普朗克黑体辐射公式推导.doc

1、所谓的黑体是指能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。黑体辐射：由这样的空腔小孔发出的辐射就称为黑体辐射。辐射热平衡状态:处于某一温度T下的腔壁，单位面积所发射出的辐射能量和它所吸收的辐射能量相等时，辐射达到热平衡状态。实验发现：热平衡时， 空腔辐射的能量密度，与辐射的波长的分布曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度 T有关而与黑体的形状和材料无关。实验得到：1. Wien 公式从热力学出发加上一些特殊的假设，得到一个分布公式：dC1 3 exp(C 2/ T )dWien 公式在短波部分与实验还相符合，长波部分则明显不一致。2. Rayleigh-Jeans公式Ray

2、leighJeans 公式d8 3 kT 2 dCRayleigh-Jeans公 式 在 低 频 区 和 实 验 相 符 ， 但 是 在 高 频 区 公 式 与 实 验 不 符 ， 并 且EEv d v， 既 单位 体 积 的 能量 发散 ， 而实 验 测 得 的黑 体辐 射 的能 量 密 度 是0ET 4 ，该式叫做Stefan-Bolzmann公式，叫做 Stefan-Bolzmann常数。3. Planck黑体辐射定律1900 年月日Planck提出如果空腔内的黑体辐射和腔壁原子处于平衡，那么辐射的能量分布与腔壁原子的能量分布就应有一种对应。作为辐射原子的模型，Planck假定：（ 1）

3、原子的性能和谐振子一样，以给定的频率v 振荡；（ 2）黑体只能以 E = hv 为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量，而不是象经典理论所要求的那样可以连续的发射和吸收辐射能量。得到：8 h31该式称为 Planck辐射定律d3dCexp(h / kT) 1h 为普朗克常数，h= 6.62610 34 j .s4，普朗克的推导过程：把空窖内的电磁波分解为各个频率的简振振动，简振模的形式最后为k (r , t)C k ei ( K .r wt) ，1,2表示两个互相垂直的偏振方向， C k 为常系数每一个简振模在力学上等价于一个自由度，记频率在,d内的自由度数为gd，则（ 0， v）范围内的总自由

4、度数G(v) 与 g(v)的关系为 Ggd。0借助几何方法求出G8 V3 ，取微分得gd8 V2 d3c3c3令 E 代表体积为V 的空窖内热平衡辐射的总内能，u,T d代表单位体积 , 频率间隔在E,d内的 能量，于是u ,T dg( )d，V00，gd1 g82 d 代表单位体积内频率代表频率为的振子的平均能量Vc3间隔在,d内的振动自由度数。应用经典统计的能量均分定理得到平均能量为KT 与振子的频率无关，代入d 可以得到 u v, T d8kT2du v, T dg，这就是瑞利 - 金斯公式，在低c3频区和实验符合，高频区严重偏离。182 d普朗克热辐射理论采用的也是波的观点，gdg依旧

5、认为他正确，Vc 3但是能量均分定理不适用，原因在于麦克斯韦波尔滋蔓分布不对，问题出在振子能量取连续值上。 Planck假定：黑体只能以E = hv为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量，而不是象经典理论所要求的那样可以连续的发射和吸收辐射能量, 对于频率为 v 的振子，其能量只能取一个最小能量单元的整数倍即nnh，他认为振子的平均分布仍遵从麦克斯韦玻尔兹曼分布，即 an ( ) en代表频率为 v 对的振子处于能级n vnenenn的平均数，于是振子的平均能量为nn，enn即ln Zenn其 中 Zen代 表 频 率 为 v的振子的配分函数，可以得到n0Ze n h1。n 01 ehln Zh

6、h由此可以知道振子的平均能量与其频率有关，能e h1h1e kT量均分定理不成立。把上式代入 u v,T dgd得到：8h3 du v, T d3eh/ kTc这就是普朗克辐射公式。1此时辐射场的内能为8h 3 d8 kT4x38 5k 4,Eu ,T d,令xhv / kT得E4, 其中 ac3h / kTc3h3n 0 exdx aT15h3c3n 0n 0 e115，对 Planck辐射定律的讨论：d8 h31dC 3exp(h/ kT )1（1）当 v 很大（短波）时，因为exp(hv /kT)-1 exp(hv /kT)，于是Planck定律 化为 Wien公式。8 h31d变为 d8 h3h/ kT )ddexp(h/ kT)C 3exp(C 31Wien公式dC13 ex