2.1曲面及其方程.ppt课件

1、四、二次曲面四、二次曲面第三节第三节一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念二、旋转曲面二、旋转曲面 三、柱面三、柱面曲面及其方程 第七章 一、曲面方程的概念求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的222)3()2() 1(zyx07262zyx化简得即说明说明: : 动点轨迹为线段动点轨迹为线段 AB AB 的垂直平分面的垂直平分面. .引例引例: :显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程.222)4() 1()2(zyx解解: :设轨迹上的动点为设轨迹上的动点为, ),(zyxM,BMAM 则轨迹方程. 1.定义定义0),(zyxFSzy

2、xo如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;那么 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形.(2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,有下述关系:故所求方程为例例1. 求动点到定点求动点到定点),(zyxM),(0000zyxM轨迹方程. 特别,当M0在原点时,球面方程为解解: 设轨迹上动点为设轨迹上动点为RMM0即依题意距离为 R 的xyzoM0M222yxRz表示上(下)球面 .Rzzyyxx202020)()()(2202020)()()(Rz

3、zyyxx2222Rzyx例例2. 2. 研究方程研究方程042222yxzyx解解: : 配方得配方得5, )0, 2, 1(0M此方程表示:说明说明: : 如下形式的三元二次方程 ( A 0 )都可通过配方研究它的图形.其图形可能是的曲面. 表示怎样半径为的球面.0)(222GFzEyDxzyxA球心为 一个球面, 或点 , 或虚轨迹.5)2() 1(222zyx解解设设),(zyxM是是曲曲面面上上任任一一点点，,21|0 MMMO根据题意有根据题意有 ,21432222222 zyxzyx .911634132222 zyx所求方程为所求方程为以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题：以

4、上几例表明研究空间曲面有两个基本问题：（2 2已知坐标间的关系式，研究曲面形状已知坐标间的关系式，研究曲面形状（讨论旋转曲面）（讨论旋转曲面）（讨论柱面、二次曲面）（讨论柱面、二次曲面）（1 1已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程二、旋转曲面二、旋转曲面1.1.定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的轴曲面的轴播放播放这条旋转曲线叫旋转曲面的母线这条旋转曲线叫旋转曲面的母线例如例如 :xozy0),( zyf), 0(11

5、1zyM M),(zyxM设设1)1(zz |122yyxd 旋转过程中的特征：旋转过程中的特征：如图如图d将将 代入代入2211,yxyzz 0),(11 zyf , 0,22 zyxf得方程得方程考虑：当曲线考虑：当曲线 C 绕绕 y 轴旋转时，方程如何？轴旋转时，方程如何？0),(:zyfCoyxz . 0,22 zxyfxozy解解 yoz面面上上直直线线方方程程为为 cotyz ), 0(111zyM ),(zyxM圆锥面方程圆锥面方程 cot22yxz oxzy 例例4 4 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程生成的旋转曲面的方程

6、绕绕x轴轴旋旋转转绕绕z轴旋转轴旋转122222 czyax122222 czayx旋转双曲面旋转双曲面播放播放定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CLC这条定曲线这条定曲线 叫柱面的准线叫柱面的准线，动直线，动直线 叫叫柱面的母线柱面的母线.L柱面举例柱面举例xozyxozyxy22 抛物柱面抛物柱面xy 平面平面从柱面方程看柱面的特征：从柱面方程看柱面的特征：（其他类推）（其他类推）实实 例例12222 czby椭圆柱面椭圆柱面 / 轴轴x12222

7、byax双曲柱面双曲柱面 / 轴轴zpzx22 抛物柱面抛物柱面 / 轴轴y四、二次曲面三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 .研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法 其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面. FzxEyzDxyCzByAx2220JIzHyGx(二次项系数不全为 0 )1. 椭圆锥面),(22222为正数bazbyax上的截痕为在平面tz 椭圆在平面 x0 或 y0 上的截痕为过原点的两直线 .zxyo1)()(2222t byt axtz ,可以证明, 椭圆上任一点与原点的连线均在曲面上.(椭圆锥

8、面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换得到, 见书 P316 )xyzzyx2. 椭球面),(1222222为正数cbaczbyax(1)范围：czbyax,(2)与坐标面的交线：椭圆,012222zbyax,012222xczby 012222yczax1222222czbyax与)(11czzz的交线为椭圆：1zz (4) 当 ab 时为旋转椭球面;同样)(11byyy的截痕）（axxx11及也为椭圆.当abc 时为球面.(3) 截痕:1)()(212221222222zcyzcxcbcacba,(为正数)z3. 双曲面(1)(1)单叶双曲面单叶双曲面by 1) 1上的截痕为平面1z

9、z 椭圆.时, 截痕为22122221byczax(实轴平行于x 轴；虚轴平行于z 轴）1yy zxy),(1222222为正数cbaczbyax1yy 平面 上的截痕情况:双曲线: 虚轴平行于x 轴）by 1)2时, 截痕为0czax)(bby或by 1)3时, 截痕为22122221byczax(实轴平行于z 轴;1yy zxyzxy相交直线: 双曲线: 0(2) 双叶双曲面),(1222222为正数cbaczbyax上的截痕为平面1yy 双曲线上的截痕为平面1xx 上的截痕为平面)(11czzz椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别: 双曲线zxyo222222czbyax单叶双曲面11双

