H圆锥曲线抛物线方程

1、向准线L作垂线，垂足分别为 M、N(I )求证：FM丄FN:123(n )记厶 FMM、 FMNi、 FNN 的面积分别为 S、S、，S,2判断S2= 4SS是否成立，并证明你的结论。本小题主要考查抛物线的概念，抛物线的几何性质等平面解析几何的根底知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力(总分值13分)答案：(1)证法1:由抛物线的定义得mf| |mm1 , nf| |nn1 ,MFM 1MM 1F,NFN1NN1F2分如图，设准线1与x的交点为F11 4A,MM 1 / NN1/ FF11IIyKRFM 1MM1F,F1FN1NN1F2时，由得(x 3)2 y26 1 x,2 2 化简得

2、 -y 1.3627当x 2时由得.(3 x)2 y23 x,化简得y212x2 2故点P的轨迹C是椭圆C1 : L 1在直线3627x=2的右侧局部与抛物线 C2: y2 12x在直线x=2的左侧局部(包括它与直线 x=2的交点)所组成的曲线，参见图1(H)如图2所示，易知直线x=2与C1, C2的交点都是A (2, 26 ),B (2, 2、6 ), 直线AF, BF的斜率分别为kAF= 2掐,kBF=2J6.当点P在C1上时，由知PF 6 lx.当点P在C2上时，由知PF 3 x假设直线I的斜率k存在，那么直线I的方程为y k(x 3)(i )当kwkAF，或kkBF，即kw-2. 6时

3、，直线I与轨迹C的两个交点M (x1,1 MFI11=6 -X1I NFI = 6 -x2 122 2从而IMNI =:I MFI +I NFI =(61-一为)+(62yi), N ( x2 , y2)都在C i上，此时由知舟 x2)=12 -舟(xi + x2)2 2y k(x 3)2222由x2 y2得(3 4k )x 24k x 36k108 0那么为，yi是这个方程的两136 27根，所以x1 + x2 =24k23 4 k2I MN =12 -(x1 + x2 ) =12 -212k23 4k2因为当k 26,或k 26时,k2 24,MN12212k23 4k2121210011

4、当且仅当k2/6时，等号成立。(2)当 kAEkkAN, 2.6 k2 6时，直线L与轨迹C的两个交点M(X1,yJ, Ngy)分别在C1,C2上，不妨设点M在C上，点C2上，那么知,1MF 6 _x1, NF 3 x22MF |6 1x12设直线AF与椭圆C1的另一交点为E(x0, y0),那么x0 x1, x2 2.6 丄x |EF , NF 3 x23 2 |AF2所以MN MF NF EF AF |AE|。而点A, E都在C1上，且2J6,有(1)知 |AE所以 MN1110011假设直线 的斜率不存在，那么 x1 = x2=3，此时MN12 丄& x2) 9 1002 11综上所述，

5、线段 MN长度的最大值为来源：09年高考湖南卷题型：解答题，难度：较难2 2 2 2如图，抛物线 E : y x 与圆M :(x 4) y r (r 0)相交于 A B、C、D 四个点。(I)求r的取值范围(H)当四边形 ABCD的面积最大时，求对角线 AC BD的交点P的坐标。答案:解：(I)将抛物线E : y2 x代入圆M :(x4)22 2y r (r 0)的方程，消去整理得x2 7x 16r20(1)抛物线E : y2x与圆 M : (x 4)2(r 0)相交于 A、B、C、D四个点的充要条件是：方程(1)有两个不相等的正根49 4(16 x1x27x1 x216)02r2 。解这个方

6、程组得乙r寻).2(II )设四个交点的坐标分别为A(x,x )、B(x1,x1)、C(x2,.x2)、D(x2, X2)。那么由(I )根据韦达定理有 X, x27, x-|X216 r,4)2，r1 l那么 S 2 2 |X2 X1ICX1 , X2)|X2Xi I ( Xi22S (% X2)4x1x2(x1X22蕊)(72.16 r2)(4r2 15)方法1：S2(7r2 t，那么 S2由三次均值有:2t)2(7 2t)1 7 2t 72(3(72t)2(72t)F面求S2的最大值。2(72t 14 4t)32t)(72t)(144t)当且仅当7 2t 14 4t，即t 7时取最大值。

