CH习题课及大作业

1、 c )(2ny) 1(2ny) 1 ,(nfy), 1 (nfy21),1)(xynntx（6）设随机变量）设随机变量，则，则 (b) (c) (d) (a)(a)十一十一 、（本题满分、（本题满分1010分）分）已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3 3件合格品件合格品和和3 3件次品，乙箱中仅装有件次品，乙箱中仅装有3 3件合格品件合格品. . 从甲箱中任取从甲箱中任取3 3件产品件产品放入乙箱后，求：放入乙箱后，求：(1) (1) 乙箱中次品件数的数学期望；乙箱中次品件数的数学期望；(2) (2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率从乙

2、箱中任取一件产品是次品的概率20042004年数学一试题年数学一试题 e1dxxp （6）设随机变量）设随机变量x服从参数为服从参数为的指数分布，则的指数分布，则= （13）设随机变量）设随机变量x服从正态分布服从正态分布n(0,1)，对给定的，对给定的 c ) 10(uuxp xxpx2u21u21u1u数数满足满足，若，若，则，则等于等于. (b) . (c) . (d) (a)(a) （14）设随机变量）设随机变量 a ) 1(,21nxxxn. 02niixny11.),21nyx21),(yxcov212)(nnyxd211)(nnyxd独立同分布，且其方差为独立同分布，且其方差为

3、令令，则，则 (b) (c) . (d) (a) (a) covcov( (20042004年数学一试题年数学一试题 21)(,31)(,41)(bapabpap;, 0, 1不发生发生aax., 0, 1不发生发生bby.xy(22)（本题满分（本题满分9分）分）设设a,b为随机事件，且为随机事件，且，令，令 求求:（i）二维随机变量）二维随机变量(x,y)的概率分布；的概率分布； （ii）x和和y的相关系数的相关系数20042004年数学一试题年数学一试题 假假 设设 检检 验验总体总体x，简单随机样本简单随机样本(x1,x2,xn) 样本值样本值(x1,x2,xn) ，统计量。统计量。无

4、偏估计；上无偏估计；上 分位点，双侧分位点，双侧 分位点；分位点；样本的数字特征：样本均值，样本方差，样本样本的数字特征：样本均值，样本方差，样本k阶矩。阶矩。置信水平，置信区间；置信水平，置信区间；检验水平，检验统计量，检验水平，检验统计量，接受域，拒绝域。接受域，拒绝域。1、矩估计：、矩估计：将要估计的总体参数将要估计的总体参数 表示成表示成总体总体x的矩的函数，的矩的函数，然后用样本的然后用样本的相应的矩的函数相应的矩的函数作为其估计量进行估计。作为其估计量进行估计。 方法步骤方法步骤: :1）建立待估参数）建立待估参数 与总体的矩之间的关系式；与总体的矩之间的关系式；2）用相应的样本矩

5、做总体矩的估计量，代入关系式得到）用相应的样本矩做总体矩的估计量，代入关系式得到 的估计量。的估计量。3）代入样本值得到）代入样本值得到 的估计值。的估计值。共有m个待估参数时，需要建立m个这样的关系式！3、区间估计：、区间估计：1)(21p2、极大似然估计：、极大似然估计：当我们用当我们用样本值样本值估计总体的参数时，应使得当参数取这些值时，估计总体的参数时，应使得当参数取这些值时，所观测到的所观测到的样本值样本值出现的概率为最大。出现的概率为最大。方方法法步步骤骤 从已知条件出发，寻求一个含有从已知条件出发，寻求一个含有 （而不含有其它（而不含有其它 未知参数）未知参数）的样本函数的样本函

6、数z=z(x1,x2,xn, ), 使得随机变量使得随机变量z的分布为已知的的分布为已知的（最好是常用的最好是常用的）分布）分布； 根据根据z的分布的的分布的 分位点，解出分位点，解出 的置信区间的置信区间。方法步骤方法步骤 (4) 在最大值点的表达式中在最大值点的表达式中, 用样本代入就得参数的极大似然用样本代入就得参数的极大似然 估计量估计量.(2) 由总体分布导出似然函数由总体分布导出似然函数l(); 似然函数为分布律似然函数为分布律 (或概率密度或概率密度)乘积乘积;(3) 求似然函数求似然函数l()的最大值点的最大值点 (常转化为求常转化为求ln l() 的最大值点的最大值点);(1

