平行四边形的专题应用.doc

1、专题平行四边形中的简单证明一、平行四边形的性质1在平行四边形ABCD 中，将ABC 沿 AC 对折，使点 B 落在 B处， AB 和 CD 相交于点 O，求证： OD=OB 。2如图，在Y ABCD 中，点 E、 F 是 AC 上两点，且AE=CF ，求证：EBFFDE3如图，在Y ABCD 的纸片沿 EF 折叠，使点C 与点 A 重合，点 D 落在点 G 处。（ 1）求证： AE=AF ；（ 2）求证： ABEAGF二、平行四边形的判定4如图，在 Y ABCD 中， E，F 分别为 AD ，BC 上两点，且BF=DE ，连 AF 、CE、BE 、DF 、AF 与 BE 相交于 M 点， DF

2、 与 CE 相交于 N 点，求证：四边形FMEN 为平行四边形。精选文档5如图， AF 与 BE 互相平分， EC 与 DF 互相平分，求证：四边形ABCD 为平行四边形。6如图所示，已知E 为 Y ABCD 中 DC 边延长线上一点，且CE=DC ，连 AE 分别交 BC，BD 于 F，G，连 AC 交 BD 于 O 点，连 OF。（ 1）求证： AF=EF ；（ 2） DE=4OF专题平行四边形中的面积问题【方法归纳】：充分利用平行四边形的性质及常用的数学思维方法解决与面积有关的问题一、 方程的思想1 如图，在 Y ABCD 中， AEBC 于 E， AFCD 于 F，已知 AE=4 ，A

3、F=6 ， Y ABCD的周长为40，求 Y ABCD 的面积。2 如图， E 是 Y ABCD 内任一点，若SY ABCD6 ，则 S ABES CDE_精选文档二、分类讨论的思想3在面积为 15 的平行四边形ABCD 中，过点 A 作 AE 垂直于直线 BC 于点 E，作 AF 垂直于 CD 于点 F，若 AB=5 ， BC=6 ，则 CE+CF 的值为（）A 11 311 311 311 311 3311B11C11或 11D 112或 122222三、数形结合的思想4基本图形：如图，在Y ABCD 中， AC ，BD 交于点 O ，过点 O 任作直线分别交AD ，BC于 E，F。基本结

4、论：（ 1）图中的全等三角形有：_（ 2）图中相等的线段有： _（ 3）与四边形 ABEF 周长相等的四边形是 _（ 4）过平行四边形对角线交点的直线将平行四边形分成面积相等的两部分，即 S四ABFE _应用：如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 为平行四边形，A（ 5,0）， C（ 1,4），过点 P（ 0， -2）的直线分别交于OA ， BC 于 M、 N ，且将 Y OABC 的面积分成相等的两部分，求点M、N 的坐标。精选文档专题构造三角形中位线【方法归纳】：中点问题的处理方法较多，构造三角形中位线是常用方法之一一、连接两点构造三角形中位线1如图， E、F、G、H 分别为四边形 A

5、BCD 四边的中点，试判断四边形 EFGH 的形状并予以证明。2如图，在ABC 中，B2A ， CDAB 于 D ， E、 F 分别为 AB 、 BC 的中点。求证： DE=DF 。3如图，点 P 是四边形ABCD 的对角线BD 的中点， E 、F 分别是 AB、CD 的中点， AD=BC ，CBD45 ，ADB105 ，探究 EF 与 PF 之间的数量关系，并证明。4如图， 点 B 为 AC 上一点， 分别以 AB、BC 为边在 AC 同侧作等边ABD 和等边BCE ，点 P、 M、N 分别为 AC、 AD 、 CE 的中点。（ 1）求证： PM=PN ；（ 2）求MPN 的度数精选文档二、

6、利用角平行线+垂直构造中位线5如图，在ABC 中，点 M 为 BC 的中点， AD 为ABC 的外角平分线，且ADBD ，若 AB=12 ， AC=18 ，求 MD 的长。6如图，在ABC 中， AB=BC ，ABC90 ，F 为 BC 上一点， M 为 AF 的中点， BE 平分ABC ，且 EFBE ，求证： CF=2ME三、倍长构造三角形中位线7如图， 在 ABC 中， ABC90 ，BA=BC ， BEF 为等腰直角三角形，BEF 90 ，M 为 AF 的中点，求证： ME=1CF。2四、取中点构造三角形中位线8如图，四边形ABCD 中， M 、N 分别为 AD 、BC 的中点，连BD

7、 ，若 AB=10 ， CD=8 ，求MN 的取值范围。精选文档9如图，在ABC 中，C90 ， CA=CB ， E、 F 分别为 CA 、CB 上一点， CE=CF ， M、N 分别为 AF 、 BE 的中点，求证：AE=2 MN 。10如图， 点 P 为ABC 的边 BC 的中点， 分别以 AB 、AC 为斜边作 RtABD 和 RtACE ，且 BADCAE ，求证： PD=PE 。精选文档专题矩形中的折叠与勾股定理1如图，在矩形纸片ABCD 中， AB=12 ， BC=5，点 E 在 AB 上，将DAE 沿 DE 折叠，使点 A 落在 BD 上的 A 处，求 AE 的长。2将一张矩形A