10、叶双曲面4. 抛物面zqypx2222(1) 椭圆抛物面( p , q 同号)(2) 双曲抛物面鞍形曲面）zqypx2222zyx特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面.( p , q 同号)zyx曲面方程的概念曲面方程的概念旋转曲面的概念及求法旋转曲面的概念及求法.柱面的概念柱面的概念(母线、准线母线、准线). 0),( zyxF四、小结四、小结思考题思考题 指出下列方程在平面解析几何中和空指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？间解析几何中分别表示什么图形？; 2)1( x; 4)2(22 yx. 1)3( xy思考题解答思考题解答平面解析几何中平面解析几何

11、中空间解析几何中空间解析几何中2 x422 yx1 xy平平行行于于y轴轴的的直直线线平平行行于于yoz面面的的平平面面圆心在圆心在)0 , 0(，半半径径为为2的的圆圆以以z轴轴为为中中心心轴轴的的圆圆柱柱面面斜率为斜率为1的直线的直线平平行行于于z轴轴的的平平面面方程方程一、一、 填空题：填空题：1 1、 与与Z轴和点轴和点)1,3,1( A等距离的点的轨迹方程是等距离的点的轨迹方程是_；2 2、 以点以点)1,2,2( O为球心，且通过坐标原点的球面为球心，且通过坐标原点的球面方程是方程是_；3 3、 球面：球面：07442222 zyxzyx的球心是的球心是点点_，半径，半径 R _

12、_；4 4、 设曲面方程设曲面方程22ax+ +22by+ +22cz=1=1，当，当ba 时，曲面可由时，曲面可由xoz面上以曲线面上以曲线_绕绕_轴旋轴旋转面成，或由转面成，或由yoz面上以曲线面上以曲线_ 绕绕_轴旋转面成轴旋转面成 ; ;练练 习习 题题5 5、 若若柱柱面面的的母母线线平平行行于于某某条条坐坐标标轴轴，则则柱柱面面方方程程的的特特点点是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _；6 6、 曲曲面面1422 zyx是是由由_ _ _ _ _ _ _ _绕绕_ _ _ _ _ _ _ _ _ _轴轴放放置置一一周周所所形形成成的的；7 7、 曲曲面面222)(yxaz 是是

13、由由_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _绕绕_ _ _ _ _ _轴轴旋旋转转一一周周所所形形成成的的；8 8、 方方程程2 x在在平平面面解解析析几几何何中中表表示示_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _在在空空间间解解析析几几何何中中表表示示_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；9 9、 方方 程程422 yx在在 平平 面面 解解 析析 几几 何何 中中 表表 示示_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ， 在在 空空 间间 解解 析析 几几 何何 中中 表表 示示_ _ _ _ _ _ _

14、_ _ _ _ _ _ _ _ _. .二二、 画画出出下下列列各各方方程程所所表表示示的的曲曲面面：1 1、222)2()2(ayax ；2 2、14922 zx ；3 3、22xz . .练习题答案练习题答案一一、1 1、0112622 zyxz； 2 2、0244222 zyxzyx；3 3、( (1 1, ,- -2 2, ,2 2) ), ,4 4； 4 4、, 1, 1, 1222222222222ybyaxzczbyzczax yczby, 12222 ； 5 5、不不含含与与该该坐坐标标轴轴同同名名的的变变量量； 6 6、xoy面面上上的的双双曲曲线线yyx, 1422 ； 7

15、 7、面面yoz上上的的直直线线 zayz, ； 8 8、平平y行于行于轴轴的的一一条条直直线线, ,与与面面yoz面面平平行行的的平平面面； 9 9、圆圆心心在在原原点点, ,半半径径为为 2 2 的的圆圆, ,轴轴为为轴轴z, ,半半径径为为 2 2 的的圆圆柱柱面面. .二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的轴曲面的轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条

16、直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的轴曲面的轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的轴曲面的轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的轴曲面的轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线

17、绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的轴曲面的轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的轴曲面的轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的轴曲面的轴二、旋转曲

18、面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的轴曲面的轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的轴曲面的轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线

19、叫旋转这条定直线叫旋转曲面的轴曲面的轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的轴曲面的轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的轴曲面的轴定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线

20、所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的准线叫柱面的准线，动直线，动直线 叫叫柱面的母线柱面的母线.CL定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的准线叫柱面的准线，动直线，动直线 叫叫柱面的母线柱面的母线.CL定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这

21、条定曲线这条定曲线 叫柱面的准线叫柱面的准线，动直线，动直线 叫叫柱面的母线柱面的母线.CL定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的准线叫柱面的准线，动直线，动直线 叫叫柱面的母线柱面的母线.CL定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的准线叫柱面的准线，动直线，动直线 叫叫柱面的母线柱面的母线.CL定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的准线叫柱面的准线，动直线，动直线 叫叫柱面的母线柱面的母线.CL定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线