7、)设设（x1 , x2 ,，xn)为样本为样本(x1,x2, ,xn)的一个观察值；的一个观察值；统计三大分布统计三大分布)(22n记为记为2分布分布 设设 相互独立相互独立, ,且都服从正态分布且都服从正态分布n(0,1),n(0,1), 则则, ,r.v r.v 服从自由度为服从自由度为 n n 的的 分布分布. .nxxx,21222212nxxx 2vryxnynx.),(),1 , 0(2则则称称相相互互独独立立与与并并且且设设, , nyxt 服从自由度为服从自由度为n的的t t分布分布, ,记为记为t t t(t(n).).又称又称studentstudent分布分布. .t 分

8、布分布设设u u 2 2(n(n1 1), ), vv 2 2(n(n2 2), ),且且u u与与v v相互独立相互独立, ,则称则称 r.v21/nvnuf 服从自由度为服从自由度为(n1,n2)的的f分布分布.f分布分布 6 6 设设 和和s s2 2是来自正态总体是来自正态总体n(0,n(0,2 2) )的样本的样本均值和的样本的样本均值和样本方差样本方差, ,样本容量为样本容量为n n, ,则统计量则统计量 服从服从 分布。分布。x22sxn),1 , 0(), 0(2nnxnnx )1()1(222 nsn )1, 1()1()1(1)(22222 nfsxnnsnnxf ),1(

9、)(22 nx独独立立和和且且222)()1(nxsn 分析：分析： c )(2ny) 1(2ny) 1 ,(nfy), 1 (nfy21),1)(xynntx（6）设随机变量）设随机变量，则，则 (b) (c) (d) (a)(a)（1)1) 样本均值的分布样本均值的分布 设设x xn(n( , , 2 2 ),(x),(x1 1,x,x2 2x xn n) )是它的一个样本是它的一个样本, ),(2nnx )1 ,0( nnx （一）单个正态总体（一）单个正态总体（2 2）样本方差的分布样本方差的分布 ) 1() 1(222 nsn )1(/ ntnsx x)2(11)()(212121

10、nntnnsyx 2) 1() 1(212222112 nnsnsns 其其中中（二）两个正态总体（二）两个正态总体 1,1/2122222121 nnfssf （4 4）（3 3）但但未未知知,2221 , 0,2)()(2xxexfx0nxxx,21).,min(21nxxx)(xf十二十二 、（本题满分、（本题满分8分）分）设总体设总体x的概率密度为的概率密度为 其中其中是未知参数是未知参数. 从总体从总体x中抽取简单随机样本中抽取简单随机样本，记，记(1)求总体求总体x的分布函数的分布函数f(x);(2)求统计量求统计量的分布函数的分布函数(3)如果用如果用作为作为的估计量，讨论它是否

11、具有无偏性的估计量，讨论它是否具有无偏性.x t(n)t(n)分位点：分位点：设设01, 对随机变量对随机变量x，称满足称满足 xxp的点的点 为为x的概率分布的上的概率分布的上 分位点分位点. x 双侧分位点双侧分位点（13）设随机变量）设随机变量x服从正态分布服从正态分布n(0,1)，对给定的，对给定的 c ) 10(uuxp xxpx2u21u21u1u数数满足满足，若，若，则，则等于等于. (b) . (c) . (d) (a)(a) 20042004年数学一试题年数学一试题 注意：注意：1、双边检验双边检验的拒绝域取在的拒绝域取在两侧两侧;单边检验单边检验的拒绝域的拒绝域中中不等式的

12、取向不等式的取向与备择假设与备择假设h1中不等式的取向完全一致中不等式的取向完全一致。 2、单边检验中的等号总是在原假设中。单边检验中的等号总是在原假设中。 依据小概率原理依据小概率原理基本步骤基本步骤:（2 2）根据假设确定检验统计量。）根据假设确定检验统计量。 为真为真拒绝拒绝00| hhp（3 3）按）按，求出拒绝域。，求出拒绝域。（4 4）根据样本值作出拒绝还是接受）根据样本值作出拒绝还是接受h0的判断。的判断。（1 1）根据实际问题的要求，提出原假设）根据实际问题的要求，提出原假设h0及备择假设及备择假设h1； 通常只控制犯第一类（弃真）错误的概率通常只控制犯第一类（弃真）错误的概率

