2021-2021版高中数学第二章函数3函数的单调性(二)学案北师大版必修11_第1页
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文档简介

1、3函数的单调性(二)【学习目标】1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义 2会借助单调性求最值 3掌握 求二次函数在闭区间上的最值.问题导学知识点一 函数的最大(小)值思考 在下列图表示的函数中, 最大的函数值和最小的函数值分别是多少?1为什么不是最小值?梳理对于函数y=f (x),其定义域为D,如果存在xoD,f(x) = M使得对于任意的xD,都有f (x) w M那么,我们称 M是函数y = f (x)的最大值,即当 x=xo时,f(xo)是函数y= f (x)的最大值,记作 ymax= f (xo).知识点二 函数的最大(小)值的几何意义思考 函数y = x2, x 1,1的图像如

2、下图:梳理 一般地,函数最大值对应图像中的最高点,最小值对应图像中的最低点,它们不一定只有一个.题型探究类型一借助单调性求最值x例1函数f(x)=严(x0),求函数的最大值和最小值.反思与感悟(1)假设函数y= f (x)在区间a, b上递增,那么f (x)的最大值为f( b),最小值为f(a) 假设函数y= f (x)在区间a, b上递减,那么f (x)的最大值为f (a),最小值为f (b) (3) 假设函数y=f(x)有多个单调区间,那就先求出各区间上的最值,再从各区间的最值中决出最大(小)函数的最大(小)值是整个值域范围内最大(小)的.(4) 如果函数定义域为开区间,那么不但要考虑函数

3、在该区间上的单调性,还要考虑端点处的函数值或者开展趋势.跟踪训练1函数f(x) =-(x 2,6),求函数的最大值和最小值.x 1类型二求二次函数的最值 2 例2 (1)函数f(x) = x 2x 3,假设x 0,2,求函数f (x)的最值;2 函数f(x) = x 2x 3,假设xt, t + 2,求函数f(x)的最值; 函数f(x) = x 2 x 3,求函数f(x)的最值;(4) “菊花烟花是最壮观的烟花之一制造时一般是期望在它到达最高点时爆裂如果烟花距地面的高度h m与时间t s之间的关系为h(t) = 4.9 t2+ 14.7 t + 18,那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最正确时刻

4、?这时距地面的高度是多少?(精确到1 m)反思与感悟(1)二次函数在指定区间上的最值与二次函数的开口、对称轴有关,求解时要注意这两个因素.(2) 图像直观,便于分析、理解;配方法说理更严谨,一般用于解答题.跟踪训练2(1)函数f(x) = x4 2x2 3,求函数f (x)的最值; 求二次函数f(x) = x2 2ax+ 2在2,4上的最小值;(3) 如图,某地要修建一个圆形的喷水池,水流在各个方向上以相同的抛物线路径落下,以水池的中央为坐标原点, 水平方向为x轴、竖直方向为y轴建立平面直角坐标系. 那么水流 喷出的高度h(单位:m)与水平距离x(单位:m)之间的函数关系式为 h= x2 +

5、2x + *,x 0 ,52】求水流喷出的高度 h的最大值是多少?him/TArt1|*.O1.t/m类型三 函数最值的应用2例3 x -x + a0对任意x (0,+)恒成立,求实数 a的取值范围.引申探究把例3中“ x (0,+) 改为“ x(1,+) ,再求a的取值范围.反思与感悟恒成立的不等式问题,任意x D, f (x)a恒成立,一般转化为最值问题:f(X)mina 来解决.任意 x D, f (x)a 恒成立? f(X)max0对一切x (0 ,B. 4,0D.以上都不对那么f(x)的最大值,最小值分别为()B. 10,8D.以上都不对12】成立,那么a的最小值为()51A. 0

6、B .2 C .2 D.2规律与方法1 .函数的最值与值域、单调性之间的联系1(1)对一个函数来说,其值域是确定的,但它不一定有最值,如函数y= -.如果有最值,那么最值一定是值域中的一个元素. 假设函数f(x)在闭区间a, b上单调,那么f(x)的最值必在区间端点处取得.即最大值是f (a)或f (b),最小值是f (b)或f (a).2.二次函数在闭区间上的最值探求二次函数在给定区间上的最值问题,一般要先作出 y = f(x)的草图,然后根据图像的增 减性进行研究 特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系, 它是求解二次函数在 区间上最值问题的主要依据,并且最大 (小)值不一定在顶点