7、经检验此时r,4)满足题意。法2 :设四个交点的坐标分别为A(X xj、B(X1,xj、C(X2, m)、D(X2, .,X2)那么直线AC BD的方程分别为xj,yX1X2 X1 (XX1)x2x1解得点P的坐标为X1 X2 ,0)。设 tX1X2，由 t 16 r2 及(i)得 t (0,-)4由于四边形ABCE为等腰梯形，因而其面积 S (2 x/ 2 x2)| x1 x2 I2那么s2(X12 x1 x2X2)( X12X2)4X1X2将 X1x27x1 x2t 代入上式，并令f(t)s2，等f(t)2327(72t) (72t)8t28t98t343(0t -),2 f(t)24t2

8、56t982(2t7)(6t7),令f(t)0得t-，或t-(舍去)62当 0 t-时，f(t)0;当 t-时 f(t)0 ;当-t -时，f(t)06 6 6 2故当且仅当t 7时，f(t)有最大值，即四边形 ABCD勺面积最大，故所求的点P的坐6标为(-,0)。6来源:09年高考全国卷题型:解答题，难度：中档2171知抛物线 C:x=2py(p0)上一点A(m4)到其焦点的距离为-4(I )求p与m的值；(II )设抛物线C上一点P的横坐标为t(t0),过P的直线交C于另一点Q,交x轴于 点M过点Q作PQ的垂线交C于另一点N.假设MN是C的切线，求t的最小值.答案:解析(I)由抛物线方程得

9、其准线方程:y 1，根据抛物线定义点A(m,4)到焦点的距离等于它到准线的距离，即4 - 1724，解得p -抛物线方程为：x2y，将A(m,4)代入抛物线方程，解得(n)由题意知，过点p(t,t2)的直线PQ斜率存在且不为0,设其为k。那么Ipq : y t2k(xt)，当 y 0,xt2 ktk,kt,0)。 k联立方程y：k(x七)，整理得:x y2x kx t(kt)即：(x t)x(k t)0，解得xt,或 x k tQ(k t,(kt)2)，而 QNQP，直线NQ斜率为121 k世纪教育网1nq ： y (kt)2；x(k t)，联立方程y (kt)21kx2x y(k整理得：x2

10、；(kt)(k t)20，即:kx2(k t)k(kt)t)1 0kxk(kt) 1x (kt)0,解得：xk(kJ)k-，或xN(k(kt) 1 k(k k ，t) U2k2K nmk(k t) 12k2k(k t) 1 t2 ktkk(k2k(t2kt 1)2k21)而抛物线在点N处切线斜率：k切2k(k t) 2k(k t) 1kMN是抛物线的切线,2(k kt2 . 2k(t k1)2k (k t) 2 k，整理得2 2k tk 1 2t 02 2t 4(1 2t )20,解得t 3(舍去)，或t -3tmin来源：09年高考浙江卷题型：解答题，难度：中档抛物线C : x2 2py(p

11、 0)上一点A(m,4)到其焦点的距离为 一4(I )求p与m的值；(II)设抛物线C上一点P的横坐标为t(t 0)，过P的直线交C于另一点Q，交x轴 于点M，过点Q作PQ的垂线交C于另一点N 假设MN是C的切线，求t的最小值.答案：(I) 由抛物线方程得其准线方程：y P，根据抛物线定义2点A(m,4)到焦点的距离等于它到准线的距离，即4卫 17，解得p 12 42抛物线方程为：x2 y，将A(m,4)代入抛物线方程，解得 m 2(n)由题意知，过点 P(t,t2)的直线PQ斜率存在且不为0，设其为k。那么Ipq : y t2k(x t)，当 y 0, xt2 ktk联立方程 y2t 2 *

12、 t)，整理得:x2 yx2 kx t(k t)即：(x t) x(k t)0,解得xt,或 x k t2Q(k t,(k t)，而 QN QP,直线NQ斜率为 1kInq ： y (k t)2丄X (k t)，联立方程 k2 1y (k t)2-x (k t)k2kxk(kt) 1x (kt)0,解得:k(kN(k(kt) 1 k(k k ，t) 12k2K nm2k(k t) 1k2k(k t) 1 t2 kt k(k2 ktk21)而抛物线在点N处切线斜率：k切y k(k t) 1x k2k(k t) 2kMN是抛物线的切线,k2 tk 1 2t20(k2 kt 1)2k(t2 k21)