8、BCD 纸片按如图方式折叠，使点A 与点 E 重合，点C 与点 F 重合（ E、 F均在 BD 上），折叠分别为BH 、 DG 。（ 1）求证：BHEDGF（ 2）若 AB=6 ， BC=8 ，求 FG 的长。3如图，在矩形ABCD 中， AB=3 ， BC=4 ，沿 EF 折叠，折痕为EF，使点 C 落在 A 点处，点D落在点 G处。（ 1）求证： AE=AF ；（ 2）求 AE 的长；（ 3）求 EF 的长。4（ 1）操作发现：如图，在矩形 ABCD 中，E 是 AD 的中点，将 ABE 沿 BE 折叠后得到GBE ，且点 G 在矩形 ABCD 内部，小明将 BG 延长交 DC 于边 F，

9、认为 GF=DF ，你同意吗？请说明理由。（ 2）问题解决：保持（1）中的条件不变，若DC=2DF ，求AD的值；AB（ 3）类比探究：保持（1）中的条件不变，若DC=nDF ，直接写出 AD 的值： _AB精选文档专题构造斜边上的中线【方法归纳】：遇到直角三角形斜边中点时，往往连斜边上的中线基本图形：已知ABD 和ABC 都是 Rt，ADBACB90基本结论：图1 中，若 OA=OB ，则 OA=OB=OD，若 OA=OD ，则 OB=OD ，若 OB=OD ，则 OA=OD 。图2 中 ， 若OA=OB ， 则OA=OD=OC=OB， 图3 中 ， 若OA=OB ， 则OA=OD=OC=O

10、B。1如图，BCD 和 BCE 中， BDCBEC 90 ，O 为 BC 的中点， BD ，CE 交于 A ，BAC120 ，求证： DE=OE2如图，在ABC 中， BDAC 于 D， CEAB 于 E ，点 M、 N 分别是 BC，DE 的中点，（ 1）求证： MNDE ；（ 2）连 ME， MD ，若A60 ，求 MN 的值。DE3如图，在ABC 中， AB=BC ，ABC90 ，点 E、F 分别在 AB ，AC 上，且 AE=EF ，点 O， M 分别为 AF ， CE 的中点，求证： （ 1） OM=12 OMCE；（ 2） OB=24如图，CDE 中，CDE135 ，CBDE 于

11、B，EACD 于 A ，求证：CE=2 AB 。精选文档专题灵活运用菱形的性质1如图，菱形ABCD 中，点 E 为 AC 上一点，且DEBE（ 1）求证：ADEABE（ 2）若DAB60 ，AD= 2 3 ，求 DE 的长。2如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使顶点B 落在边 AD 上的一点，折痕的一段G 点在边BC 上，另一端F 在 AD 上， AB=8 ， BG=10.（ 1）求证：四边形BGEF 为菱形；（ 2）求 FG 的长。3如图，四边形 ABCD 与四边形 AECF 都是菱形，点 EF 在 BD 上，已知BAD 120 ，EAF30 ，求 AB 的值。AE4如图，菱上形ABCD 的边

12、长为 2，且ABC120 ，点 E 是 BC 的中点，点 P 为 BD 上一点，且PCE 的周长最小、（ 1）求 ADE 的度数；（ 2）在 BD 画出点 P 的位置，并写出作法；精选文档（ 3）求PCE 周长的最小值。5如图，在Rt ABC 中，ACB90 ，AC=4 ，BC=3 ，D 为 AB 上一点，以CD 、CB 为边作菱形CDEB ，求 AD 的长。专题灵活运用菱形的判定1如图，在Y ABCD 中， E 为 BC 上一点，连AE 、BD ，且 AE=AB ，（ 1）求证：ABEEAD（ 2）若AEB2ADB ，求证：四边形ABCD 是菱形2如图，在ABC 中， AD 是边 BC 上的

13、中线， AE/BC ， DE/AB，DE 与 AC 交于点 O ，连 CE.（ 1）求证： AD=EC ；（ 2）若 BAC 90 ，求证：四边形 ADCE 是菱形。3如图，在四边形ABCD 中， AB=AD ，CB=CD ，E 是 CD 上一点， BE 交 AC 于 F（ 1）求证：AFDCFE（ 2）若 AB/CD，试证明四边形ABCD 是菱形；精选文档（ 3）在（ 2）的条件下，试确定E 点的位置，使EFDBCD ，并说明理由。4如图，点E 为 AB 上一点，以AE 、 BE 为边在 AB 同侧作等边AED 和等边BEC ，点 P、 Q、M 、N 分别是 AB 、 BC、 CD 、 DA