7、处取得合案精析问题导学知识点一思考 最大的函数值为4,最小的函数值为 2.1没有A中的元素与之对应,不是函数值.知识点二思考 x=1时,y有最大值1,对应的点是图像中的最高点,x = 0时,y有最小值0,对应的点为图像中的最低点.题型探究例1解 设xi, X2是区间0 ,+上的任意两个实数,且xiX2,小xiX2那么 f(xi) f(X2)=布一右X1X X2X1=X1 1X2 1 .由 2 X1X20, (X1 1)( X2 1)0 ,于是 f ( X1) f ( X2)0 ,即 f(X1)f(X2).所以函数y=壬在区间2,6上是减函数.X I+ 1-X2 X2 + 12_X1+ 12 “

8、X2+ 1X2 X1X2X1 1 2 “X1+ 12 “ X2+ 1当 X1 X20, X1X2 10, f(x f(X2)0, f(xf(X2),f(x)在(0,1上递增;当 1 X10, X1X2 10, f(x f(X2)0, f(xf(X2), f (x)在1 ,+s)上递减.1f(X)max= f (1) = g,无最小值.跟踪训练1解 设X1, X2是区间2,6上的任意两个实数,且X1X2,2 2那么 f(X1) f(X2)=-X1 1 X2 12 X2 1 X1 1X1 1X2 1因此,函数y = r在区间2,6的两个端点上分别取得最大值与最小值,X 1即在x=2时取得最大值,最

9、大值是2,2在x= 6时取得最小值,最小值是-.5例2解(1) T函数f (x) = xf ( x) max= f(t + 2) = t + 2t 3,f ( x) min= f (1) = 4.当11时,f ( x) max= f(t + 2) = t + 2t 3,f(x) min= f(t) = t 2t 3.设函数最大值为g(t),最小值为0 (t), -2x 3开口向上,对称轴x= 1,f(x)在0,1上递减,在1,2上递增,且f (0) = f.I f ( X) max= f (0) = f (2) = 3,f(x) min= f(1) = 4./对称轴x= 1,当1 t + 2即

10、t w 1时,f ( x) max= f ( t ) = t2 2t 3 ,2f ( x) min= f ( t + 2) = t + 2t 3.当 t + ; + 2w 1t + 2,即一1t W0 时,2f ( x) max= f(t) = t 2t 3 ,f ( x) min= f (1) = 4.当t w 1即002t + 2t 3 t w 10 (t) = 4 11.设 x = t(t 0),那么 x 2 x 3= t2 2t 3.由(1)知y= t2 2t 3(t 0)在0,1上递减,在1 ,+s)上递增.当 t = 1 即 x= 1 时,f ( x) min= 4,无最大值.作出

11、函数h(t) = 4.9 t2+ 14.7 t + 18的图像(如图).显然,函数图像的顶点就是烟花上升的最高点,顶点的横坐标就是烟花爆裂的最正确时刻,纵坐标就是这时距地面的高度.由二次函数的知识, 2对于函数 h(t) = - 4.91 + 14.7 t + 18,14.7我们有:当t =-云 二4P = 1.5时,函数有最大值-4.94XX 18- 14.74.929.于是,烟花冲出后1.5 s是它爆裂的最正确时刻,这时距地面的高度约为29 m.跟踪训练2解设x2= t(t 0),4 2 2那么 x - 2x 3 = t 2t 3.2y= t - 2t 3(t 0)在0,1上递减,在1 ,

12、+8)上递增.当 t = 1 即 X=l 时,f ( x) min = 4 ,无最大值./函数图像的对称轴是x= a,当a4时,f (x)在2,4上是减函数,- f ( x) min= f (4) = 18 8a.当 2 aW4 时,f (x)min = f(a) = 2 a2.6 4a, a4.255 由函数h= x + 2x+ 4, x 0 , 的图像可知,函数图像的顶点就是水流喷出的最高 点此时函数取得最大值.255对于函数 h= x + 2x+4, x 0 , ?,25 9当x= 1时,函数有最大值 hmax= 1 + 2X 1+:=.44 于是水流喷出的最咼咼度是-m.42例3解方法一令y= x - x+ a,24a 11要使x X+ a0对任意x (0,+s)恒成立,只需 ymin = 0,解得a4.1实数a的取值范围是) 4方法二x要使a0 可化为 a x2 + x.22要使a x + x对任意x (0,+s)

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