13、2k(k t) 2整理得x y整理得：2 112 2xx(k t) (k t)0，即：kx x (k t)k(k t) 10kk2 2t 4(1 2t )0，解得 t2 22(舍去)，或t ， tmin3 33来源：09年高考浙江卷题型：解答题，难度：较难2 .抛物线y =4ax(0 v av 1 =的焦点为F,以A(a+4,0)为圆心，| AF |为半径在x轴上方作半圆交抛物线于不同的两点M和N,设P为线段MN的中点.(1) 求 | MF| + | NF| 的值;(2) 是否存在这样的 a值，使| MF|、| PF|、| NF|成等差数列如存在，求出 a的值，假设不存在，说明理由答案:(1)

14、 F(a,0 ),设 M (xi, yi), N(X2, y2), P(xo, yo),2由y (x a 4)4ax2 2y16x22(a4)x (a2 8a)0 ,0, xi X22(4a) , MF| |NF(xia)(X2a) 8(2 )假设存在a值，使的MF , PF , NF成等差数列，即2PF|MF| |NF2xoxix2假设不成立AP MNyoy2 yixo a 4 X2 xi由得c y2 yi yo 2a2a 4a(y2 yi)8a24a22 yo4a2 o，这是不可X2XiX2Xiyiy2yoN所在弦的中点，xo4 a，I P是圆A上两点M能的.即不存在a值，使的MF , P

15、F , NF成等差数列来源：09年福建省福州市月考题型：解答题，难度：较难抛物线x2=4y的焦点为F,过点(0，- 1)作直线L交抛物线A、B两点，再以AF、BF为邻边作平行四边形 FARB试求动点R的轨迹方程.(12分)答案：X y 1设R(x,y), / F(0,1),平行四边形FARB的中心为C；) , L:y=kx - 1,代入抛物线2 2方程得 x 4kx+4=0,设 A(X1,y 1),B(x 2,y 2),那么 X1+X2=4k,x 1X2=4,且厶=16k 160，即 |k|,22x1x2y1 y242(X1 X2) 2X1皂 4k2 2 , VC 为 AB的中点.2X =4(

16、y+3)(x2y 12x2 x222 2k2y2 y224k4k2，消去34).2k2k得x2=4(y+3),由得，x 4，故动点R的轨迹方程为来源：09年福建省福州市月考一题型：解答题，难度：中档点A (2, 8) , B (X1, y1), C (X2, y2)在抛物线y2 2 px上， ABC的重心与此抛物线的焦点F重合(如图)(1) 写出该抛物线的方程和焦点F的坐标;(2) 求线段BC中点M的坐标；(3) 求BC所在直线的方程.答案:(1)由点A( 2，8)在抛物线y222px上，有82p 2，解得p=l6.所以抛物线方程为 y232x，焦点F的坐标为(8，0)(2)如图，由于F (

17、8，0)是厶ABC的重心，M是BC的中点，所以F是线段AM的定比分点，且匚 2，设点M的坐标为(x0,y0)，那么FM8,00，解得 xo 11,yo 4，1 2 1 2所以点M的坐标为(11,- 4).(3) 由于线段BC的中点M不在x轴上，所以BC所在的直线不垂直于x轴.设BC所在直线的方程为：y 4由 y 4 k(x 11),消 x 得 ky2 32y 32(11k 4) 0, y232x所以y y 32，由(2)的结论得yi y24，解得k 4.k2因此BC所在直线的方程为：4x y 40 0.来源：09年福建省福州市月考一题型：解答题，难度：中档求以抛物线3y216x的顶点O，焦点F

18、及抛物线上纵坐标为 4的点P为顶点的OPF的周长。答案：设p x0,y0 因为P是抛物线上的一点2所以3y 0 16x。根据提题意y。 4所以X。 3 即P 3,441322PF 3OP . (30)4 053 34 1332OPF533来源： 09 年福建省福州市月考一题型：解答题，难度：中档动点P到点A (0, 8)的距离比到直线l: y 7的距离大1，求动点P的轨迹方程。答案：动点 P 到点 A(0， 8)的距离比到直线 l: y 7的距离大 1所以动点 P 到点 A( 0， 8)的距离等于到直线 l : y 8 的距离 所以P的轨迹是以A (0, 8)为焦点，I : y8为准线的抛物线

