小船渡河问题(含知识点、例题和练习).doc

1、小船渡河 问题小船渡河的问题 ,可以分解为它同时参与的两个分运动,一是小船相对水的运动 (设水不流时船的运动 ,即在静水中的运动 ),一是随水流的运动(即水冲船的运动 ,等于水流的运动 ),船的实际运动为合运动 .两种情况：船速大于水速；船速小于水速。两种极值：渡河最小位移；渡河最短时间。【例 1】一条宽度为 L 的河，水流速度为v水 ，已知船在静水中速度为v船 ，那么：（ 1）怎样渡河时间最短？（ 2）若 v船v水 ，怎样渡河位移最小？（ 3）若 v船v水 ，怎样渡河位移最小，船漂下的距离最短？解析：（ 1）小船过河问题，可以把小船的渡河运动分解为它同时参与的两个运动，一是小船运动，一是水流

2、的运动，船的实际运动为合运动。如右图所示，船头与河岸垂直渡河，渡河时间最短： t minL 。v船此时，实际速度（合速度）v合v船 2v水 2VVV合水实际位移（合位移）s22LLv船v水sinv船（ 2）如右图所示，渡河的最小位移即河的宽度。为使渡河位移等于L ，必须使船的合速度 v 合的方向与河岸垂直，即使沿河岸方向的速度分量等于0。这时船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度，所以有 v船 cosv水 ，即arccosv水 。因为 为锐角，v船v水0cos1 ，所以 只有在 v船v水 时，船头与河岸上游的夹角arccos，船才有v船可能垂直河岸渡河，此时最短位移为河宽，即sminL 。实

3、际速度（合速度） v合v船sin ，运动时间LLtv船sinv合（ 3）若 v船v水 ，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距离最短呢？如右图所示，设船头 v 船 与河岸成 角。合速度 v 合 与河岸成 角。可以看出： 角越大，船漂下的距离 x 越短，那么，在什么条件下 角最大呢？以 v 水的矢尖为圆心， v 船为半径画圆，当 v 合 与圆相切时， 角最大，根据v船，船头与河岸的夹角应为v船，此时cosarccosv水v水渡河的最短位移：sLLv水cosv船渡河时间： tL，v船 sinxmin( v水L船沿河漂下的最短距离为：v船 cos )v船 sin误区：不分条件，认为

4、船位移最小一定是垂直到达对岸；将渡河时间最短与渡河位移最小对应。【练习 1】小河宽为d，河水中各点水流速度大小与各点到较近河岸边的距离成正比，v水kx， k4v0 ， x 是各点到近岸的距离，小船船头垂直河岸渡河，小船划水速度为dv0 ，则下列说法中正确的是（）A. 小船渡河的轨迹为曲线B. 小船到达离河岸d2v0处，船渡河的速度为2C. 小船渡河时的轨迹为直线D. 小船到达离河岸3d / 4 处，船的渡河速度为10v0【练习 2】小船过河 ,船对水的速率保持不变 .若船头垂直于河岸向前划行 ,则经 10min 可到达下游 120m 处的对岸 ;若船头指向与上游河岸成 角向前划行 ,则经 12

5、.5min 可到达正对岸 ,试问河宽有多少米 ?【例2】如图1 所示，人用绳子通过定滑轮以不变的速度v0 拉水平面上的物体A ，当绳与水平方向成 角时，求物体A 的速度。图 1解：本题的关键是正确地确定物体A 的两个分运动。物体A 的运动（即绳的末端的运动）可看作两个分运动的合成：一是沿绳的方向被牵引，绳长缩短。绳长缩短的速度即等于 v1 v0 ；二是随着绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变绳长，只改变角度 的值。这样就可以将 vA 按图示方向进行分解。所以v1 及 v2 实际上就是 vA 的两个分速度，如图1 所v1v0。示，由此可得 v Acoscos【练习 3】如图所示 ,在水平地面上做匀速直线运动的汽车,通过定滑轮用轻绳吊起一个物体 m,若汽车和物体 m 在同一时刻的速度分别为v1 和 v2 ,则下面说法正确的是()A. 物体 m 做匀速运动且 v1=v 2B.物体 m 做减速运动且 v1 v 2mD.物体 m 做加速运动且 v1v 2【练习 4】如图所示，汽车以速度v 匀速行驶，当汽车到达P 点时，绳子与水平方向的夹角为 ，此时物体M 的速度大小为（用 v、 表示）vPM【练习 5】如图所示