13、,即只控即只控制使制使 适量地小适量地小, 而不考虑第二类（纳伪）错误的概率而不考虑第二类（纳伪）错误的概率.原则原则: :理论依据：理论依据： 总体方差总体方差 2 2已知时，用已知时，用 总体方差总体方差 2 2未知时，用未知时，用)1 , 0(0nnxu )1(0 ntnsxt 对于单一正态总体参数的检验，对于单一正态总体参数的检验，估计或检验估计或检验 均值均值 无论无论总体均值总体均值怎样，怎样，用用)1()1(222 nsnk 估计或检验估计或检验 方差方差 2方差方差 已知时，用已知时，用)1 , 0()()(22212121nnnyxu 方差方差未知，但相等时，用未知，但相等时

14、，用) 2(11)()(212121nntnnsyxt 对于双正态总体参数的检验，对于双正态总体参数的检验，估计或估计或检验检验 均值均值差差估计或估计或检验检验方差方差比比) 1, 1(/2122212221nnfssf 用用: :五、区间估计与假设检验的关系五、区间估计与假设检验的关系以以 2 2未知，未知，关于关于 的区间估计与假设检验为例说明的区间估计与假设检验为例说明. . 设置信度为设置信度为1 1 , ,即即检验水平为检验水平为 , , 则则).1(/)( ntnsxt 对对 ,查查t分布表使分布表使 1)1() 1(22nttntp 1)1(/) 1(22ntnsxntp得得

15、的置信区间为的置信区间为 nsntxnsntx) 1(,) 1(22 12 nt 得得选用统计量选用统计量共同点：共同点：区间估计区间估计假设检验假设检验假设假设 h0 : = 0 ，h1 : 0h h0 0的拒绝域为的拒绝域为: :求得统计量求得统计量的观测值的观测值nsxt/ 区间估计与假设检验的统计处理是区间估计与假设检验的统计处理是相通相通的的. .但区间估计是估计但区间估计是估计未知参数所在的区间未知参数所在的区间； 假设检验是给了有关未知参数的假设假设检验是给了有关未知参数的假设, ,去去判定假设的对错。判定假设的对错。结论：结论：),1()1(,(22 ntntt 区别：区别：,

16、 1, 1, 0,11),(xxxxfnxxx, 121（1）（本题满分（本题满分9分）分）设总体设总体x的分布函数为的分布函数为 其中未知参数其中未知参数为来自总体为来自总体x的简单随机样本，求：的简单随机样本，求：的矩估计量；的矩估计量；的极大似然估计量的极大似然估计量. （i i）（iiii）20042004年数学一试题年数学一试题 六、应用举例六、应用举例20032003年考研数学（一）年考研数学（一） )49.40,51.39() 1 ,(n（2）已知一批零件的长度已知一批零件的长度x (单位单位:cm)服从正态分布服从正态分布，从中随机地抽取，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平

17、均值为个零件，得到长度的平均值为40 (cm)，则则的置信度为的置信度为0.95的置信区间是的置信区间是(注：标准正态分布函数值注：标准正态分布函数值.)95. 0)645. 1 (,975. 0)96. 1 (6.6. 设有两个工厂独立地生产同种零件设有两个工厂独立地生产同种零件, ,其质量指标均服从正其质量指标均服从正 态分布态分布. .分别从它们某天的产品中抽分别从它们某天的产品中抽2525件和件和1515件件, ,求得样本方求得样本方差分别为差分别为6.386.38和和5.15,5.15,求两正态总体方差比求两正态总体方差比 置信度为置信度为0.900.90的置信区间的置信区间. .2

18、221 解：解：1 . 0,15. 5,38. 6,15,25222121 assnn统计量统计量)1, 1(2122212221 nnffss annfnnfpassa 1)1, 1()1, 1(212212122212221 对给定的对给定的 , ,查表可得查表可得 与与 使使a) 1, 1(2121 nnfa)1, 1(212 nnfa由此可得由此可得 的的 置信区间为置信区间为2221 )1(a )1, 1(1,)1, 1(1(212122212122221 nnfssnnfssaa大作业大作业查表得查表得35. 2)14,24()1, 1(05. 0212 fnnfa在在表表中中查查

19、不不到到，)24,14(05.0f）置置信信区区间间为为：（6263. 2 ,5271. 0注：注： )1, 1(2121nnfa)24,14(1) 1, 1(105. 0122fnnfa 12. 21 11.2)24,15(05.0 f用用13.2)23,15(05.0 f课后课后 8. 机床厂某日从两台机器所加工的同一种零件中，分别抽取若机床厂某日从两台机器所加工的同一种零件中，分别抽取若干样品测量零件尺寸，测得数据如下：干样品测量零件尺寸，测得数据如下：机器甲：机器甲：6.2 5.7 6.5 6.0 6.3 5.8 5.7 6.0 6.0 5.8 6.0机器乙：机器乙：5.6 5.9 5