19、所以动点 P 的轨迹方程为 x232y来源： 09 年福建省福州市月考一题型：解答题，难度：中档抛物线 y2 4x 上的一点到焦点的距离为 5，求这点的坐标。答案:设 P Xo，y因为P是抛物线上的一点，所以 P到焦点的距离等于 P到准线的距离即Xo 1 5 所以X。 6 代入抛物线方程得 y 4所以P 4, 4来源：09年福建省福州市月考一题型：解答题，难度：容易曲线C:y=x2与直线l：x-y+ 2=0交于两点A(xa, yA)和B(XB,y b)，且xaxb.记曲线C在 点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域(含边界)为D.设点P(S,t )是L上的 任一点，且点P与点B均不重

20、合(1) 假设点Q是线段AB的中点，试求线段 PQ的中点M的轨迹方程；(2) 假设曲线G: x2-2ax+ y2-4 y+a+51 =0与D有公共点，试求a的最小值答案:联立y x2与y x 2得Xa1,Xb 2，那么AB中点Q1，5，设线段PQ的中点M坐标为x, y，那么x 21s,y，即s 2x !,t 2y 5，又点P在曲2 2线C上,5 2y -2(2x和点B重合，那么1 2)2化简可得y211 2，即22x111y即圆 E : (x a)2 (y 2)254y由图可知，当0 a 、2时,占；八、当a 0时，要使曲线G: x2a2512511，又点P是L上的任一点，且不与点A85 ,中

21、点M的轨迹方程为44949，其圆心坐标为Ea,2，半径r曲线G: x2c22 ax y4y a25125c22ax y4y510 与点25| a 2 心E到直线l : x y 20的距离d2|、2|a|1，得,25最小值为7.25来源：09年高考广东卷0与点D有公共D有公共点，只需圆7,2寸a 0，那么a的题型：解答题，难度：较难设A(xyj, B(X2 $2)两点在抛物线y 2x2上, l是AB的垂直平分线，(1) 当且仅当Xi X2取何值时，直线l经过抛物线的焦点 F证明你的结论;(2) 当Xi 1,X23时，求直线I的方程.(3) 当直线I的斜率为2时，求 在y轴上截距的取值范围。答案：

22、(I)v法一F I | FA | | FB |A,B两点到抛物线的准线的距离相等抛物线的准线是X轴的平行线，yi 0,y2 0,依题意yi,y2不同时为0，上述条件等价于yiy2X2x；(x1x2)(x1x2 )0； XiX2，上述条件等价于XiX20.即当且仅当XiX20时，I经过抛物线的焦点F.v法二抛物线y 2x2，即x2-, p丄，2 4i焦点为 F(0, )(i)直线I的斜率不存在时，显然有 xi x2 0即直线I :y=kx+b由得:* y22X1 X22 21 2x2k .2222x12x2X1X22 21 X2k上X1X221X24yi2Xib 0y2X2212kX1 X221

23、k1，不可能经过焦点F(0丄)，8所以当且仅当X1 X2=0时，直线I经过抛物线的焦点 F(2)当 x, 1,x23 时,直线I的斜率显然存在，设为I : y=kx+b那么由(I)得:22 k X1 X2X1 X2 k2 1X1 X2忝b2122k10k 14b 414所以直线I的方程为41(3)设I在y轴上的截距为b，依题意得I的方程为2x b ；过点1程可写为yx m，所以X1,X2满足方程22x21x20,得 X1X2B的直线方4A B为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式8m 0,设AB的中点N的坐标为(x0,y0)，那么Xo11(X1 X2, yo2811I,得mb,于是b164

24、1 x0 m2即得l在y轴上截距的取值范围为(1516932m.516132932来源：09年浙江绍兴月考一题型：解答题，难度：较难MN过抛物线y2 2px(p 0)的对称轴上一点A a,0 a 0的直线与抛物线相交于两点，自M N向直线l : x a作垂线，垂足分别为 M1、N1。(I)当a -时，求证：AM1丄AN1 ；2(D)记 AMM1、 AM1N1、 ANN1的面积分别为 S、S2、&，是否存在使得对任意的a 0,都有S2SS2成立。假设存在，求出的值；假设不存在，说明理由答案:解：依题意，可设直线 MN的方程为x my a, M (x1, y1), N (x2, y2)，那么有21