14、 的中点。（ 1）判断四边形 PNMQ 的形状，并证明；（ 2） NPQ 的度数为 _（直接写出结果）专题正方形中的简单证明【方法归纳】：运用正方形的边、角、对角线的性质进行简单的线段关系、角度关系及位置关系的证明。1如图，正方形ABCD 中，对角线AC、 BD 相交于点O， M、N 分别在 OA 、OB 上，且OM=ON 。（ 1）求证：BM=CN ； CNBM（ 2）若 M、N 分别在 OA 、OB 的延长线上，则（ 1）中的两个结论仍成立吗？请说明理由。2如图， E 是正方形ABCD 中 AD 边上的中点，BD ，CE 相交于点 F。（ 1）求证： EB=EC ；（ 2）求证：DAFDC

15、F精选文档（ 3）求证： AF BE（ 4）过 F 作 FG/BE 交 BC 于 G，求证： FG=FC 。3如图，已知正方形ABCD ，点 P 在对角线BD 上， PEPA 交 BC 于 E， PFBC ，垂足为 F 点。（ 1）求证：PECBAP（ 2）求证： EF=FC ；（ 3）求证： DP=2 CF；4正方形ABCD 和正方形AEFG 有公共顶点A，将正方形AEFG 绕点 A 按顺时针方向旋转，记旋转角DAG，其中 0180 ，连 DF 、 BF，如图。（ 1）若0 ，则 DF=BF ，请加以证明；（ 2）试画出一个图形（即反例） ，说明（ 1）中命题的逆命题是假命题；（ 3）对于（

16、 1）中命题的逆命题，如果能补充一个条件后能使该逆命题为真命题，请直接写出你认为需要补充的一个条件，不必说明理由。专题中点四边形【方法归纳】：中点四边形的形状一般通过三角形中位线定理来证明精选文档四边形 ABCD 中，点 E 、 F、 G、 H 分别为 AB 、BC、 CD 、 AD 的中点。、1如图，求证：四边形EFGH 为平行四边形。2（ 1）如图 1，若四边形ABCD 是矩形，求证：四边形EFGH 是菱形。（ 2）如图 2，若 AC=BD ，则四边形 EFGH 的形状是 _3（ 1）如图 1，若四边形ABCD 是菱形，求证：四边形EFGH 是矩形。（ 2）如图 2，若 ACBD ，则四边

17、形EFGH 的形状是 _4（ 1）如图 1，若四边形ABCD 是正方形，则四边形EFGH 的形状是 _（ 2）如图 2，若 AC=BD ， ACBD ，求证：四边形EFGH 是正方形。5如图，四边形 ABCD 中， AB=CD ， E、 F、G 、H 分别是 BD 、BC、AC 、AD 的中点，求证：四边形 EFGH 是菱形。精选文档6如图， CA=CB ，CD=CE ，ACBDCE 90 ，M、N 、G、H 分别为 AE 、AB、BD 、DE 的中点，求证：四边形MNGH 为正方形。专题运用正方形的性质求点的坐标【方法归纳】：利用正方形边角的性质构造全等三角形求点的坐标。基本图形：已知正方形

18、ABCD ，过 B、 D 两点分别向过点C 的直线作垂线，垂足分别为E、F，则BCECDF一、利用垂直且相等构造全等求坐标1如图， A （-1,0），B（ 0,3），以 AB 为边作正方形ABCD ，求 C， D 的坐标。2如图，边长为2 的正方形OABC 的 OA 边与 y 轴的夹角为30 ，求 B，C 的坐标。3如图， E（ -2,0）， A （0,4），延长 EA 至 D，使 AD=AE ，四边形ADCB 为正方形，（ 1）求点 C 的坐标；（ 2）求 CE 的长。精选文档二、利用面积法求点的坐标4如图， A （-3,4），四边形OABC 为正方形， AB 交 y 轴于 D 。（ 1）求

19、点 B 的坐标；（ 2）求点 D 的坐标。专题正方形中的动态问题【方法归纳】：抓住图形之间的联系，辅助线及解题思路的类似性来解题。1如图 1，在正方形ABCD 中， E 是 BC 上一点， F 是 AE 上一点，过点F 作 GHAF ，交直线 AB 于 G，交直线 CD 于 H。（ 1）求证： BG=CH-BE ；（ 2）如图 2，若F 是 AE 延长线上一点，其余条件不变，试探究：BG 、BE、 CH 之间的数量关系。2问题：如图1，点 E、 F 分别在正方形ABCD 的边 BC、CD 上，EAF45 ，试判断BE、 EF、 FD 之间的数量关系。【发现证明】小聪把ABE 绕点 A 逆时针旋

20、转 90 至ADG ，从而发现EF=BE+FD ，请你利用图1 证明上述结论。【类比引申】如图2，四边形ABCD 中，BAD90 ， AB=AD ，BD180 ，点 E、 F 分别在边BC、 CD 上，则当EAF 与BAD 满足 _关系时，仍有EF=BE+FD 。【探究应用】如图3，在某公园的同一平面上，四条道路围成四边形ABCD ，已知精选文档AB=AD=80 米，B 60，ADC 120 ，BAD 150 ，道路 BC、CD 上分别有景点E 、F，且 AEAD ，DF=40 （3 -1）米，现要在 E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF 的长。专题正方形中的2 问题（一）基本图形【方法归纳】处理问题的关键是急用条件构造等腰直角三角形基本图形：基本结论：图 1 中，若