20、.6 5.7 5.8 6.0 5.5 5.7 5.5问两台机器的加工精度是否有显著差异（问两台机器的加工精度是否有显著差异（05. 0 ）？）？05. 0211210:,: hh222121，2221与2221122210:,: hh解：在检验水平解：在检验水平下，检验假设下，检验假设 因为因为均未知，且不知均未知，且不知(1)故故先检验假设先检验假设是否相等，是否相等，0h )8 ,10(2221fssf 05. 0)8 ,10()810(205. 02221205. 012221 fssfssp，2597. 085. 31)10, 8(1)8 ,10(, 3 . 4)8 ,10(025.

21、0205. 01205. 0 fff), 3 . 4()2597. 0, 0(当假设当假设为真时，取检验统计量为真时，取检验统计量 由由 查表得：查表得：故拒绝域为故拒绝域为222221173. 0,253. 0 ss1386. 2173. 0253. 022 f211210: hh)2911(91111 tsyxt 05. 0)18(91111205. 0 tsyxp 1009. 2)18(025. 0 t)1009. 2,1009. 2( 173. 0, 7 . 5,253. 0, 62211 sxsx代入样本值代入样本值得得t值为值为0h 所以接受所以接受2221 ，故可以认为，故可以认

22、为(2)再检验假设再检验假设0h 当假设当假设为真时，取检验统计量为真时，取检验统计量 由由 查表得：查表得：，故接受域为，故接受域为代入样本值代入样本值1009. 20226. 3911112911173. 08253. 0107 . 5622 t0h所以拒绝所以拒绝 , ,故可以认为两台机器的加工精度有显著差异。故可以认为两台机器的加工精度有显著差异。 一、是非题一、是非题 1. 1. 从从5050只灯泡中任意抽取只灯泡中任意抽取5 5只做破坏性试验只做破坏性试验, ,测得寿命测得寿命分别是分别是 , ,则则 不是一个简单不是一个简单随机样本随机样本. ( ). ( )54321,xxxx

23、x54321,xxxxx2. 2. 样本的函数一定是统计量样本的函数一定是统计量. ( ) . ( ) 由样本构成（不含有其他未知参数）的函数统称为统计量。由样本构成（不含有其他未知参数）的函数统称为统计量。什么是统计量？什么是统计量？分析：分析：4.4.设总体设总体n(n( ,2 2) )， 未知，则未知，则 的无偏估计量不是唯一的。的无偏估计量不是唯一的。 nnxxxxx 2,22. 2. 设设 是总体是总体 的未知参数的未知参数 的极大似然估计的极大似然估计, ,则则 的极大似然估计是的极大似然估计是. . x 12 a性质：若性质：若 是参数是参数 的极大似然估计量，而函数的极大似然估

24、计量，而函数 具有单值反函数，则具有单值反函数，则 是是 的极大似然估计量。的极大似然估计量。 )( uu )( u)( u12 二、填空题二、填空题 3 3 x x1 1,x,x2 2,x,x3 3,x,x4 4,x,x5 5是来自正态总体是来自正态总体n(0,1)n(0,1)的一个简单随机样本的一个简单随机样本, , 则则2242322215xxxxx )4(24242322215242322215txxxxxxxxxx 2 2、设总体、设总体x x和和y y相互独立，且都服从正态分布相互独立，且都服从正态分布 n(20,3)n(20,3)，分分 别取容量为别取容量为1010和和1515的

25、样本，求两样本均值差的绝对值大于的样本，求两样本均值差的绝对值大于 0.3 0.3 的概率。的概率。分析：分析：?3 . 0| yxp),(22212121nnnyx 3,20222121 )/,(1211nnx )/,(2222nny )1 , 0()(22212121nnnyx )1 , 0(21)(nyx 即即 3 . 03 . 013 . 0|13 . 0|yxpyxpyxp)21, 0( nyx 即即三、解答题三、解答题三、解答题三、解答题 4 4、设总体、设总体 ， 未知，未知， 为总体为总体 的的 样本，求样本，求 的极大似然估计量。的极大似然估计量。)( x nxxx,21x0 xp的极大似然估计量为的极大似然估计量为 x （课本（课本p p114114例例3 3）分析：分析： eexp! 000xee