25、世纪教育网M ( a, yi), N( a, y)X 由2y从而有Xi又由2 yimy a消去X可得2pxyi y2 2mp yy 2apX2 m(yi y2)2y 2mpy 2ap 022a 2( m pa)22pxi, yi2px2 可得 X1X2(yi y2 )24p2(2ap)24p2a2(I)如图i,当a -时，点A(-p,0)即为抛物线的焦点,2 2PP此时 Mi(, yi), Ni(,y2),并由22Ip,yi),ANil为其准线可得yiy2证法i：(2p2yMpp,y2)证法2:K AM1 ,Kan p0,即 AM1AN1 21世纪教育网i,即 AMi ANi.图2(n )存在

26、 4，使得对任意的a 0，都有2S2 4SiS3成立，证明如下:证法1：记直线I与x轴的交点为Ai,那么 0AOAj a。于是有S2S321212MM iMiNiNNiAMi-(Xi2a) yiAA,a yiy2AM-(X22a) y2S； 4SiS3a2(yi y2)2 4力丫2】xix?(a yi2-y2 )2(X2 a) y2(Xi a) yia(x! X2) a2 yiy2将、代入上式化简可得a2(4m2p2 8ap) 2ap(2am2p4a2)4a2 p(m2p2a)上式恒成立，即对任意 a 0,S；4S1S3成立2 证法2：如图2,连接MNNM那么由 河22ap,yi2pxi可得K

27、yi 2p 2 py2 2 py2 y?KOMcXiyiyiy22apaKONi，所以直线MNi经过原点0,同理可证直线NM 1也经过原点0又 0A OAi a设 MiA h, NiAh2, MM idi, NNid2,那么1 iS|dihi, S22a(h| h2) a(h|2 2来源：09年高考湖北卷 题型：解答题，难度：较难如图，三角形 PAQ顶点P (-3 , 0),轴上，点 Q在x轴正半轴上，ih2)，S3 严.PA AQ 0, QM 2 AQ。(I )当点A在y轴上移动时，求动点 M的轨迹E的方程；(II )设直线丨：y k x 1与轨迹E交于B C两点，点D( 1, 0),假设/

28、 BDC为钝角, 求k的取值范围。DB DC 0x1xXiX21 yy 0答案:解:(1 )设 OMx, y ,OA0 , a (a0),OQ b , 0 (b 0)那么 PA 3, a,AQba又 PA AQ0, a2 3b12分又 QMxb, y ,AQb ,a,QM2 AQx 3b24分y 2a由y24x (x0)6分(II )设 OBx1, y1,OCx2, y2,DBX1 1 , y1 ,DCX21, y2DB DC|DB| |DC| cosZ BDCcosz BDCDB DC0 / BDC为钝用，|DB| |DC|8分y2 4x y k x消去y得:12k2 4 x k20 (k

29、0)那么x1x 4 2k2k22，X1 X214y“2k X11k x21k2 X1X2x1x215分1. 2.2代入3得：k2k，此时0222、22k0，. k的范围是，0 0,12分2210来源：题型：解答题，难度：较难设F( 1, 0), M点在x轴上，P点在y轴上，且 MN 2 MP , PM PF .(I)当点P在y轴上运动时，求 N点的轨迹C的方程；(H)设 A( xi,yj, B( X22 ),D( X3,y3)是曲线 C 上的三点，且 | AF |、| BF|、| DF |成等差数列，当 AD的垂直平分线与 x轴交于E (3，0)时，求B点的坐标.答案:解：(I)： MN 2

30、MP，故P为MN中点.1分 又T PM PF , P在y轴上，F为(1, 0),故M在x轴的负方向上，设 N (x, y)那么M ( x, 0), P 0,丄,(x0),22分 PMx, y ,PF1, y3分又222yX0y2 4x x0是轨迹C的方程.4(n)抛物线C的准线方程是|AF| X11,|BF| x21,|DF| x316分Xi 1 X312 x21 , x1PM PF故PM PF 0,4分即5分x = 1 ,由抛物线定义知2X3 2x27分又y1224x1, y2 4x2, y 4x3，故y1y3y1 y3 y1y34x1 X3 ,k ADy1y3X1X38分 AD的中垂y1

