值的分布)设设X1,X2,Xn是取自正态总体是取自正态总体),(2 N的样本，则有的样本，则有),(2nNX

16、 ) 1 , 0( NnX n取不同值时样本均值取不同值时样本均值 的分布的分布X 定理定理 2 (样本方差的分布样本方差的分布)2212(1)nnS设设X1,X2,Xn是取自正态总体是取自正态总体),(2 N的样本的样本,2SX和分别为样本均值和样本方差分别为样本均值和样本方差,则有则有 定理定理 3 设设X1,X2,Xn是取自正态总体是取自正态总体),(2 N的样本的样本,2SX和分别为样本均值和样本方差分别为样本均值和样本方差,则有则有1nXtSn 小结一、概念：随机变量，总体，样一、概念：随机变量，总体，样本本二、二、 统计量及其分布统计量及其分布 1. 几个常见统计量几个常见统计量

17、2. 统计四大分布统计四大分布 样本均值样本均值, 样本方差样本方差2 分布分布, ,t 分布分布, F分布分布正态分布，正态分布， 3. 抽样分布定抽样分布定理理 ),( )1(2nNX (0,1)XNn2122)1()2( nSn 1(3) nXtSn设设X1,X2,Xn是取自正态总体是取自正态总体),(2 N的样本的样本, 那那么么注意把握各种分布之间的联系注意把握各种分布之间的联系1. 一般正态分布与标准正态分布的关系一般正态分布与标准正态分布的关系 如果如果XN（，2），那么），那么X- ）/ N0，1）2. 标准正态分布与标准正态分布与X2分布之间的关系分布之间的关系 如果如果XN

18、0，1），则），则X2 X2 （1），即服从），即服从具有具有1个自由度的分布。个自由度的分布。3. 标准正态分布与标准正态分布与t分布之间的关系分布之间的关系 20,1/4.8NnTntTt nn 设设两两个个随随机机变变量量和和相相互互独独立立，且且，则则服服从从具具有有 个个自自由由度度的的 分分布布，即即定定理理。4. 标准正态分布分布与标准正态分布分布与F分布之间的关系分布之间的关系5.关于正态分布的和关于正态分布的和 1122211212/21212/212 ,4,.9nFFFnFnnn nn nnn 设设两两个个随随机机变变量量和和相相互互独独立立，且且，则则有有。其其中中表表示示第第一一自自由由度度为为定定第第二二自自由由度度为为的的理理分分布布. . 2112211 ,04.10niiiniiiinniiiiiiNEVarxx