31、y3线为y x 39分而AD中点y1 y32y1y3 X1 X33 .即 1-X23 . X21.211分.由讨2 4x 2422T，T在其中垂线上,jAF、BF|、|DF| 成等差数列，y 2 . B点坐标为(1 , 2)或(1, 2).12 分.来源：题型：解答题，难度：较难二次函数y=(x)的图象以原点为顶点且过点(1,1),反比例函数y=f2(x)的图象与直线y=x的两个交点间距离为8,f(x)= f 1(x)+ f 2(x).(1) 求函数f(x)的表达式；(2) 证明：当a3时,关于x的方程f(x)= f(a) 有三个实数解答案:2 2【解】(1)由,设 fi(x)=ax ,由 f

32、i(1)=1,得 a=1,.f i(x)= x .k设f 2(x)= (k0),它的图象与直线y=x的交点分别为x8由 AB =8,得 k=8,.f 2(x)=.故 f(x)=xA( k , . k )B( , k , k )2 8+ xx2 8 2 8【证法一】f(x)=f(a), 得x + =a +,x a即 8= x2+a2+8.xa8在同一坐标系内作出f 2(x)=和xf3(x)= x2+a2+ 8的大致图象，其中f2(x)的图象是以坐标轴为渐近线，且位于第一、a2 8象限的双曲线，f 3(x)与的图象是以(0, a +-)为顶点，开口向下的抛物线a因此，f 2(x)与f3(x)的图象

33、在第三象限有一个交点，即f(x)=f(a) 有一个负数解.又f2(2)=4, f 3(2)= 4+a2+-a2 8当 a3 时,.f 3(2) f2(2)= a + 80,a当a3时，在第一象限f3(x)的图象上存在一点(2,f(2) 在f2(x)图象的上方.f2(x)与f 3(x)的图象在第一象限有两个交点，即f(x)=f(a) 有两个正数解因此，方程f(x)=f(a)有三个实数解.【证法二】由 f(x)=f(a), 得 x2+ =a2+,x a8即(x a)(x+a )=0,得方程的一个解 xi=a.ax2 2方程 x+a=0 化为 ax+a x 8=0,ax4由 a3, =a +32a0

34、,得X2=a2a4 32aa2 a4 32a,x 3= 2a2a- x 20, .X 1工 x 2,且 X2 工 x 3.假设 xi= x 3,即 a=a432a2a3a2= . a432a , a 4=4a,得 a=0 或 a= 4 ,这与 a3 矛盾，/-x1 x 3.故原方程f(x)=f(a) 有三个实数解来源：题型：解答题，难度：较难点B ( 1，0)，C( 1，0)，P是平面上一动点，且满足|PC| |BC| PB CB.(1) 求点P的轨迹C对应的方程；(2) 点 A ( m,2)在曲线 C上，过点 A作曲线C的两条弦 AD, AE,且AD, AE的斜 率k1、k2满足k1 k2=

35、2.求证：直线 DE过定点，并求出这个定点 .答案:(1)设P(x,y)代入 |PC| |BC| PB CB得(X1)2y2 1 x,化简得 v2 4X.(3分)(2)将 A(m,2)代入 y2 4x 得 m 1,(4分)设直线 DE 的方程为 y kx b,D(x1,y1), E(x1,y1)由y2kx得k2x22( kb2)xb20,y4xkADk AE 2,y1 2 y222(X1 x1),(6分x11x21且kx1b,y2kx2 b(k22)x1x2 (kb 2k 2)(;0 )上的点Po(xo, yo)，过P o作曲线c的切线与x轴 交于Q,过Q作平行于y轴的直线与曲线 c交于Pi ( x 1, y 1),然后再过P 1作曲线c的 切线交X轴于Q2,过Q2作平行于y轴的直线与曲线 C交于P 2 ( x 2 , y2 ),依次类推， 作出以下各点：P o , Q 1 , P 1 , Q 2 , P 2 , Q3Pn, Qn + 1，X 0=2，设P n ( X n, yn) ( n N)(I )求出过点Po的切线方程；(n )设Xn=f ( n ),求f (n)